Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интеграл: ò R(x, dx, m_j, n_j, j=1, n -целые числа. Замена вида ax+b=t^k, dx= , где k-общий знаменатель приводит к интегралу от рациональной функции R*(t).

Пример: 6arctgt+c= =6arctg +c.

Аналогично поступаем, если вместо линейной функции ax+b стоит дробно-линейная . Интегрирование некоторых других иррациональностей см. в ОК № 16.

Примеры: 1)

= |+с

2)

= 2t + sin2t +c = 2t + 2 sintcost +c = 2arcsin + +c.

17. Определенный интеграл (о.и.)

Задачи, приводящие к понятию о.и. Определение о.и.

17.1.1. Задача о площади криволинейной трапеции

О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей ¶D

, где функция f(x) непрерывна (рис.16.1) ·

Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобъем отрезок [a, b] точками {x₀=a, x₁,..., x_i-1, x_i,..., x_n=b} на n элементарных отрезков [x_i-1, x_i]. Обозначим x_i-x_i-1=Dx_i, выберем произвольные точки x_iÎ [x_i-1, x_i] и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами f(x_i) и основаниями Dx_i. Площадь ступенчатой фигуры и дает приближенное значение площади криволинейной трапеции. За точное значение площади естественно принять .

17.1.2. Задача о работе переменной силы. Найдем работу переменной силы `F(x) с постоянным направлением, под действием которой материальная точка перемещается из положения х=а в х=b по прямой, направленной вдоль линии действия силы (рис. 17.2).

Проведем разбиение, анало гично пункту 17.1.1.: x_iÎ [x_i-1, x_i]. Будем считать, что на Dx_i, i=1, n величина силы имеет постоянное значение и равна F(x_i), тогда работа силы на [x_i-1, x_i] равна F(x_i)Dx_i, а приближенное значение работы на всем пути E» (F=|F|). За точное значение принимаем .

17.1.3. Понятие определенного интеграла. Пусть на [a, b] задана функция y=f(x). Аналогично пункту 17.1.1. разобъем [a, b] на n частей [x_i-1, x_i], i=1, n, выберем произвольные точки x_iÎ [x_i-1, x_i] и составим сумму

, (17.1)

которая называется интегральной суммой.

О: Определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] называется предел ее интегральной суммы (17.1) при maxDx_i®0, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения [a, b] на отрезки

[x_i-1, x_i] и от выбора x_iÎ [x_i-1, x_i] ·

Обозначение:

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) - подинтегральной функцией. Если для f(x) на [a, b] выполнены условия определения о.и., то f(x) называют интегрируемой (по Риману) на [a, b].

Т. существования: Если f(x)Î C_{[a, b]}, то она интегрируема на [a, b]

(Доказательство см. в [2. c.384]).

Из определения о.и. следует, что интеграл зависит от вида f(x), пределов a, b, но не зависит от того, какой буквой обозначена переменная х, т.е.

. (17.2)

Из пунктов 17.1.1 и 17.1.2 и определения о.и. получаем формулы площади криволинейной трапеции: S_D= , работы силы |F|=f(x) на [a, b]: E= .

Свойства о.и.

1⁰. .

По определению о.и. и теореме о пределе суммы

2⁰. Если k=const, то .

Доказательство аналогично 1⁰.

3⁰. Свойство следует из смены знака Dx_i, i=1, n, в инте-

гральной сумме для f(x).

4⁰.

Свойство следует из 3⁰.

5⁰. , a< c< b.

Доказательство следует из определения интеграла и теоремы о пределе суммы, если точку с выбрать точкой деления при составлении интегральной суммы для f(x).

Свойство справедливо и при другом расположении точек a, b, c, если интегралы существуют. Из него следует интегрируемость непрерывной за исключением конечного числа разрывов I рода на [a, b] функции f(x).

6⁰. f(x)£ j(x) " xÎ [a, b] Þ .

.

7⁰. Теорема о среднем: f(x) Î C_{[a, b]}Þ $xÎ [a, b]: =f(x)(b-a)

f(x)Î C_{[a, b]}Þ j(х) принимает на [a, b] наибольшее М и наименьшее m значения Þ по 6⁰ Используем 2⁰ и, тогда Û Так как f(x) Î C_{[a, b]}, то $xÎ [a, b]: f(x)=m, т.е.

Теорема имеет наглядную геометрическую иллюстрацию при f(x)> 0 на [a, b]: S_D=f(x)(b-a) -площади прямоугольника с основанием b-a и высотой f(x) (рис. 17.3).

 

	Рис. 17.3

 

 

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление о.и. по определению как предела интегральной суммы сопряжено с громоздкими вычислениями и часто затруднительно. Вычисления становятся значительно более простыми, если используется формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

Ф(х)=

Т.1: f(x)Î C_{[a, b]}, Ф(х)=

Ф¢ (х)=

В цепочке равенств используются свойства 5⁰, 7⁰. Из Т.1 следует, что если f(x)Î Î C_{[a, b]}, то f(x) имеет первообразную Ф(х), т.е. (Т.1, разд. 15.1 доказана).

Т.2: Если F(x) - первообразная для f(x), то .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница

Так как наряду с F(x) по Т.1 функция f(x) имеет первообразную Ф(х)=

, то Ф(х)=F(x)+c, c=const. При х=а имеем =F(a)+c=0Þ c=-F(a). Таким образом, . При х=b получим или по (17.2) .

Формула Ньютона-Лейбница дает метод вычисления определенных интегралов в случае, когда первообразная для f(x) известна.

Пример:

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: