Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка (ЛДУ 2п.)

21.3.1. Линейные однородные ДУ 2 порядка. Структура общего решения

О: ЛДУ 2 пор. называется ДУ 2 пор., линейное относительно у, у¢, у¢ ¢,

т.е.

a₀(x)y¢ ¢ +a₁(x)y¢ +a₂(x)y=b(x) (21.3)

Дифференциальное уравнение

a₀(x)y¢ ¢ +a₁(x)y¢ +a₂(x)y=0, (21.4)

получающееся из (21.3) при b(x)=0, называется линейным однородным ДУ 2 пор. (ЛОДУ 2 п.). Если b(x)¹ 0, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2 п.) ·

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций a₀(х), a₁(х), a₂(x), b(x) в окрестности т.х₀ при у(х₀)=у₀, у¢ (х₀)= у¢ ₀ (21.3) имеет в окрестности т.х₀ единственное решение.

Т: (о линейной комбинации решений). Если функции у₁(х) и у₂(х) - решения уравнения (21.4) хÎ (a, b), то их линейная комбинация y=c₁y₁+c₂y₂ также является его решением

Подставим функцию y=c₁y₁+c₂y₂ и ее первую и вторую производные в левую часть уравнения (21.4):

a₀(x)(с₁y₁¢ ¢ + с₂y₂¢ ¢ )+a₁(x)(с₁y₁¢ + с₂y₂¢ ) + a₂(x)(с₁y₁ + с₂y₂) = с₁(a₀(x)y₁¢ ¢ + a₁(x)y₁¢ + a₂(x)y₁) + с₂(a₀(x)y₂¢ ¢ + a₁(x)y₂¢ + a₂(x)y₂)=0.

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как y₁(х), y₂(х) - решения (21.4).

О: Решения y₁(x), y₂(x), хÎ (a, b), образуют фундаментальную систему решений, если определитель Вронского на интервале (a, b) ·

Т: (о структуре общего решения). Пусть a₀(х), a₁(х), a₂(x), b(x) непрерывны на (a, b). Если решения y₁(x), y₂(x) уравнения (21.4) образуют фундаментальную систему решений, хÎ (a, b), то y=c₁y₁(х)+c₂y₂(х) является общим решением уравнения (21.4) на (a, b)

Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений y=c₁y₁(х)+c₂y₂(х) является решение уравнения (21.4). Возьмем начальные условия у(х₀)=у₀, у¢ (х₀)= у¢ ₀, х₀Î (a, b). Подставляя их в y=c₁y₁(х)+c₂y₂(х), для определения c₁ и c₂, получаем систему

Ее определитель является определителем Вронского, вычисленным в т.х₀. Он не равен 0 по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение с₁=с₁₀, с₂=с₂₀, которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения

 

21.3.2. ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ОДУ (21.4)У, в котором a₀, a₁, a₂ постоянны, a₀¹ 0. Поделив (21.4) на a₀, получим уравнение

y¢ ¢ +py¢ +qy=0, p, q=const. (21.6)

Найдем для этого уравнения фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение в виде y=e^kx. Тогда y¢ =ke^kx, y¢ ¢ = k²e^kx. Подставляя у, y¢, y¢ ¢ в (21.6), имеем k²e^kx+р ke^kx+q e^kx=0, e^kx¹ 0 Þ

k²+pk+q=0 (21.7)

Таким образом, для того чтобы у было решением (21.6), необходимо, чтобы k удовлетворяло уравнению (21.7).

О: Алгебраическое уравнение (21.7) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (21.6) ·

В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения возможны следующие случаи.

1. D=p²-4q> 0, уравнение (21.7) имеет два различных действительных корня В этом случае уравнение (21.6) имеет два частных решения y₁=e^k1^x, y₂=e^k2^x, которые образуют фундаментальную систему, так как

Следовательно, общее решение имеет вид y=c₁e^k1x+ c₂e^k2x.

2. D=0, уравнение (21.7) имеет один действительный корень k=-p/2, кратности 2. Тогда уравнение (21.6) имеет одно частное решение y₁=e^kx. Покажем, что y₂=xe^kx тоже является решением (21.6). Действительно, y₂¢ =e^kx(1+kx), y₂¢ ¢ = e^kx(2k+k² x), y₂¢ ¢ + py₂¢ + qy₂= e^kx(2k+k² x) + pe^kx(1+kx) +qe^{k x} = e^kx(x(k²+ pk + + q) + (2k+p)). Так как k²+pk+q=0 (k-корень характеристического уравнения), 2k+p=0, (k=-p/2), то y₂¢ ¢ +py₂¢ +qy₂=0. Решения y₁=e^kx, y₂=xe^kx образуют фундаментальную систему в силу поэтому y=c₁e^kx+ c₂xe^kx или y=ce^kx(c₁+c₂x) - общее решение (21.6).

3.D=p²-4q< 0, характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня k_{1, 2}=a±ib, где a=-р/2, Частные решения имеют вид y₁=e^(a+ib)x=e^axe^ibx=e^ax(cosbx+isinbx), y₂=e^(a-ib)x=e^axe^-ibx=e^ax(cosbx-isinbx). Заменим эти комплексные решения на действительные: `y<sub>1</sub>=(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>)/2= e<sup>ax</sup>cosbx, `y₂=(y₁-y₂)/2i = e^axsinbx. Они образуют фундаментальную систему решений, так как можно показать, что Таким образом, общее решение y=c₁e^axcosbx+c₂ e^axsinbx или y=e^ax(c₁cosbx +c₂sinbx). В опорном конспекте № 21 все три случая сведены в таблицу.

Примеры: 1) y¢ ¢ +5y¢ +6y=0 Þ k²+5k+6=0, k₁=-2, k₂=-3 Þ y=c₁e^-2x+ c₂e^-3x.

2) y¢ ¢ -2y¢ +y=0 Þ k²-2k+1=0, k_{1, 2}=1 Þ y= e^x(c₁+ c₂x).

3) y¢ ¢ +4y¢ +13y=0 Þ k² +4k+13=0, k_{1, 2}=-2±3i Þ y= e^-2x(c₁ cos3x+ c₂sin3x).

21.3.3. ЛНДУ 2 пор. Структура общего решения

Рассмотрим уравнение (21.3) при b(x)¹ 0.

Т: (о структуре общего решения). Общим решением уравнения (21.3) с непрерывными а_i(x), i=0, 1, 2, b(x) на (a, b), является y=y*+y, где y*-общее решение соответствующего однородного уравнения (21.4), у - любое частное решение уравнения (21.3)

Проверим выполнение первого условия определения общего решения. Подставим у в левую часть (21.3): a₀(y*¢ ¢ +`y¢ ¢ )+a<sub>1</sub>(y*¢ +`y¢ )+a₂(y*+`y)=( a<sub>0</sub>y*¢ ¢ + a<sub>1</sub> y*¢ +a<sub>2</sub> y*)+( a<sub>0</sub>`y¢ ¢ +a₁`y¢ +a<sub>2</sub> `y).

По условиям теоремы a₀y*¢ ¢ +a₁y*¢ +a₂y*=0 и a₀`y¢ ¢ +a<sub>1</sub>`y¢ +a₂`y=b(x), т.е. y=y*+`y является решением уравнения (21.3). Проверим выполнение второго условия определения общего решения. Возьмем начальные условия y(x₀)=y₀, y¢ (x₀)=y¢ ₀, x₀Î (a, b). Для определения с₁, с₂, учитывая запись y*=с₁y₁ + +с₂y₂, где y₁, y₂ - фундаментальная система решений (21.4), получаем систему . Ее определитель является определителем Вронского, который не равен нулю в силу фундаментальности системы у₁(х), у₂(х). Таким образом, система имеет единственное решение с₁=с₁₀, с₂=с₂₀ и второе условие определения общего решения выполнено.

21.3.4. Метод подбора частного решения ЛНДУ 2 пор. Из теоремы о структуре общего решения уравнения (21.3) следует, что для его нахождения необходимо знать общее решение у* соответствующего однородного уравнения и частное решение `у неоднородного. Пусть ДУ имеет вид

y¢ ¢ +py¢ +qy=f(x), p, q=const. (21.8)

Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами найти можно (см. 21.3.2). Для нахождения частного решения неоднородного уравнения в случаях специального вида правой части: многочлен f(x)= P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n, произведение многочлена на показательную функцию f(x)= P_n(x)e^mx, m=const, гармоника f(x)= Mcosmx+Nsinmx либо линейная комбинация перечисленных функций частное решение может быть выбрано в виде, указанном в таблице опорного конспекта № 21.3 либо в виде линейной комбинации соответствующих решений из таблицы. Коэффициенты А₀, А₁,..., А_n в таблице не известны и находятся путем подстановки в уравнение (21.8) (метод неопределенных коэффициентов).

Примеры: 1) y¢ ¢ +y¢ =5х+3. Ищем решение в виде y=y*+ y.

а) y* - общее решение уравнения y¢ ¢ +y¢ =0, его характеристическое уравнение k²+k=0, т.е. k₁=0, k₂=-1 Þ y*=c₁+c₂e^-x;

б) у - частное решение уравнения y¢ ¢ +y¢ =5х+3 ищем в виде у=(Ах+В)х, так как правая часть уравнения - многочлен первой степени и k₁=0. Подставим у в уравнение: `y¢ =2Ах+В, y¢ ¢ =2А Þ 2А+2Ах+В=5х+3 Þ 2А=5, 2А+В=3 Þ А=5/2, В=-2. Таким образом, у=с₁+с₂е^-х+5х²/2 - 2х.

2) y¢ ¢ -2y¢ -3у=(х+2) е^3х. Ищем общее решение в виде у=у*+у.

а) y* - общее решение уравнения y¢ ¢ -2y¢ -3у=0, его характеристическое уравнение k²-2k-3=0, т.е. k₁=-1, k₂=3 Þ y*=c₁е^-х+c₂e^3х;

б) у=х(Ах+В)е^3х, y¢ =(2Ах+В)е^3х+3(Ах²+Вх) е^3х= е^3х(3Ах²+2Ах+3Вх+В), y¢ ¢ = =3е^3х(3Ах²+2Ах+3Вх+В)+ е^3х(6Ах+2А+3В)= е^3х(9Ах²+12Ах+9Вх+6В) Þ (8Ах+2А+4В) е^3х =(х+2) е^3х Þ 8А=1, 2А+4В=2 Þ А=1/8, В=7/16.

у=с₁ е^-х +с₂е^3х+(х²/8 + 7х/16) е^3х.

3) y¢ ¢ +4y¢ +5у=2cosx - sinx. Ищем решение в виде y=y*+y.

а) y* - общее решение уравнения y¢ ¢ +4y¢ +5y=0, его характеристическое уравнение k²+4k+5=0, т.е. k_{1, 2}=-2±i Þ y*= e^-2x (c₁cosx+c₂sinx);

б) у=Аcosx+Вsinх, y¢ =-Аsinx+Вcosx, y¢ ¢ =-Аcosx-Bsinx Þ (4А+4B)cosх+ + (4В- 4A)sinx=2cosx - sinx, 4А+4B=2, 4B-4A=-1 Þ А=3/8, В=1/8 Þ

у= е^-2х (с₁cosx+с₂ sinx)+3cosx/8 +sinx/8.

21.3.5. Решение ЛНДУ 2 пор. методом вариации произвольных постоянных

Пусть найдено общее решение y*=c₁y₁+c₂y₂ ЛОДУ, соответствующего уравнению (21.8), в котором p, q могут быть и функциями от х. Функции у₁(х), у₂(х) образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение у уравнения (21.8) в виде y= c₁(х)y₁+c₂(х)y₂, где c₁(х), c₂(х) - пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Имеем`y¢ =c<sub>1</sub>y¢ <sub>1</sub>+c<sub>2</sub>y¢ <sub>2</sub>+c¢ <sub>1</sub>y<sub>1</sub>+c¢ <sub>2</sub>y<sub>2</sub>. Положим c¢ <sub>1</sub>y<sub>1</sub>+c¢ <sub>2</sub>y<sub>2</sub>=0, тогда`у=c₁y¢ ₁+c₂y¢ ₂, у¢ ¢ =с₁у₁¢ ¢ +с₂у₂¢ ¢ +с¢ ₁у₁¢ +с¢ ₂у₂¢ .

Подставим у, у¢, у¢ ¢ в уравнение (21.8), сгруппируем слагаемые с с₁(х) и с₂(х): с₁(х)( у₁¢ ¢ +pу₁¢ +qу₁)+с₂(x)( у₂¢ ¢ +pу₂¢ +qу₂) +с¢ ₁(x)у₁¢ +с¢ ₂ (x)у₂¢ =f(x).

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как у₁(х), у₂(х) - решения однородного уравнения. Поэтому для определения с¢ ₁(x), с¢ ₂ (x) полу-

чаем систему Система имеет единственное решение, так как ее определитель ¹ 0. Интегрируя полученные с¢ ₁(x) и с¢ ₂ (x), найдем с₁(x) и с₂ (x), т.е. частное решение `у.

Пример: Ищем общее решение в виде y=y*+`y.

а) y* - общее решение уравнения y¢ ¢ +4y=0, характеристическое уравнение k²+4=0, k_{1, 2}=±2i Þ y*=c₁cos2x+c₂sin2x.

б) y=c₁(x)cos2x+ c₂(x)sin2x Þ

c₁(x)=- c₂(x)= y=c₁cos2x+c₂sin2x+

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: