Равновесие прямоугольной пластины

Рис. 15. Геометрия задачи и краевые условия

 

Рассмотрим шарнирно опертую по краю пластинку. Для нее краевая задача имеет вид:

при (26)

при

Решение ищем в виде двойного тригонометрического ряда:

 

В математической теории упругости применяют сокращенную запись:

	(27)

 

 

Задача сводиться к определению коэффициентов Ряд (27) удовлетворяет краевым условиям в силу того, что .

Для определения надо разложить нагрузку q(x, y) в ряд, аналогичный (27), найти производные от w, подставить все эти данные в уравнение (26) и сравнить эти коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях слева и справа. Сделаем это:

 

 

где известно из курса математического анализа.

Собирая все результаты, получим:

 

(28)

 

 

Сравнивая левую и правую части, получим:

, откуда

Таким образом, функция (27) полностью определена. Частные случаи:

1) Нагрузка равномерно распределена по поверхности, q=const:

при нечетных m=1, 3, 5..; n=1, 3, 5… (при четных индексах интеграл обращается в ноль).

Подставляя в решение (27), получим:

, (m, n=1, 3, 5,..) (29)

Изгибающие моменты выражаются через прогибы по формулам:

Вторые производные равны:

.

Подставляя эти выражения в формулы для моментов, получим:

 

Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластины при . Для составления таблиц их представляют в виде:

, где - функции отношения . Ряд (30) сходится медленнее, чем (29), так как степень числителя выше.

Эпюры изгибающих моментов получаются табулированием функций (30). Для их построения надо оставить 4 слагаемых в ряде, т.е. члены для значений m = 1; 3, n=1; 3 и табулировать (30) с шагом по x, по y. Ошибка при этом не превышает 3% от точного значения.

2) Сила Р сосредоточена в точке К с координатами , . Тогда, используя - функцию, получим:

Тогда для прогибов получим:

 

Этот ряд сходиться медленно, ряды же для и сходятся еще медленнее. Поэтому эту методику можно использовать в данном случае только для нахождения прогибов. После определения можно на компьютере численно найти и построить эпюры изгибающих моментов.

Применение вариационных принципов к расчету пластин

14.1. Энергия тонкой пластинки

При , формула для удельной энергии деформации принимает вид [6]:

. (31)

Вспоминая формулы для напряжений и деформаций

;

.

получим

(32)

Энергия всей пластинки:

.

Потенциальная энергия растянутого стержня:

. (33)

 

14.2. Вариационные принципы при расчете пластин

При исследовании задач теории упругости часто используют вариационные методы. Варьирование функции – операция, похожая на дифференцирование. Подробно об этой операции можно узнать из [5]. Вариационные методы часто называют энергетическими, потому что они основаны на понятиях работы сил и энергии деформации.

Принцип возможных перемещений: разность между работой внешних сил и полной энергией деформации твердого тела минимальна только на действительном перемещении этого тела.

Математически это означает, что деформация тела, имеющая место в действительности, минимизирует разность:

(34)

При изгибе пластинки работа внешних сил равна:

, – внешняя нагрузка, – прогиб пластинки. Потенциальная энергия получается после интегрирования по всей площади пластинки:

Если выбрать вид функции прогиба:

где – известные функции, удовлетворяющие граничным условиям, то условие минимальности примет вид:

(35)

После этих выкладок становится ясен алгоритм решения задачи о равновесии пластинки (метод Ритца):

1) Задаем базисные функции .

2) Находим выражения для .

3) Из условия (35) получим уравнений для неизвестных коэффициентов . Это будут линейные алгебраические уравнения.

4) Найдем и подставим в выражения для прогиба пластины , решив тем самым задачу.

Подробно этот метод изложен в учебнике [8].

Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации.

Рассматривается задача о растяжении в своей плоскости прямоугольной пластинки напряжениями, приложенными вдоль ее краев по параболическому закону (рис. 16).

Пластинка растянута усилиями:

при (парабола);

при

Нагрузка вдоль оси, перпендикулярной плоскости пластины, равна нулю, поэтому . В учебнике [10] утверждается, что энергия деформации пластинки единичной толщины в этом случае равна:

(36)

 

Рис. 16. Нагружение пластины в ее плоскости

 

Так как распределение напряжений в прямоугольной пластине не зависит от упругих констант материала, положим в (36) Введем функцию напряжений следующим способом:

Тогда энергия пластинки выразится через функцию напряжений:

Функцию напряжений будем искать в виде:

.

