Определение двойного интеграла

В разд. 17 для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (см. разд. 17.1.3). Решая задачу об определении объема тела и массы плоской пластинки, придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

З а д а ч а о б о б ъ е м е. Пусть задано тело (рис. 23.1), ограниченное сверху поверхностью z=f(x, y) (f(x, y)³ 0), снизу - конечной замкнутой областью `DÌ XOY и с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является граница ¶D.

Пусть f(x, y) - непрерывна в `D. Найдем объем этого тела. Будем называть его цилиндрическим. Разобъем основание D на конечное число элементарных частей (элементов) DD_i, i=1, n, в каждой из этих частей выберем т. М_i(x_i, h_i) и построим элементарное цилиндрическое тело с основанием

DD_i и высотой M_iN_i=f(x_i, h_i), равной апликате

поверхности в выбранной точке. Объем такого

“столбика”, очевидно, равен f(x_i, h_i)Ds_i, где Ds_i -

Рис. 231

- площадь элемента DD_i. Сумма объемов этих

 

 

цилиндрических “столбиков” представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное тело:

(23.1)

С помощью формулы (23.1) можно найти объем V с любой степенью точности, если число частей DD_i достаточно велико, а их линейные размеры малы.

О: Диаметром ограниченной замкнутой фигуры DD называется длина ее наибольшей хорды АВ, АÎ ¶DD, BÎ ¶DD (рис. 23.2). Обозначим его l ·

Из определения следует, что фигура DD, имеющая

диаметр l, целиком помещается внутри круга радиуса

l, описанного из любой т. CÎ DD, как из центра. При

l®0 фигура DD стягивается в точку. Аналогично опре-

Рис. 23.2

деляется диаметр пространственного тела.

 

Пусть l=maxl_i - наибольший из диаметров частей DD_i, i=1, n. Предполагая, что в формуле (23.1) число частей n неограниченно возрастает (n®¥ ), причем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно малым (l®0), получим точную формулу для объема тела:

(23.2)

З а д а ч а о м а с с е т о н к о й п л а с т и н к и. Пусть задана тонкая пластинка площадью S c непрерывно распределенной поверхностной плотностью r=r(x, y). Если пластинка однородная, т.е. r=r₀=сonst, то ее масса определяется как m=r₀S. Разбивая пластинку на n произвольных частей DD_i, i=1, n с площадью Ds_i и принимая внутри каждой части DD_i плотность постоянной r=r(x_i, h_i) можно записать Dm»r(x_i, h_i)Ds _i. Суммируя и переходя к пределу при l=maxl_i®0, получим:

Обе задачи привели нас к рассмотрению сумм определенного вида. Сопоставление их связано с некоторой областью DÌ XOY и с заданной в ней непрерывной функцией. Суммы вида (23.1) будем называть двумерными интегральными суммами. К нахождению предела таких сумм приводят многочисленные практические задачи.

Пусть в области D задана функция f(x, y). Разобъем D на части DD_i с площадями DS_i, i=1, n, выберем М_i(x_i, h_i)Î DD_i и составим интегральную сумму

. (23.3)

О: Двойным интегралом от функции f(x, y) по области D называется предел суммы (23.3) при l®0, если предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на части DD_i, i=1, n, и от выбора в них точек М_i. Обозначение:

(23.4)

где ds - элемент площади; D - область интегрирования; f(x, y) - подинтегральная функция; f(x, y)ds - подинтегральное выражение ·

Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой.

Возвращаясь к задачам об объеме тела и массе пластины, можно сделать вывод, что объем цилиндрического тела V численно равен двойному интегралу от z=f(x, y)³ 0, взятому по области D: (в этом состоит геометрический смысл двойного интеграла), а масса тонкой пластины . Заметим, что при f(x, y)º 1, значение двойного интеграла численно равно площади области интегрирования D: .

Т: (существования двойного интеграла). Если функция z=f(x, y), непрерывна в ограниченной замкнутой области `D, имеющей площадь S, то двойной интеграл существует

Так как значение двойного интеграла от f(x, y), непрерывной в `D, не зависит от вида элементарных частей, то разобъем D на малые прямоугольники со сторонами Dx_i и Dy_i прямыми, параллельными осям координат. При этом Ds_i=Dx_i Dy_i, i=1, n. Выбирая затем в каждом прямоугольнике т. М_i(x_i, h_i), можно записать: где ds=dxdy - элемент площади. При составлении интегральной суммы площадок DD_i, прилегающих к границе области D, не имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибки от замены таких площадок прямоугольниками с площадями Dx_i Dy_i в пределе сведутся к нулю.

Свойства двойных интегралов

Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Свойства приведены в опорном конспекте № 23.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: