Гипотезы о твердом теле. Основы теории напряжений

ПРИКладная МЕХАНИКа

Методическое пособие по решению задач

Автор:	О. П. Ткаченко
Зав. кафедрой «Вычислительная техника и компьютерная графика»	Ю.В. Пономарчук
Председатель МК направления 230100.62 «Информатика и вычислительная техника»	Ю.В. Пономарчук
Председатель РИК ЕНИ	Д.С.Фалеев
Ответственный за выпуск на кафедре ВТиКГ	С.А. Ланец

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

УДК 531: 539.3 (075.8)

ББК В21 я73

Т484

Рецензент:

Федеральное государственное учреждение науки

Вычислительный центр Дальневосточного отделения

Российской академии наук

(Ученый секретарь ВЦ ДВО РАН, кандидат физико-математических наук, доцент В.Д. Власенко)

Ткаченко О.П. Прикладная механика. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2016.

Методическое пособие соответствует ГОС ВПО направления подготовки бакалавров 09.03.01 – Информатика и вычислительная техника по профилю «Системы автоматизированного проектирования».

В методическом пособии предлагается авторский курс лекций по механике, и рекомендации по решению задач. Курс основан на классических учебниках по сопротивлению материалов и теории упругости. В рамках дисциплины «Прикладная Механика» студенты изучают основные методы расчетов на прочность и устойчивость элементов механизмов и конструкций. Предполагается, что при решении задач студенты будут пользоваться пакетом прикладных программ APM Win Machine. Список литературы содержит источники, полностью охватывающие необходимый материал курса.

Предназначено для студентов третьего-четвертого курса дневной формы обучения и второго-четвертого курсов заочного обучения, изучающих дисциплину «Прикладная механика» и участвующих в УИРС и НИРС.

УДК 531: 539.3 (075.8)

ББК В21 я73

Введение

Курс представляет собой цикл лекций и практических задач по прикладной механике, прочитанных студентам ЕНИ ДВГУПС. Цель курса — научить студентов рассчитывать важные механические характеристики элементов конструкций, проводить основные расчеты на прочность и устойчивость, а также анализировать параметры стандартных деталей машин.

В пособии изложены современные методы решения научных и практических задач механики. После изучения дисциплины «Прикладная механика» студент должен знать: фундаментальные законы механики, необходимые для выполнения инженерных расчетов; основные методы расчетов на прочность и устойчивость стержневых систем. Студент должен уметь: применять полученные знания для анализа задач расчетов на прочность и устойчивость; решать задачи на вычисление силовых факторов в конструкциях; выполнять расчеты на прочность; проводить механический анализ конструкции и оценивать полноту исходных данных для выполнения расчета; строить адекватные расчетные схемы для данных в техническом задании конструкций; выполнять инженерный анализ работы балок и валов. В результате изучения дисциплины студент должен овладеть: навыками применения математического аппарата к решению прикладных задач механики; методами ручного расчета балок и валов на прочность и устойчивость; инструментами современных пакетов прикладных программ для выполнения инженерных расчетов.

В рамках дисциплины изучаются: основы теории напряжений и деформаций в стержнях и пластинах, расчеты балок и валов на прочность, основы теории устойчивости стержней, применение вариационных методов при расчете стержней и пластин.

В предлагаемом пособии упор сделан на современные аналитические и численные методы расчета напряжений и деформаций. Эти методы используются при создании программного обеспечения САПР (пакеты Solid Works, APM Win Machine, Компас, и другие), а эпюры внутренних усилий и напряжений являются выходными данными. Предлагаемый курс лекций и задач не заменяет учебник. Им рекомендуется пользоваться совместно с учебниками [1, 3, 12], или же другими апробированными книгами.

Гипотезы о твердом теле. Основы теории напряжений

Прикладная механика изучает напряжения и деформации, вызванные внешними нагрузками в твердом теле. Конечным результатом расчета является выяснение важных механических характеристик элементов конструкций (предельная нагрузка, условия устойчивости и другие).

В ее основу положены законы теоретической механики. В качестве методов расчета используется интегральное и дифференциальное исчисление. Для изучения курса необходимо знать указанные выше предметы на уровне курсов, преподаваемых в технических вузах.

Основные гипотезы о твердом теле

а) Сплошность (не рассматривается атомарная структура). Дает возможность рассматривать деформации и перемещения как непрерывные функции координат.

б) Однородность. Одни и те же внутренние напряжения вызывают одинаковые деформации. Это означает, что упругие константы одинаковы во всем теле.

в) Изотропность. Упругие свойства тел не зависят от направления.

Система для расчетов на компьютере.

Для проведения стандартных видов расчета научно-техническим центром АПМ создан комплекс программ APM WinMachine [13]. Наиболее важны в механике деформируемого твердого тела следующие модули:

APM Beam – расчет стержней на поперечный изгиб;

APM Shaft – расчет валов на изгиб и кручение;

APM FEM – расчет напряженного состояния методом конечных элементов (компонент программы «Компас»);

APM Structure3D – расчет стержневых и пластинчатых пространственных конструкций.

Состояние чистого сдвига.

Пусть . Тогда .

Определение. Состоянием чистого сдвига называют такое плоское напряженное состояние, при котором в окрестности любой точки можно выделить элемент так, что на его четырех гранях отличны от нуля только равные между собой касательные напряжения.

Рис. 4. Кручение трубы

В качестве примера можно привести задачу о кручении тонкостенной трубы на рис. 4. Можно доказать, что данная нагрузка ведет к состоянию чистого сдвига.

Основы теории деформаций

3.1. Удлинение стержня и закон Гука

Пусть стержень растянут силой . После приложения силы его длина стала , где называется абсолютным удлинением стержня. Возникло т.н. однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках одинаковы.

Относительным удлинением назовем величину

Величина называется еще осевой деформацией стержня.

Пусть при неоднородной деформации точка стержня с координатой сместилась на расстояние , а точка с координатой сместилась на расстояние . Тогда осевую деформацию участка стержня между этими точками найдем по определению

(4)

Полученное соотношение (4) является общим и демонстрирует различие между деформацией в точке с координатой и перемещением этой точки.

Для состояния чистого растяжения выполняется закон Гука

где – модуль Юнга. Отсюда можно вывести формулу для удлинения стержня первоначальной длины . Верна цепочка равенств:

Этими формулами можно пользоваться при построении эпюры перемещений по эпюре внутренних усилий.

3.2. Перемещения и деформации в твердом теле

Пусть точка твердого тела с координатами при деформации перемещается в точку с координатами . Вектор назовем вектором перемещения точки :

По определению, координатами вектора перемещения будут величины

Координаты вектора перемещения являются функциями координат точки :

Деформирование тела вызывается разницей в перемещениях его различных точек.

Рассмотрим деформирование параллелепипеда на рис. 5.

Рис. 5. Деформация прямого угла

Длина проекции ребра на ось :

Проекция абсолютного удлинения на ось :

Относительное удлинение вдоль оси :

Эта величина является линейной деформацией по направлению оси . Аналогично получим:

Рассмотрим изменение углов при деформации. Тангенс угла поворота отрезка в плоскости равен

Считая деформацию малой, положим:

Отсюда следует, что

Аналогично выполнено равенство:

Угол сдвига в плоскости (искажение прямого угла ) называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

Аналогично

Очевидно, что

в силу определения угловых деформаций.

Выражение деформаций через перемещения называются уравнениями Коши:

(5)

Объемная деформация.

Вычислим изменение объема бесконечно малого параллелепипеда с начальным объемом . При этом пренебрежем угловыми деформациями. После деформирования длина равна

Аналогично

Объем полученного параллелепипеда

Раскроем скобки и пренебрежем произведениями деформаций как величинами второго порядка малости. Получим:

Обозначим

Величина называется объемной деформацией.

3.3. Закон Гука

При малых деформациях принято считать, что для чистого растяжения стержня нормальные напряжения и линейная деформация пропорциональны:

При этом имеют место поперечные деформации по закону Пуассона:

– коэффициент Пуассона.

Для состояния чистого сдвига при кручении стержня экспериментально установлена зависимость

где – модуль сдвига, – угол сдвига, – касательное напряжение. Известно, что

Обобщенный закон Гука.

При малых объемных деформациях выполнены соотношения

(6)

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука [8].

Методика расчета.

Исходная формула:

Должно выполняться условие:

При заданном напряжение максимально в наиболее удаленной от оси стержня точке при . Величина называется моментом сопротивления и для стандартных сечений есть в справочниках, например, в [6].

Для прямоугольного стержня

Для круглого стержня:

Для расчета надо найти , затем максимум модуля этой функции.

Алгоритм расчета балки на прочность:

1) Строим эпюру изгибающих моментов. Пакет APM WinMachine позволяет это автоматизировать.

2) Находим момент сопротивления как функцию размеров сечения.

3) Используем формулу:

где – коэффициент запаса прочности, для окончательного решения задачи.

Много примеров расчета приведено в книгах [2], [3], [4], [12].

6.2. Кручение круглых стержней

Определение. Кручение — такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

Пусть один конец бруса заделан, а ко второму приложен внешний крутящий момент . Тогда в любом поперечном сечении будет действовать крутящий момент . Найдем касательные напряжения, перпендикулярные радиусу круга поперечного сечения.

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку , при напряжении равна , а ее момент относительно центра сечения

Суммируя элементарные моменты, получим:

(*)

В [11] есть формула для угловой деформации:

Закон Гука для сдвига , откуда:

Подставляя эту формулу в (*), получим:

Величина называется полярным моментом сопротивления.

Отсюда найдем формулу для углов закручивания:

Касательное напряжение:

Максимальные касательные напряжения возникают на поверхности вала при :

(13)

Величина называется полярным моментом сопротивления. Формулу

применяют и к стержням некруглого сечения. В этом случае рекомендуется брать больший коэффициент запаса прочности.

Условие прочности вала при кручении:

и должны быть заданы. В другом виде это условие:

(14)

Энергия стержня при изгибе.

При чистом изгибе стержня выполнены соотношения:

Отсюда свободная энергия единицы объема:

Ранее для кривизны изогнутого стержня найдено:

Интегрируя по площади поперечного сечения, найдем энергию единицы длины стержня:

Подставим выражение для кривизны:

Полную энергию изогнутого стержня найдем интегрированием:

Выразим моменты и энергию через прогибы стержня :

Принцип виртуальной работы

Формулировка принципа виртуальной работы. Если тело находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на него, на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Определение. Виртуальное перемещение — любое малое перемещение, совместимое с условиями сплошности материала и условиями закрепления.

Виртуальные перемещения еще называются вариациями перемещений и обозначаются , , . Математически принцип виртуальной работы записывается так:

Здесь – сумма проекций на ось всех сил, внешних и внутренних.

Работа внутренних сил равна изменению свободной энергии, взятому с обратным знаком:

где – вариации деформаций. Знак минус потому, что работа совершается против сил взаимодействия между частицами.

Работа внешних сил.

Внешние силы делятся на:

а) Поверхностные силы , , , действующие на элемент поверхности .

б) Объемные силы , , , действующие на элемент объема .

В состоянии равновесия полная виртуальная работа равна нулю:

Поскольку внешние силы заданы явно, то операцию варьирования можно вынести за интеграл. Считая объемные силы равными нулю, получим:

(17)

8.1. Приложение принципа виртуальной работы к выводу уравнений равновесия стержня

Пусть стержень изгибается в двух плоскостях и распределенной поперечной нагрузкой . Для свободной энергии изгиба плоскости ранее получена формула:

Далее считаем, что при любом : . Очевидно, что для энергии изгиба в плоскости выполняется аналогичная формула.

Тогда полная свободная энергия стержня:

Выпишем принцип виртуальной работы для стержня:

Далее пользуемся свойствами операции варьирования:

а) Для операции варьирования выполняются те же формулы, что и для дифференцирования, например: .

б) Операции варьирования и дифференцирования перестановочны: .

Найдем вариацию свободной энергии:

Эта формула получена путем перестановки во втором интеграле операций варьирования и дифференцирования и интегрирования по частям. Подставляя полностью проварьированную таким образом свободную энергию в принцип виртуальной работы, получим:

Поскольку вариации произвольны, то должны обращаться в нуль производные при них. Приведем подобные, выделив вариации величин:

Отсюда можно сразу выписать уравнения равновесия и краевые условия для шарнирно опертой балки:

Можно также найти все интегралы, выведенные для случая плоского изгиба стержня.

Если теперь решить задачу численно на компьютере, вычислить интегралы и найти максимальный изгибающий момент, то найдем условия прочности стержня при сложной нагрузке, избегнув полуэмпирических методов сопротивления материалов.

Устойчивость стержней

Пусть стержень сжимается силой , действующей вдоль его оси. При увеличении силы появляется второе, отличное от прямолинейного, положение равновесия, энергетически более выгодное. Тогда говорят, что стержень теряет устойчивость. Как правило, новое положение равновесия не описывается уравнениями, полученными ранее, потому что перемещения не малы.

Определение. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критической силой.

С точки зрения практики, критическая сила должена рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Цель расчета на устойчивость: обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме упругого равновесия, то есть при малых деформациях.

Условие расчета:

где – допустимая нагрузка, – критическая сила, – коэффициент запаса устойчивости.

9.1. Вывод формулы для критической силы

Пусть стержень потерял устойчивость и изогнулся, и пусть продолжает выполняться закон Гука, рис. 8. Тогда:

Рис. 8. Потеря устойчивости стержнем

Обозначим , тогда

Решение этого уравнения известно:

Из при следует, что , . Подставляя значение , пользуемся краевым условием . Одно из решений этого уравнения

(18)

Формула (18) называется формулой Эйлера для основного случая продольного изгиба.

При других способах закрепления стержня, отличающихся от изображенного на рис.8, выполнена формула:

Здесь – приведенная длина стержня. Часто пользуются обозначением , – коэффициент приведения длины. Значения этого коэффициента для стандартных способов закрепления есть в [6].

9.2. Пределы применимости формулы Эйлера

Критическое напряжение, по определению, равно

Формула Эйлера применима, если выполнен закон Гука, то есть

где – предельно допустимое напряжение на сжатие. По Эйлеру:

Здесь обозначено

гибкость стержня.

Отсюда условие применимости формулы Эйлера запишется в виде:

Определение. Величина называется предельной гибкостью стержня.

Эта величина приведена в справочниках. Если гибкость меньше предельной, то вместо расчета на устойчивость нужен расчет на прочность. Предельная гибкость – это физический параметр материала.

Пример. Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения из хромомолибденовой стали ( МПа, МПа), если требуемый коэффициент запаса устойчивости . Сжимающая сила кН, длина стойки м, внутренний и внешний диаметры мм, мм, коэффициент приведения длины .

Решение.

Предельная гибкость

Момент инерции сечения:

Площадь сечения

Гибкость

следовательно, применима формула Эйлера. В единицах СИ получим:

Коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, заданные условия устойчивости стойки выполнены.

Основные понятия и гипотезы.

Определение 1. Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.

Определение 2. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластинки.

Координаты:

декартовы координаты в срединной плоскости,

ось, направленная вертикально вниз.

прогиб пластинки (перемещение вдоль ).

Пластинка считается тонкой, если: ; .

Допустимо считать тонкой пластинку, в которой выполнено .

Если , то применяют теорию гибких пластин.

Гипотезы теории пластин.

Гипотеза прямых нормалей. Сдвиги в плоскостях отсутствуют: Нет деформации вдоль :

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: .

Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости:

11.1. Перемещения и деформации в пластинке

Как правило, из уравнений равновесия находят прогиб пластинки . Выразим деформации через этот прогиб. Для получения этих выражений нам понадобятся формулы Коши, выражающие деформации через перемещения:

; ;

; ; (19)

; .

, следовательно, - из уравнений Коши.

Это означает, что прогиб не зависит от координаты .

Из следует

Поскольку не зависит от , проинтегрируем эти уравнения по :

Из того, что при (на срединной поверхности) следует .

Отсюда получим

; .

Ненулевые деформации из формул Коши равны:

(20)

В этих уравнениях деформации выражены через прогибы .

11.2. Напряжения в пластине

По предположению, .

Закон Гука для нормальных напряжений

Решая систему относительно , , и учитывая (20):

; , откуда

(21)

Закон Гука для сдвиговых напряжений

Оказывается, пользоваться законом Гука при определении , нельзя, поскольку тогда получим = =0, согласно гипотезе прямых нормалей. Воспользуемся непосредственно уравнениями равновесия из теории упругости, пренебрегая объемными силами:

Используя (21), получим:

Интегрируя по :

Здесь - оператор Лапласа.

Считая, что на верхней и нижней плоскостях нет касательных нагрузок, т.е. =0 при , найдем

Подставляя в формулу для , получим

Тем же путем получим

(22)

Таким образом, напряжения выражены через прогибы формулами (21), (22). На рис. 11 приведены эпюры напряжений в зависимости от вертикальной координаты в соответствии с выведенными формулами.