При этом все должны удовлетворять краевым условиям, а коэффициенты находим из условий

….

Пусть при этом краевые условия выполнены. Тогда получим уравнение для неизвестной

Для квадратной пластинки со стороной :

Зная , можно определить неизвестные напряжения. Фактически при решении этой задачи использован метод Ритца.

 

Список литературы

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов.– М.: Высшая школа, 1990.– 400 с.

2. Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Н.М. Беляев. – М.: Физматгиз, 1962. – 348 с.

3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. / Г.М. Ицкович.– М.: Высшая школа, 1982. – 383 с.

4. Ицкович Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / Г.М. Ицкович, А.И. Виноградов, Л.С. Минин. – М.: Высшая школа, 1999. – 592 с.

5. Ландау Л.Д. Теория упругости / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.– М.: Наука, 1987. – 248 с.

6. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С.Писаренко, А.П.Яковлев, В.В.Матвеев.– Киев: Наукова думка, 1988.– 736 с.

7. Рукавишников В.А. Специальные главы механики деформируемых тел / В.А. Рукавишников, О.П. Ткаченко. ­– Хабаровск: Издательство ДВГУПС, 2006. – 60 с.

8. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль.– М.: Высшая школа, 1982. – 264 с.

9. Тимошенко С.П. Механика материалов / С.П. Тимошенко, Дж. Гере. – СПб.: Издательство «Лань», 2002.– 672 с.

10. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. – М.: Наука, 1979. – 560 с.

11. Ткаченко О.П. Прикладная механика / Методические указания по курсу «Прикладная механика» специальности САПР / О.П. Ткаченко – Хабаровск: Издательство ДВГУПС, 2003. – 36 с.

12. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1986.– 512 с.

13. Шелофаст В.В. Основы проектирования машин / В.В. Шелофаст.– М.: Наука, 2000. – 376 с.

 

Содержание

Введение. 3

1. Гипотезы о твердом теле. Основы теории напряжений. 4

1.1. Внутренние напряжения в твердом теле. 4

1.2. Силовые факторы в стержне. 6

2. Тензор напряжений. Типы напряженного состояния. 7

2.1. Уравнения равновесия твердого деформируемого тела. 7

2.2. Главные площадки и напряжения. 9

3. Основы теории деформаций. 10

3.1. Удлинение стержня и закон Гука. 10

3.2. Перемещения и деформации в твердом теле. 11

3.3. Закон Гука. 14

4. Введение в механику стержня. Кручение и изгиб стержня. 15

4.1. Простейшие задачи механики стержня. 15

4.2. Теорема Журавского-Шведлера. 18

4.3. Построение эпюры изгибающих моментов. 19

5. Изгиб стержня. Уравнение изогнутой линии при прямом изгибе. 19

5.1. Обобщение теоремы Журавского-Шведлера. 19

5.2. Уравнение изогнутой линии стержня. 20

5.3. Граничные условия на концах стержня и их физический смысл. 22

6. Расчет на прочность при прямом изгибе стержня. Кручение стержней. 24

6.1. Расчет на прочность. 24

6.2. Кручение круглых стержней. 25

7. Энергия деформации при изгибе и кручении стержня. 26

8. Принцип виртуальной работы.. 29

8.1. Приложение принципа виртуальной работы к выводу уравнений равновесия стержня. 30

9. Устойчивость стержней. 32

9.1. Вывод формулы для критической силы.. 32

9.2. Пределы применимости формулы Эйлера. 33

10. Расчет вала с прямым изгибом. 35

10.1. Теории прочности. 35

10.2. Расчет вала на изгиб с кручением.. 37

11. Деформации и напряжения в тонкой пластине. 39

11.1. Перемещения и деформации в пластинке. 39

11.2. Напряжения в пластине. 40

11.3. Усилия в тонкой пластинке. 43

12. Уравнение равновесия тонкой пластины.. 45

12.1. Вывод уравнения равновесия пластины.. 45

12.2. Формулировка граничных условий. 46

12.3. Изгиб круглой пластинки. 47

13. Равновесие прямоугольной пластины.. 50

14. Применение вариационных принципов к расчету пластин. 54

14.1. Энергия тонкой пластинки. 54

14.2. Вариационные принципы при расчете пластин. 55

Список литературы.. 58

Содержание. 59

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: