ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

СЛУЧАЙНЫЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ

Ошибки (погрешности), возникающие при измерениях, делятся на два больших класса: погрешности случайные и погрешности систематические. Для уяснения разницы между ними обратимся к конкретному примеру. Допустим, вы определяете массу тела взвешиванием его на рычажных весах. Обычно тело кладется на левую чашку весов, а разновесы – на правую. Плечи весов, разумеется, не могут быть абсолютно одинаковыми. Разница в их длине искажает результаты измерений и, притом, всегда одинаковым образом. Ошибки, сохраняющие величину и знак от опыта к опыту, носят название систематических. К систематическим относятся ошибки, связанные с неравноплечностью весов, неправильным весом гирь, неточной разбивкой шкалы измерительных приборов и т.д.

Однако, систематические ошибки не единственные причины погрешностей измерений. В том же опыте с взвешиванием тела есть ошибки, которые могут изменяться от опыта к опыту. В самом деле, коромысло весов качается с некоторым трением. Поэтому, даже при постоянной нагрузке весов, оно останавливается не всегда в одном и том же месте, а в разных местах, лежащих в области, размер которой определяется силами трения. Ошибки в этом случае от опыта к опыту не повторяются.

Случайными ошибками называются ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту.

Бывают случаи, когда случайные ошибки не связаны с дефектами аппаратуры, а лежат в сущности изучаемого явления.

Так, например, если вы изучаете радиоактивный распад какого-либо радиоактивного элемента, то число зарегистрированных распадов, скажем, в 1 минуту, не будет оставаться постоянным. В одних измерениях вы зарегистрируете, например, 18, 15, 12, 17 распадов в минуту, в других – 23, 25, 17, 22 распадов. В среднем вы получите 20 распадов в минуту. Отклонение измеренного числа распадов от среднего значения 20 распадов в минуту носит чисто случайный характер. И связано с самой природой изучаемого явления.

Влияние случайных ошибок может быть уменьшено при многократном повторении опыта, т.к. опыты, результаты которых превышают среднее значение, будут встречаться столь же часто, как и опыты с результатами меньшими среднего значения.

Уменьшить же вклад систематических ошибок таким способом нельзя. Главной причиной этих погрешностей является несовершенство измерительных приборов. Поэтому для их уменьшения необходимо воспользоваться более совершенными средствами измерений, погрешность которых меньше. Качество измерительных приборов характеризуется их классом точности, т.е. той максимальной погрешностью, которую могут вносить эти приборы в измеряемую величину. Чем выше класс точности прибора, тем эта погрешность ниже. Помимо необходимости совершенствовать приборы, можно изменить методику опыта. Например, в опыте с взвешиванием нужно либо уменьшить неравноплечность весов, либо взвешивать тело дважды, один раз на левой чашке весов, другой – на правой и усреднить полученные результаты.

Ошибки прямых измерений

Предположим, что погрешности приборов малы и ими можно пренебречь по сравнению со случайными погрешностями. В этом случае порядок нахождения ошибки следующий[1]:

1. определяется среднее арифметическое ряда одинаковых измерений (в теории ошибок доказывается, что оно является наиболее вероятным значением измеряемой величины):

.

2. Вычисляется погрешность каждого измерения:

.

3. Находятся квадраты погрешностей каждого измерения и их сумма:

4. Вычисляется средняя квадратичная погрешность измеряемой величины:

. (1)

При больших n формулу (1) часто записывают в виде:

. (2)

5. Результаты измерений записываются в виде:

. (3)

Такая запись означает, что точное значение измеренной величины лежит внутри интервала . Более строго, внутри этого интервала точное значение измеренной величины лежит с вероятностью 0, 68, т.е. в 68 случаях из 100 точное значение измеренной величины лежит в этом интервале. Если рассмотреть интервал , то точное значение измеренной величины окажется внутри него с вероятностью 0, 95, а для интервала эта вероятность равна 0, 997. Поэтому, если в процессе измерений, вы получили результат, отличающийся от среднего на величину большую тройной ошибки, то такое измерение должно быть отброшено, как заведомо неверное. Точнее говоря, вероятность появления такого результата равна 1– 0, 997=0, 003.

Наряду со средней квадратичной погрешностью рассматривается также и относительная погрешность:

, (4)

которая может быть выражена либо в долях, скажем, e=0, 01, либо в процентах e=1%

Формула (2) показывает, что с ростом числа измерений погрешность будет уменьшаться как , поскольку

,

а величина Dx_max – ограниченная. Не следует, однако думать, что увеличивая n, вы тем самым можете сделать ошибку измерений сколь угодно малой. Увеличивая n_, вы уменьшите лишь случайную ошибку, систематическую же ошибку вы при этом изменить не можете. В теории вероятностей показывается, что полная ошибка:

, (5)

где d – погрешность прибора, Dx – средняя квадратичная погрешность.

Поэтому бессмысленно производить много измерений, если заведомо известно, что точность измерительных приборов невысока.

Ошибки косвенных измерений

Часто бывает так, что интересующую вас величину непосредственно измерить нельзя. Так например, для измерения плотности обычно измеряют массу тела М и его объем V, а саму плотность r находят как их частное:

r=M/V.

Как найти ошибку в определении плотности, если известны погрешности измерений массы и объёма? Как поступить во многих других подобных случаях? Ответ даётся теорией вероятности, мы его приводим здесь без доказательства.

1 случай: Пусть значение искомой физической величины находится путём сложения нескольких других величин:

y=x₁+x₂+... (6).

Тогда среднее значение определяется выражением:

(7).

А ее средняя квадратичная погрешность:

(8).

2 случай: Пусть искомая величина связана с другими величинами с помощью формулы:

y=u^av^bw^c... (9),

где – a, b, c – любые вещественные числа.

Тогда:

(10).

В этом случае относительная ошибка (её вычислить в этом случае проще) даётся формулой:

(11).

В частности, в упоминаемом примере с определением плотности, имеем:

(12).

Заметим, что формулы (8) и (11) похожи одна на другую: складываются квадраты ошибок. Но только в первом случае, когда искомая величина является суммой или разностью других величин, складываются квадраты абсолютных погрешностей, а в случае, когда искомая величина равна произведению других величин, складываются квадраты относительных ошибок.

Общий случай. Пусть искомая величина y является произвольной функцией других величин:

y=f(u, v, w,...) (13).

Тогда:

(14),

(15).

Здесь – частная производная f по u, т.е. при дифференцировании f по u все остальные величины v, w, … считаются постоянными. Значения производных ... берутся при средних значениях

В качестве примера использования общей формулы (15) получим из нее вновь формулу (12).

Пусть:

r=MV^–1

Тогда:

Откуда:

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: