Энергия деформации при изгибе и кручении стержня

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

В случаях сложного деформирования напряжения в твердом теле вычисляют, исходя из вариационных принципов. Для применения этих принципов надо уметь находить изменение энергии тела при деформации. Мы кратко ознакомимся с методами вычисления этой энергии в случаях простой деформации стержня.

Энергия деформируемого тела.

Обозначим:

Тогда

При этих обозначениях компоненты тензора деформаций:

тензора напряжений

Первое начало термодинамики (см. [5]) имеет вид:

где – изменение внутренней энергии, – полученное телом количество теплоты, – совершенная телом работа. В механике важна не , а свободная энергия [5]:

– температура, – энтропия. При постоянной температуре и .

При деформировании тела совершается работа [9]:

Тогда из первого начала термодинамики

Здесь принято обычное правило суммирования по повторяющимся индексам. Можно показать, что свободная энергия деформированного тела в единице объема равна

(15)

Эта же формула в старых обозначениях [9]:

(15’)

Энергия стержня при кручении.

При кручении выполняются соотношения:

По закону Гука

Подставляя эти значения в (15’), получим для свободной энергии бесконечно малого объема :

Энергия кручения отрезка стержня получается интегрированием этой формулы по площади поперечного сечения :

С другой стороны, угол поворота связан с крутящим моментом формулой:

откуда следует

Заменяя обратно , получим энергию единицы длины стержня при кручении:

Полную свободную энергию стержня длины при кручении получим интегрированием:

(16)

Энергия стержня при изгибе.

При чистом изгибе стержня выполнены соотношения:

Отсюда свободная энергия единицы объема:

Ранее для кривизны изогнутого стержня найдено:

Интегрируя по площади поперечного сечения, найдем энергию единицы длины стержня:

Подставим выражение для кривизны:

Полную энергию изогнутого стержня найдем интегрированием:

Выразим моменты и энергию через прогибы стержня :

Принцип виртуальной работы

Формулировка принципа виртуальной работы. Если тело находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на него, на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Определение. Виртуальное перемещение — любое малое перемещение, совместимое с условиями сплошности материала и условиями закрепления.

Виртуальные перемещения еще называются вариациями перемещений и обозначаются , , . Математически принцип виртуальной работы записывается так:

Здесь – сумма проекций на ось всех сил, внешних и внутренних.

Работа внутренних сил равна изменению свободной энергии, взятому с обратным знаком:

где – вариации деформаций. Знак минус потому, что работа совершается против сил взаимодействия между частицами.

Работа внешних сил.

Внешние силы делятся на:

а) Поверхностные силы , , , действующие на элемент поверхности .

б) Объемные силы , , , действующие на элемент объема .

В состоянии равновесия полная виртуальная работа равна нулю:

Поскольку внешние силы заданы явно, то операцию варьирования можно вынести за интеграл. Считая объемные силы равными нулю, получим:

(17)

8.1. Приложение принципа виртуальной работы к выводу уравнений равновесия стержня

Пусть стержень изгибается в двух плоскостях и распределенной поперечной нагрузкой . Для свободной энергии изгиба плоскости ранее получена формула:

Далее считаем, что при любом : . Очевидно, что для энергии изгиба в плоскости выполняется аналогичная формула.

Тогда полная свободная энергия стержня:

Выпишем принцип виртуальной работы для стержня:

Далее пользуемся свойствами операции варьирования:

а) Для операции варьирования выполняются те же формулы, что и для дифференцирования, например: .

б) Операции варьирования и дифференцирования перестановочны: .

Найдем вариацию свободной энергии:

Эта формула получена путем перестановки во втором интеграле операций варьирования и дифференцирования и интегрирования по частям. Подставляя полностью проварьированную таким образом свободную энергию в принцип виртуальной работы, получим:

Поскольку вариации произвольны, то должны обращаться в нуль производные при них. Приведем подобные, выделив вариации величин:

Отсюда можно сразу выписать уравнения равновесия и краевые условия для шарнирно опертой балки:

Можно также найти все интегралы, выведенные для случая плоского изгиба стержня.

Если теперь решить задачу численно на компьютере, вычислить интегралы и найти максимальный изгибающий момент, то найдем условия прочности стержня при сложной нагрузке, избегнув полуэмпирических методов сопротивления материалов.

Устойчивость стержней

Пусть стержень сжимается силой , действующей вдоль его оси. При увеличении силы появляется второе, отличное от прямолинейного, положение равновесия, энергетически более выгодное. Тогда говорят, что стержень теряет устойчивость. Как правило, новое положение равновесия не описывается уравнениями, полученными ранее, потому что перемещения не малы.

Определение. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критической силой.

С точки зрения практики, критическая сила должена рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Цель расчета на устойчивость: обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме упругого равновесия, то есть при малых деформациях.

Условие расчета:

где – допустимая нагрузка, – критическая сила, – коэффициент запаса устойчивости.

9.1. Вывод формулы для критической силы

Пусть стержень потерял устойчивость и изогнулся, и пусть продолжает выполняться закон Гука, рис. 8. Тогда:

Рис. 8. Потеря устойчивости стержнем

Обозначим , тогда

Решение этого уравнения известно:

Из при следует, что , . Подставляя значение , пользуемся краевым условием . Одно из решений этого уравнения

(18)

Формула (18) называется формулой Эйлера для основного случая продольного изгиба.

При других способах закрепления стержня, отличающихся от изображенного на рис.8, выполнена формула:

Здесь – приведенная длина стержня. Часто пользуются обозначением , – коэффициент приведения длины. Значения этого коэффициента для стандартных способов закрепления есть в [6].

9.2. Пределы применимости формулы Эйлера

Критическое напряжение, по определению, равно

Формула Эйлера применима, если выполнен закон Гука, то есть

где – предельно допустимое напряжение на сжатие. По Эйлеру:

Здесь обозначено

гибкость стержня.

Отсюда условие применимости формулы Эйлера запишется в виде:

Определение. Величина называется предельной гибкостью стержня.

Эта величина приведена в справочниках. Если гибкость меньше предельной, то вместо расчета на устойчивость нужен расчет на прочность. Предельная гибкость – это физический параметр материала.

Пример. Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения из хромомолибденовой стали ( МПа, МПа), если требуемый коэффициент запаса устойчивости . Сжимающая сила кН, длина стойки м, внутренний и внешний диаметры мм, мм, коэффициент приведения длины .