Расчет вала с прямым изгибом

10.1. Теории прочности

При совместном действии изгиба и кручения в вале возникает сложное напряженное состояние. В этом случае нельзя ограничиться нахождением только для расчета на прочность, надо учесть влияние и других компонент тензора напряжений. Если привести этот тензор к диагональному виду, то, согласно диаграмме Мора, получим

где -максимальное главное значение напряжения, -минимальное, -максимальное касательное напряжение. Так как наибольшее ограничение на прочность накладывается именно максимальным касательным напряжением, за критерий прочности часто принимают величину

Когда в основу кладется эта величина, говорят о третьей теории прочности. называется эквивалентным напряжением и при расчете пользуются следующим условием прочности:

При четвертой теории прочности под эквивалентным напряжением понимают такое напряжение растяжения, при котором потенциальная энергия деформации равна энергии деформации образца. Это означает, что для эквивалентного напряжения принимают формулу:

Упрощенное плоское напряженное состояние.

Выразим экстремальные главные напряжения в предположении, что напряженное состояние является плоским и от нуля отличны только , . При этом

где – изгибающий момент, – момент сопротивления.

 

 

Рис.9. Плоское напряженное состояние

 

Рассматривая площадку, нормаль к которой наклонена к оси , совпадающей с продольной осью стержня, под углом (рис. 9), для нормального и касательного напряжения на ней из условий равновесия призмы получим:

 

Из условия экстремальности напряжения найдем , с другой стороны, условие равенства нулю касательных напряжений дает:

то есть экстремальные нормальные напряжения возникают на тех площадках, на которых касательные равны нулю.

Подставляя в формулу для , получим:

При этом , то есть эти напряжения главные, и :

 

Отсюда максимальное касательное напряжение

По гипотезам прочности:

 

При практическом расчете валов рекомендуется пользоваться третьей теорией прочности.

10.2. Расчет вала на изгиб с кручением

При одновременном действии изгибающих и крутящих моментов учитывают два фактора: касательные напряжения от кручения и нормальные напряжения от изгиба .

Пусть на вал длины насажено зубчатое колесо диаметром и шкив ременной передачи диаметром .

На колесо действуют радиальное и окружное усилия и , на шкив – натяжения ремня , .

Крутящие моменты выразим через действующие силы:

Условие равномерности вращения:

(*)

, , должны быть заданы при постановке задачи. Силу определим из (*).

Затем надо обычным образом построить эпюры , , . Результирующий изгибающий момент равен

 

Рис. 10. Расчет вала

 

В опасной точке

Здесь приняты обычные обозначения: – момент сопротивления сечения при изгибе, – полярный момент сопротивления. Эквивалентное напряжение

 

Как известно, для вала круглого (или кольцевого) сечения :

Условие прочности , откуда следует

Для круглого вала получим:

 

Деформации и напряжения в тонкой пластине

Основные понятия и гипотезы.

Определение 1. Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.

Определение 2. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластинки.

Координаты:

декартовы координаты в срединной плоскости,

ось, направленная вертикально вниз.

прогиб пластинки (перемещение вдоль ).

Пластинка считается тонкой, если: ; .

Допустимо считать тонкой пластинку, в которой выполнено .

Если , то применяют теорию гибких пластин.

Гипотезы теории пластин.

Гипотеза прямых нормалей. Сдвиги в плоскостях отсутствуют: Нет деформации вдоль :

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: .

Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости:

11.1. Перемещения и деформации в пластинке

Как правило, из уравнений равновесия находят прогиб пластинки . Выразим деформации через этот прогиб. Для получения этих выражений нам понадобятся формулы Коши, выражающие деформации через перемещения:

; ;

; ; (19)

; .

 

, следовательно, - из уравнений Коши.

Это означает, что прогиб не зависит от координаты .

Из следует

Поскольку не зависит от , проинтегрируем эти уравнения по :

Из того, что при (на срединной поверхности) следует .

Отсюда получим

; .

Ненулевые деформации из формул Коши равны:

(20)

В этих уравнениях деформации выражены через прогибы .

11.2. Напряжения в пластине

По предположению, .

Закон Гука для нормальных напряжений

,

.

Решая систему относительно , , и учитывая (20):

; , откуда

(21)

Закон Гука для сдвиговых напряжений

.

Оказывается, пользоваться законом Гука при определении , нельзя, поскольку тогда получим = =0, согласно гипотезе прямых нормалей. Воспользуемся непосредственно уравнениями равновесия из теории упругости, пренебрегая объемными силами:

Используя (21), получим:

Интегрируя по :

.

Здесь - оператор Лапласа.

Считая, что на верхней и нижней плоскостях нет касательных нагрузок, т.е. =0 при , найдем

Подставляя в формулу для , получим

Тем же путем получим

(22)

Таким образом, напряжения выражены через прогибы формулами (21), (22). На рис. 11 приведены эпюры напряжений в зависимости от вертикальной координаты в соответствии с выведенными формулами.

Рис.11. Распределение напряжений по толщине пластины

 

 

11.3. Усилия в тонкой пластинке

Найдем внутренние силовые факторы в сечении, перпендикулярном оси :

 

Рис.12. Внутренние силовые факторы

 

- изгибающий момент

- крутящий момент

- поперечная сила.

Все силы рассматриваются на единицу ширины пластины (т.е. делим на размер вдоль ).

По определению . Из (21) получим:

.

Изгибающий момент по определению:

. (23)

Обозначим

- цилиндрическая жесткость пластины.

Единицы измерения изгибающего момента на единицу ширины.

Поперечная сила:

.

Проинтегрировав, получим:

.

Единицы измерения: на единицу ширины.

Крутящий момент:

Единицы измерения: на единицу ширины.

Аналогично найдем

;

; (24)

;

Заметим, что , как и должно быть по третьему закону Ньютона.

Формулы (23), (24) связывают усилия в пластинке с прогибами срединной плоскости. Вычислив прогибы, можно полностью найти напряженное состояние в пластине.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: