Алгебраическая форма к.ч.,его изображение на комплексной плоскости

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Алгебраическая форма к.ч., его изображение на комплексной плоскости

К понятию комплексного числа приходят при рассмотрении уравнения z²+1=0. Отсутствие действительных чисел, ему удовлетворяющих, приводит к необходимости введения нового условного числа - мнимой единицы i, определяемой равенством i²=-1. Тогда z=±i-решения уравнения.

О: Комплексным числом (к.ч.) называют выражение x+iy, где x, yÎ R,

i²=-1, (i=Ö -1) - мнимая единица ·

Такая форма называется алгебраической формой записи к.ч., х называют действительной (Re), y-мнимой (Im) частями к.ч. Обозначим x+iy=z. Тогда x=Rez, y=Imz. К.ч. z=yi(при х=0) называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначают C={z: z=x+iy, x, yÎ R}, (RÌ C).

Равенство к.ч. z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂: z₁= z₂Û x₁= x₂, y₁= y₂.

Y

Нулем называется к.ч. z=x+iy=0 при x=y=0. Изображается к.ч. z=x+iy точкой M(x, y) плоскости XOY или радиус - вектором ОМ т.М (рис. 13.1). Такая плоскость называется комплексной, ОХ - действительной, OY – мнимой осями.

Числа z=x+iy и z=x - iy называются комплексно-сопряженными

Например, z=-3+2i и z=-3-2i.

Действия над к.ч. в алгебраической форме

1) Пусть z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂. С л о ж е н и е к.ч.: z₁+

+ z₂=(x₁₊x₂)+i(y₁+y₂).

2) В ы ч и т а н и е к.ч.: z=z₁-z₂ Û z+z₂=z₁. Используя сложение к.ч., имеем z₁-z₂=( x₁-x₂)+i(y₁-y₂).

Сумму и разность к.ч. можно изобразить геометрически на комплексной плос-кости, используя правило сложения и вычитания векторов (рис.13.2):

OM={z₁+z₂}=OM₁+ OM₂, ON= {z₁-z₂}=OM₁ - OM₂=М₂-М₁

3) У м н о ж е н и е к.ч.: z₁z₂=(x₁+iy₁)(x₂+iy₂)=( x₁x₂- y₁y₂)+i(x₁y₂+ x₂ y₁).

Таким образом, при умножении к.ч. скобки

раскрываются по правилу умножения многочленов.

Пример: (3-5i)(2+3i)=6+9i-10i-15i²=(6+15)-i=21-i.

Рис. 13.2

4) Деление к.ч.: Û z^.z₂=z₁, z₂¹ 0. Умножим z^.z₂=z₁

на `z<sub>2</sub>, затем поделим на действительное число z<sub>2</sub><sup>.</sup>`z₂=x₂²+y₂², тогда

Пример:

13.3. Тригонометрическая и показательная форма к.ч.

Изобразим к.ч. z=x+iy радиус-вектором OM на комплексной плоскости (рис.13.1). Назовем |OM|=r=|z| модулем к.ч., угол между осью OX и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый в положительном направлении, j= =(OX, OM)=Argz - аргументом к.ч. Очевидно, что Argz определяется неоднозначно. Главным значением Argz назовем argz, удовлетворяющее неравенствам 0£ argz£ 2p или -p£ argz£ p.Тогда Argz=argz+2kp, kÎ Z

Отметим, что для z=0 аргумент не определен. Из DOMN (рис.13.1) имеем:

x=rcosj, y=rsinj, (13.1)

т.е. z=x+iy представляется в виде z=r(cosj +isinj).

Такая форма записи называется тригонометрической формой к.ч.

При переходе от алгебраической к тригонометричекой используем

формулы (13.1) и соотношения .

Пример: z=1-i записать в тригонометрической форме.

(Для нахождения j можно также использовать равенства tgj=-1 и z=1-i).

Введем обозначение, называемое ф о р м у л о й Э й л е р а:

e^ij=cosj+isinj.

Тогда получим показательную форму записи к.ч.: z=re^ij. В примере z=

Очевидно, что два комплексных числа в тригонометричекой или показательной форме z₁=r₁e^ij1, z₂=r₂e^ij2 равны тогда и только тогда^., когда |z₁|=|z₂|, Argz₁=Argz₂+2kp, kÎ Z.

Умножение и деление к.ч. в тригонометрической

И показательной формах

Пусть z₁=r₁(cosj₁+isinj₁), z₂=r₂(cosj₂+isinj₂).

1) У м н о ж е н и е к.ч.:

z₁z₂= r₁r₂(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)) (13.2)

Используя умножение к.ч. в алгебраической форме, т.е. раскрывая скобки по правилу умножения многочленов, имеем:

z₁z₂= r₁r₂(cosj₁+isinj₁)(cosj₂+isinj₂)= r₁r₂[(cosj₁cosj₂-isinj₁sinj₂)+ +i(cosj₁sinj_{2 +} sinj₁cosj₂)]=r₁r₂[cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂))

2) Д е л е н и е к.ч.: .

Умножение и деление к.ч. в показательной форме:

z₁z₂=r₁ e^ij1 r₂ e^ij2= r₁r₂ e^i(j1+j2),

Возведение в целую положительную степень

И извлечение корня n-ой степени из к.ч.

n

О: zⁿ=z^.z^.....z, nÎ N ·

 

Пусть z= r(cosj+isinj)= re^ij, тогда из формулы умножения (13.2) имеем

zⁿ =rⁿ(cosnj+isinnj)=rⁿ e^inj (13.3)

O: ·

Пусть z= r(cosj+isinj)= re^ij, w=r(cosQ+isinQ)=re^iQ, тогда из формулы (13.3) возведения к.ч. в степень следует, что z=rⁿe^inQ. Используя равенство

к.ч., получим z=rⁿÞ

Окончательно .

При k=0, n-1 будем иметь различные значения , при k=n получим Таким образом, имеет n различных значений, которые располагаются на комплексной плоскости w на окружности радиуса c центром в начале координат и делит ее на n равных частей. Для имеем одно значение 0.

Пример: Найти все значения (действительные и мнимые) .

w0

Y

w1

w2

Рис. 13.3

X

(рис.13.3 ).

Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной

15. Неопределенный интеграл (н.и.)

Опорный конспект № 15

Таблица интегралов

1) ò xⁿdx= +c, n¹ -1

2) = ln|x|+c,

3) ò sinxdx=-cosx+c,

4) ò cosxdx= sinx + c,

5) ò =tgx +c,

6) ò = - ctgx +c,

7) ò tgxdx= - ln|cosx| +c,

8) ò ctgxdx= ln|sinx| +c,

9) ò a^xdx= +c,

10) ò e^xdx = e^x + c,

11) ò =arcsinx + c=-arccosx +c,

12) ò ,

13) ò =arctgx + c = -arcctgx +c,

14) ò ,

15) ò ,

16) ò .

Основные свойства н.и.

1⁰. Производная от н.и. равна подинтегральной функции, а дифференциал - подинтегральному выражению (ò f(x)dx) ¢ =f(x) dò f(x)dx=f(x)dx.

2⁰. ò dF(x)=F(x) + c, в частности ò dx=x+c.

Свойства 1⁰, 2⁰ следуют из определения н.и.

3⁰. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.

Докажем, чтоò (f₁(x)± f₂(x))dx= ò f₁(x)dx± ò f₂(x)dx (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого). Действительно, по 1⁰: (ò (f₁(x)± f₂(x))dx)¢ = f₁(x)± f₂(x), (ò f₁(x)dx± ò f₂(x)dx)¢ = (ò f₁(x)dx)¢ ± (ò f₂(x)dx)¢ = f₁(x)± f₂(x). Таким образом, левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:

ò cf(x)dx=cò f(x)dx, c=const.

5⁰. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): ò f[j(t)]dj=F[j(t)]+c, где F¢ (x)=f(x), j(t) имеет непрерывную производную.

Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала: d[F[j(t)]+c]=F¢ [j(t)]dj(t)=f[j(t)]dj(t)

Частным случаем 5⁰ является ò f(ax+b)d(ax+b)=F(ax+b)+c.

Очевидно, учитывая, что d(ax+b)=adx, получаем формулу ò f(ax+b)dx= F(ax+b)+c.

15.3. Таблица н.и. : Используя определение н.и. и таблицу производных (разд. 9.6), можно записать таблицу н.и. (см. опорный конспект № 15). Все формулы таблицы могут быть проверены нахождением производной от правой части - она равна подинтегральной функции.

Методы интегрирования

15.4.1. Метод разложения. Основан на разложении подинтегральной функции на сумму функций и дальнейшем использовании свойств 3⁰ и 4⁰. Применяется, если интегралы от слагаемых являются табличными или если известен метод их нахождения.

Пример: x²/2+e^x+3/x +c.

15.4.2.Метод замены переменной (подстановки). Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную, тогда ò f(x)dx=ò f[j(t)] j¢ (t)dt.

Формула следует из свойства 5⁰ для н.и. Она может быть использована в

следующем виде: ò f[j(x)]j¢ (x)dx= =ò f(t)dt.

Примеры:

1) ò tgxdx=ò

2)

В этих примерах методом подстановки получены табличные интегралы 7), 15).

15.4.3. Метод интегрирования по частям. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные, тогда ò udv= uv - ò vdu - формула интегрирования по частям. Она применяется, если ò vdu более прост для интегрирования, чем ò udv (см.ОК № 15).

d(uv)=vdu+udv Þ ò udv=ò d(uv)- ò vdu=uv-ò vdu (см. свойство 2⁰ )

Примеры: 1)ò xsin3xdx= 2) ò lnxdx= =xlnx-ò x =xlnx-ò dx=xlnx - x +c.

3) ò e^2xsin3xdx= =

= =

Обозначим ò e^2xsin3xdx=I, тогда

Свойства о.и.

1⁰. .

По определению о.и. и теореме о пределе суммы

2⁰. Если k=const, то .

Доказательство аналогично 1⁰.

3⁰. Свойство следует из смены знака Dx_i, i=1, n, в инте-

гральной сумме для f(x).

4⁰.

Свойство следует из 3⁰.

5⁰. , a< c< b.

Доказательство следует из определения интеграла и теоремы о пределе суммы, если точку с выбрать точкой деления при составлении интегральной суммы для f(x).

Свойство справедливо и при другом расположении точек a, b, c, если интегралы существуют. Из него следует интегрируемость непрерывной за исключением конечного числа разрывов I рода на [a, b] функции f(x).

6⁰. f(x)£ j(x) " xÎ [a, b] Þ .

.

7⁰. Теорема о среднем: f(x) Î C_{[a, b]}Þ $xÎ [a, b]: =f(x)(b-a)

f(x)Î C_{[a, b]}Þ j(х) принимает на [a, b] наибольшее М и наименьшее m значения Þ по 6⁰ Используем 2⁰ и, тогда Û Так как f(x) Î C_{[a, b]}, то $xÎ [a, b]: f(x)=m, т.е.

Теорема имеет наглядную геометрическую иллюстрацию при f(x)> 0 на [a, b]: S_D=f(x)(b-a) -площади прямоугольника с основанием b-a и высотой f(x) (рис. 17.3).

 

	Рис. 17.3

 

 

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление о.и. по определению как предела интегральной суммы сопряжено с громоздкими вычислениями и часто затруднительно. Вычисления становятся значительно более простыми, если используется формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

Ф(х)=

Т.1: f(x)Î C_{[a, b]}, Ф(х)=

Ф¢ (х)=

В цепочке равенств используются свойства 5⁰, 7⁰. Из Т.1 следует, что если f(x)Î Î C_{[a, b]}, то f(x) имеет первообразную Ф(х), т.е. (Т.1, разд. 15.1 доказана).

Т.2: Если F(x) - первообразная для f(x), то .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница

Так как наряду с F(x) по Т.1 функция f(x) имеет первообразную Ф(х)=

, то Ф(х)=F(x)+c, c=const. При х=а имеем =F(a)+c=0Þ c=-F(a). Таким образом, . При х=b получим или по (17.2) .

Формула Ньютона-Лейбница дает метод вычисления определенных интегралов в случае, когда первообразная для f(x) известна.

Пример:

Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем тела по известным площадям поперечных сечений.

Пусть известны площади S(x) сечений тела W плоскостями, перпендикулярными оси ОХ, a£ x£ b (рис.18.7 а). Требуется найти его объем V_W.

 

 

Разобъем отрезок [a, b] на n частей точками {x₀=a, x₁,..., x_i,..., x_n=b} выберем произвольные точки x_iÎ [x_i-1, x_i], i=1, n и построим цилиндры с площадями оснований S(x_i) и высотами Dx_i=x_i-x_i-1 (рис. 18.7 б).

Объем ступенчатого тела, состоящего из этих цилиндров, равен поэтому за объем тела W принимается V_D=

В правой части стоит интегральная сумма для функции S(x), поэтому .

Пример: Найти объем тела W, ограниченного эллипсоидом

В сечении тела W плоскостью x=const получим эллипс , поэтому площадь S(x)=pbc (см. 18.1.2) и V=

18.2.2. Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция D с границей ¶D: y=y(x), x=a, x=b (a< b), y=0 вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами y(x), поэтому S(x)= p[y(x)]² и

V_x=p .

Пусть криволинейная трапеция D с границей ¶D: x=x(y), y=c, y=d (c< d), x=0 вращается вокруг оси ОY, тогда S(y)=p[x(y)]², V_y=p .

Пример: Определить объем тела, образуемого вращением фигуры D c

границей ¶D (¶D: y²=4-x, x=0): а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.

Y

При вращении фигуры D вокруг оси OX получим параболоид (рис. 18.8 а), объем которого .

 

 

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8 б. Его объем

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Решение многих технических задач, в том числе и задач химической технологии, приводит к уравнениям, в которые входят как неизвестные величины (искомые функции), так и скорости изменения этих величин (производные искомых функций).

О: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется о б ы к н о в е н н ы м (ОДУ).

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным у р а в н е н и е м в ч а с т н ы х п р о и з -

в о д н ы х ·

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Символическая запись ОДУ n-го порядка: F(x, y, y¢,..., y⁽ⁿ⁾)=0. Примерами ОДУ 1 порядка являются рассмотренные выше примеры 1, 2. Уравнение вида y¢ ¢ +ay¢ +by+sinx=0 является ОДУ 2 порядка.

О: Решением ОДУ называется любая функция y=j(x), которая в некоторой области изменения х при подстановке в ОДУ обращает его в тождество ·

Пример: Решением ОДУ (20.1) является функция M=Ce^-kt, tÎ R₊, с- произвольная постоянная.

Однородные ДУ 1 порядка

О: Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом х справедливо тождество: f(lx, ly)=lⁿf(x, y) ·

Примеры: 1) f(x, y)= - однородная функция 1-го измерения, так как f(lx, ly)=l =lf(x, y).

2) f(x, y)= - однородная функция нулевого измерения, так как f(lx, ly)= = =f(x, y).

О: ОДУ 1 порядка (20.3) называется о д н о р о д н ы м относительно x и у, если функция y=f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у ·

Однородное уравнение может быть записано в виде y¢ =f*(y/х), так как f(x, y)=f(х/х, у/х)=f(1, y/х)=f*(y/x). Поэтому заменой u=y/x, где u=u(x), оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (см. опорный конспект № 20).

Пример: -общий интеграл.

З а м е ч а н и е. Уравнение P(x, у)dx+ Q(x, y)dy=0 будет однородным только в том случае, если P(x, у) и Q(x, y) - однородные функции одного измерения.

Линейные ОДУ 1 порядка

О: Л и н е й н ы м ОДУ 1 порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

y¢ +p(x)y=q(x), (20.4)

где p(x) и q(x) - заданные непрерывные функции от х или постоянные ·

Решение линейного уравнения (20.4) ищем в виде произведения двух множителей

y=uv, (20.5)

где u - новая неизвестная функция, v - ненулевое частное решение уравнения с разделяющимися переменными:

v¢ +p(x)v=0. (20.6)

Подставляя (20.5) в уравнение (20.4), имеем (v¢ +p(x)v)u+u¢ v=q(x). Тогда в силу равенства (20.6) находим, что неизвестная функция u(х) будет удовлетворять уравнению

u¢ v=q(x). (20.7)

Уравнения (20.6) и (20.7), которые нужно решить для нахождения u(x) и v(x), а значит и у(х) (в силу (20.5)), являются ОДУ с разделяющимися переменными. Из (20.6) и (20.7) последовательно находятся v и u, причем для v выбирается какое-нибудь частное решение, отличное от нуля.

Пример: , y=uv Þ Þ

Основные понятия об ОДУ 2 порядка

ОДУ 2 порядка в общем виде записывают так:

F(x, y, y¢, y¢ ¢ )=0. (21.1)

Если уравнение (21.1) можно разрешить относительно y¢ ¢, то оно имеет вид

y¢ ¢ =f(x, y, y¢ ). (21.2)

О: Задача нахождения решения уравнения (21.2), удовлетворяющего начальным условиям y(x₀)=y₀, y¢ (x₀)=y¢ ₀ называется задачей Коши ·

Т: (Существования и единственности решения ОДУ 2 пор.).

Если функция f(x, y, y¢ ) и ее частные производные f¢ _y(x, y, y¢ ), f¢ _y¢ (x, y, y¢ ) непрерывны в окрестности т.М₀(х₀, y₀, y¢ ₀) в пространстве переменных (x, y, y¢ ), то в окрестности т.х₀ существует единственное решение задачи Коши: у¢ ¢ =f(x, y, y¢ ), Теорему приводим без доказательства.

О: Общим решением дифференциального уравнения (21.2) называется функция y=j(x, c₁, c₂), зависящая от двух произвольных постоянных c₁, c₂ при следующих условиях:

1) она является решением (21.2) при любых значениях с₁, с₂;

2) при любых начальных условиях существуют единственные значения c₁= c₁₀, c₂= c₂₀, что y=j(x, c₁₀, c₂₀) удовлетворяет данным начальным условиям, т. (х₀, y₀, y¢ ₀)Î D - области $! решения ·

Условия , которые используются для нахождения постоянных c₁₀, c₂₀ в общем решении ОДУ 2 порядка, можно задать и по другому.

Пусть, например, решение уравнения ищется на отрезке хÎ [a, b].

Тогда для определения c₁₀ и c₂₀ можно задать y|_x=a=y_a, y|_x=b=y_b, т.е. задачу для ОДУ 2 порядка можно сформулировать следующим образом: на отрезке [a, b] найти решение ОДУ 2 порядка, удовлетворяющее условиям, заданным на концах отрезка:

F(x, y, y¢, y¢ ¢ )=0, y(a)=y_a, y(b)=y_b.

Такая задача называется краевой задачей для ОДУ 2 порядка. Более подробно об этом можно узнать, например, из [9. c.228].

Дифференциальных уравнений

Линейные ДУ n-го порядка

О: ОДУ n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y¢ +a_n(x)y=b(x), (22.1)

где a_i(x), i=0, n, b(x) непрерывны на некотором интервале (a, b). Если b(x)º 0, то (22.1) называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным уравнением ·

Общее решение ЛОДУ n-го порядка имеет вид

y=c₁y₁+ c₂y₂+...+ c_ny_n,

где c_i, i=1, n - произвольные постоянные, а y₁(х), y₂(х),...y_n(х) образуют фундаментальную систему решений, т.е. определитель Вронского

Общее решение ЛНДУ (21.1) имеет ту же структуру, что и при n=2.

Наиболее простым является случай уравнения вида y⁽ⁿ⁾=f(x), его общее решение можно найти последовательным n-кратным интегрированием:

y^(n-1)=ò f(x)dx+c₁,

y^(n-2)=ò [f(x)dx+c₁]dx+c₂=ò dxò f(x)dx+c₁x+c₂,

....................................................................

y=ò dxò dx...ò f(x)dx+ (n! =1^.2^.3^....n).

22.2. Нормальные системы ОДУ и их интегрирование

методом исключения

О: Совокупность дифференциальных уравнений, связывающая между собой несколько функций, называется системой ДУ ·

О: Порядком системы ДУ называется наивысший из порядков уравнений, входящих в нее ·

Далее ограничимся системами первого порядка относительно y₁(x), y₂(x),..., y_n(x).

О: y_i¢ =f_i(x, y₁,..., y_n), i=1, n - нормальная система ОДУ 1 порядка, правые части уравнений этой системы не содержат производных искомых функций ·

О: Решением системы ДУ называется совокупность функций y_i(x), i=1, n, удовлетворяющая каждому из уравнений этой системы.

Рассмотрим нормальную систему из 3-х уравнений:

x¢ =f₁(t, x, y, z),

y¢ =f₂(t, x, y, z),

z¢ =f₃(t, x, y, z).

Для нее теорема Коши о существовании и единственности решения формулируется следующим образом.

Т: Пусть функции f_i(t, x, y, z), i=1, 2, 3 непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда, какова бы ни была точка (t₀, x₀, y₀, z₀) Î D, существует единственное решение системы ДУ: x(t), y(t), z(t), удовлетворяющее начальным условиям

Для интегрирования системы можно применить метод, с помощью которого эта система из трех уравнений 1 порядка сведется к 1-му уравнению 3 порядка относительно одной функции. Такой метод называется методом исключения.

Пример: Дифференцируя первое уравнение по t, получим x¢ ¢ =-7x¢ +y¢, y¢ подставим из второго уравнения: x¢ ¢ =-7x¢ -2x-5y, а y - из первого: x¢ ¢ =-7x-2x-5(x¢ +7x) или x¢ ¢ +12x¢ +37x=0. Решим его характеристическое уравнение: k²+12k+37=0, k_{1, 2}=-6±iÞ x=e^-6t(c₁cost+c₂sint),

x¢ =-6e^-6t(c₁cost+c₂sint)+e^-6t(-c₁sint+c₂cost)Þ y=x¢ +7x=e^-6t[(c₁+c₂)cost+(c₂-c₂)sint]

 

Глава 8. Интегрирование функций нескольких переменных

23. двойной интеграл (ДИ)

Опорный конспект № 23

23.2. Свойства ДИ

1⁰.

2⁰. .

3⁰. D=D₁+D₂Þ

4⁰. - площадь D.

5⁰. j(x, y)£ y(x, y) в D Þ

.

6⁰. Теорема о среднем: f(x, y) непр. в `DÞ $M(x, h)Î `D:

Свойства двойных интегралов

Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Свойства приведены в опорном конспекте № 23.

Свойства ТИ

Свойства ТИ полностью повторяют свойства двойного интеграла (см. опорный конспект № 24).

Вычисление ТИ

24.3.1. ТИ в д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х. Предположим, что пространственная (трехмерная) область W, ограниченная замкнутой поверхностью ¶W, обладает следующими свойствами:

1⁰. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю (т.е. не лежащую на границе ¶W) точку области W, пересекает ¶W в двух точках.

2⁰. Область W проектируется на плоскость XOY в правильную двумерную область D.

3⁰. Любая часть области W, отсеченная плоскостью, параллельной координатной плоскости (XOY, XOZ, YOZ) обладает свойствами 1⁰ и 2⁰.

О: Область WÌ R³, обладающая указанными свойствами 1⁰-3⁰, называется правильной трехмерной областью ·

Вычисление ТИ сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим правильную область, ограниченную снизу z=z₁(x, y), сверху - z=z₂(x, y) (рис. 24.2).

Пусть эта область проектируется на плос-

кость XOY в площадку D, ¶D: y=j₁(x), y=j₂(x)

(j₁(x)£ j₂(x)), x=a, x=b (a< b). Проведем через

P

т.Р(х, у, 0)Î D прямую, параллельную OZ. Эта

прямая пересечет z=z₁(x, y) в т.М (точка входа),

а z=z₂(x, y) в т.N (точка выхода). Тогда, если f(x, y, z) - непрерывная функция в области W, то можно доказать, что значение ТИ вычисляется по формуле [3б. c.201 . Используя (23.5) имеем

(24.5)

Если область W более сложная, чем рассмотренная, то ее разбивают на конечное число областей указанного вида и к каждой из них применяют формулу (24.5).

Пример: (рис.7.11)

W - пирамида, ¶D: x=0, y=0, x+y=1, 0£ z£ 1-x-y, a=0, b=1, j₁(x)=0 и j₂(x)=1-x:

Формула, аналогичная (24.5), имеет место и для n-кратного интеграла для областей WÌ Rⁿ: x₁*£ x₁£ x₁**, x₂*(x₁)£ x₂£ x₂**(x₁),...,

x_n*( x₁, x₂,..., x_n-1) £ x_n£ x_n**( x₁, x₂,..., x_n-1).

24.3.2. ТИ в ц и л и н д р и ч е с к и х к о о р д и н а т а х

Формула замены переменных для тройного интеграла запишется в виде

(24.6)

f*(u, v, w)=f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), функции x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w) непрерывно дифференцируемы в W* и устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками областей W* и W,

Аналогичная формула замены переменных имеет место и для n-кратного интеграла [7в. с.342, 389].

О: Цилиндрическими координатами т.М(x, y, z) называются ее аппликата z и полярные координаты т.M¢ =пр_XOYM ·

Пусть в плоскости XOY полярная ось l совпадает с осью OX, полюс с началом координат, r=|OM¢ |, j=(OM¢, OX), причем rÎ [0, +¥ ), jÎ [0, 2p). (рис. 24.3).

 

Тогда имеем:

Þ и dv=rdrdjdz. Если то из (24.6)

(24.7)

Пример: ? ¶W: y=0, y=Ö 2x-x², z=0, z=a (рис. 24.4)

Так как уравнение y=Ö 2x-x² в цилиндрических координатах принимает вид r=2cosj, jÎ [0, p/2], то по формуле (24.7)

24.3.3. ТИ в с ф е р и ч е с к и х к о о р д и н а т а х

О: Сферическими координатами т.М(x, y, z) называются числа r=|OM|, q=(OM, OZ), j=(OM¢, OX), M¢ =пр_XOYM, причем rÎ [0, +¥ ), j=[0, 2p), qÎ [0, p) (рис. 24.5) ·

Рассматривая DOMМ¢, можно записать: x=OМ¢ cosj, y=OМ¢ sinj,

OМ¢ =rsinq, z=rcosq, т.е. формулы перехода от прямоугольных

123456Следующая ⇒

Поделиться: