ОДУ 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.

ОДУ 1 порядка в общем случае имеет вид

F(x, y, y¢ )=0 (20.2)

Если его можно разрешить относительно у¢, то получим ОДУ вида

y¢ =f(x, y) (20.3)

Другая форма записи последнего P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Простейшим ОДУ 1 порядка является у¢ =f(x), решение которого имеет вид y=ò f(x)dx+c, где с- произвольная постоянная, т.е. уравнение имеет множество решений.

О: Задача нахождения решения ОДУ (20.3), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀ (такая запись равносильна ) называется задачей Коши ·

Т: (существования и единственности задачи Коши). Если функция f(x, y) и ее частная f¢ _y непрерывны в окрестности т.М₀(x₀, y₀), существует единственное решение y=y(x) задачи Коши y¢ =f(x, y), y(x₀)=y₀ в окрестности т. х₀ Доказательство см. в [6. 314].

О: Общим решением ОДУ 1 порядка (20.3) называется функция

y=j(x, c), c=const, удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция y=j(x, c) является решением (20.3) " с;

2) каково бы не было начальное условие y(x₀)=y₀, существует такое значение c=c₀, при котором y=j(x, c₀) удовлетворяет данному начальному условию. Т. (х₀, у₀)Î D - области, в которой выполняются условия существования и единственности решения ·

Пример: M=Ce^-kt - общее решение ОДУ (20.1). Используя начальное условие М(0)=М₀, находим M₀=ce⁰, т.е. М= М₀e^-kt - решение задачи Коши в области D, которая определяется как .

З а м е ч а н и е. В некоторых случаях общее решение ОДУ (20.2) или (20.3) получается в неявном виде Ф(х, у, с)=0, тогда оно называется общим интегралом.

О: Частным решением ОДУ 1 порядка называется функция y=j(x, c₀), которая получается из его общего решения у=j(x, c) при определенном значении с=с₀ ·

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на плоскости ХОY, зависящее от с. Эти кривые называются интегральными кривыми данного ОДУ 1 порядка. При задании ОДУ в виде (20.3) известен угловой коэффициент касательных к интегральным кривым в каждой точке (х, у): k=y¢ =f(x, y).

M

Примеры: 1) На рис. 20.1 изображены интегральные кривые дифференциального уравнения xy¢ -2y=0, имеющего общее решение y=cx².

 

 

 

 

2) На рис. 20.2 изображены интегральные кривые дифференциального уравнения (20.1) с решением М= сe^-kt.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

О: Дифференциальными уравнениями с р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и называются ОДУ 1 порядка, которые приводятся к виду f₁(x)dx=f₂(y)dy (ДУ с разделенными переменными) ·

Такими уравнениями являются:

а) , б) P₁(x)P₂(y)dx+ Q₁(x)Q₂(y)dy=0.

В опорном конспекте № 20 показано, как решаются такие уравнения.

Примеры: 1) ДУ (20.1), возникающее в задаче о радиоактивном распаде, является уравнением с разделяющимися переменными, оно равносильно дифференциальному уравнению Þ ln|M|=-kt+ln|c| Þ M=ce^-kt.

2) (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 Þ

Þ ln|x|+x+ln|y|-y=c.

Однородные ДУ 1 порядка

О: Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом х справедливо тождество: f(lx, ly)=lⁿf(x, y) ·

Примеры: 1) f(x, y)= - однородная функция 1-го измерения, так как f(lx, ly)=l =lf(x, y).

2) f(x, y)= - однородная функция нулевого измерения, так как f(lx, ly)= = =f(x, y).

О: ОДУ 1 порядка (20.3) называется о д н о р о д н ы м относительно x и у, если функция y=f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у ·

Однородное уравнение может быть записано в виде y¢ =f*(y/х), так как f(x, y)=f(х/х, у/х)=f(1, y/х)=f*(y/x). Поэтому заменой u=y/x, где u=u(x), оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (см. опорный конспект № 20).

Пример: -общий интеграл.

З а м е ч а н и е. Уравнение P(x, у)dx+ Q(x, y)dy=0 будет однородным только в том случае, если P(x, у) и Q(x, y) - однородные функции одного измерения.

Линейные ОДУ 1 порядка

О: Л и н е й н ы м ОДУ 1 порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

y¢ +p(x)y=q(x), (20.4)

где p(x) и q(x) - заданные непрерывные функции от х или постоянные ·

Решение линейного уравнения (20.4) ищем в виде произведения двух множителей

y=uv, (20.5)

где u - новая неизвестная функция, v - ненулевое частное решение уравнения с разделяющимися переменными:

v¢ +p(x)v=0. (20.6)

Подставляя (20.5) в уравнение (20.4), имеем (v¢ +p(x)v)u+u¢ v=q(x). Тогда в силу равенства (20.6) находим, что неизвестная функция u(х) будет удовлетворять уравнению

u¢ v=q(x). (20.7)

Уравнения (20.6) и (20.7), которые нужно решить для нахождения u(x) и v(x), а значит и у(х) (в силу (20.5)), являются ОДУ с разделяющимися переменными. Из (20.6) и (20.7) последовательно находятся v и u, причем для v выбирается какое-нибудь частное решение, отличное от нуля.

Пример: , y=uv Þ Þ

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: