Понятие первообразной и н.и.

Рассмотрим задачу, обратную задаче нахождения производной от заданной дифференцируемой функции: найти F(x), если известны ее производная F¢ (x)=f(x) или дифференциал dF(x)=f(x)dx. Физический смысл такой задачи можно пояснить следующим примером: по заданной скорости неравномерного прямолинейного движения, найти его закон s(t).

О: Функция F(x) называется первообразной для f(x) на открытом или закрытом промежутке Х, если F¢ (x)=f(x) " хÎ Х·

Пример: f(x)=x², F(x)=x³/3.

Т.1: (теорема существования) Любая непрерывная на Х функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х: f(x) Î C[X] Þ $F(x), " xÎ X: F¢ (x)=f(x)

Функция f(x) на Х может иметь бесконечно много первообразных. Так, для f(x)=x² первообразной является F(x)=x³/3 +c, " c=const.

Т.2: Если F(x) и F₁(x) - две первообразные для f(x) на Х, то разность между ними равна постоянной

Обозначим F(x)-F₁(x)=j(х), тогда j¢ (х)=F¢ (x)-F₁¢ (x)=f(x)-f(x)=0, " xÎ X. Пусть х₁, х₂Î X. Применим теорему Лагранжа для j(х) на [х₁, х₂]: j(х₂)-j(х₁)=j¢ (x)(х₂-х₁), х₁< x< х₂, откуда j(х₂)=j(х₁), " х₁, х₂Î XÞ j(x)=const на Х

С л е д с т в и е. Если F(x) - первообразная для f(x) на Х, то F(x)+c, c=const - множество всех первообразных для f(x).

О: Неопределенным интегралом (н.и.) от функции f(x) " xÎ X называется совокупность всех первообразных этой функции·

Обозначение н.и.: ò f(x)dx=F(x)+c.

Функцию f(x) называют подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, нахождение н.и. от функции f(x) - интегрированием f(x).

Y

F(x)+c

Геометрический смысл н.и. следует из геометрического смысла производной: уравнение у=F(x) +c на плоскости XOY определяет семейство кривых (называемых интегральными кривыми),

для которых в точке с абсциссой х угловой коэф-

фициент касательных равен f(x) (рис.15.1). Физи-

x1 x x2 X

O

ческий смысл н.и.: ò v(t)dt=s(t)+c, т.е. н.и. от ско-

Рис. 15.1

рости неравномерного прямолинейного движения

дает зависимость пути от времени.

Основные свойства н.и.

1⁰. Производная от н.и. равна подинтегральной функции, а дифференциал - подинтегральному выражению (ò f(x)dx) ¢ =f(x) dò f(x)dx=f(x)dx.

2⁰. ò dF(x)=F(x) + c, в частности ò dx=x+c.

Свойства 1⁰, 2⁰ следуют из определения н.и.

3⁰. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.

Докажем, чтоò (f₁(x)± f₂(x))dx= ò f₁(x)dx± ò f₂(x)dx (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого). Действительно, по 1⁰: (ò (f₁(x)± f₂(x))dx)¢ = f₁(x)± f₂(x), (ò f₁(x)dx± ò f₂(x)dx)¢ = (ò f₁(x)dx)¢ ± (ò f₂(x)dx)¢ = f₁(x)± f₂(x). Таким образом, левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:

ò cf(x)dx=cò f(x)dx, c=const.

5⁰. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): ò f[j(t)]dj=F[j(t)]+c, где F¢ (x)=f(x), j(t) имеет непрерывную производную.

Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала: d[F[j(t)]+c]=F¢ [j(t)]dj(t)=f[j(t)]dj(t)

Частным случаем 5⁰ является ò f(ax+b)d(ax+b)=F(ax+b)+c.

Очевидно, учитывая, что d(ax+b)=adx, получаем формулу ò f(ax+b)dx= F(ax+b)+c.

15.3. Таблица н.и. : Используя определение н.и. и таблицу производных (разд. 9.6), можно записать таблицу н.и. (см. опорный конспект № 15). Все формулы таблицы могут быть проверены нахождением производной от правой части - она равна подинтегральной функции.

Методы интегрирования

15.4.1. Метод разложения. Основан на разложении подинтегральной функции на сумму функций и дальнейшем использовании свойств 3⁰ и 4⁰. Применяется, если интегралы от слагаемых являются табличными или если известен метод их нахождения.

Пример: x²/2+e^x+3/x +c.

15.4.2.Метод замены переменной (подстановки). Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную, тогда ò f(x)dx=ò f[j(t)] j¢ (t)dt.

Формула следует из свойства 5⁰ для н.и. Она может быть использована в

следующем виде: ò f[j(x)]j¢ (x)dx= =ò f(t)dt.

Примеры:

1) ò tgxdx=ò

2)

В этих примерах методом подстановки получены табличные интегралы 7), 15).

15.4.3. Метод интегрирования по частям. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные, тогда ò udv= uv - ò vdu - формула интегрирования по частям. Она применяется, если ò vdu более прост для интегрирования, чем ò udv (см.ОК № 15).

d(uv)=vdu+udv Þ ò udv=ò d(uv)- ò vdu=uv-ò vdu (см. свойство 2⁰ )

Примеры: 1)ò xsin3xdx= 2) ò lnxdx= =xlnx-ò x =xlnx-ò dx=xlnx - x +c.

3) ò e^2xsin3xdx= =

= =

Обозначим ò e^2xsin3xdx=I, тогда

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: