Тензор напряжений. Типы напряженного состояния

2.1. Уравнения равновесия твердого деформируемого тела

Напряжения, введенные выше, объединяются в матрицу, называемую тензором напряжений:

Из условий равновесия и третьего закона Ньютона следует, что эта матрица симметрична. Уравнения равновесия в декартовых координатах выполняются всегда в любо точке внутри тела и имеют следующий вид [8]:

(2)

Здесь – компоненты вектора плотности внешней объемной силы, которая измеряется в . Система уравнений (2) не замкнута, поскольку содержит шесть независимых неизвестных. Кроме того, для ее замыкания нужны еще граничные условия. Внешние силы должны быть заданы.

Вектор интенсивности напряжений на произвольной площадке можно выразить через векторы напряжений на координатных площадках, то есть через компоненты тензора напряжений. Для этого рассмотрим деформированное твердое тело в состоянии равновесия под действием внешних сил.

Рис. 3. Интенсивность напряжений

Выделим в нем малый тетраэдр (рис.3), три грани которого параллельны координатным плоскостям, а четвертая определяется вектором нормали:

Площади граней:

Тетраэдр находится в равновесии, и на него действуют следующие силы:

1) На координатных площадках – составляющие напряжений , , , , .

2) На площадке – силы от составляющих вектора напряжения , , .

3) Составляющие объемной силы , , .

Полагая (по определению напряжения) силу равной произведению площади на напряжение, после проецирования всех сил на ось получим:

Считая тетраэдр бесконечно малым, пренебрегаем объемной компонентой, а именно, силой . Отсюда получим выражение напряжений на произвольной площадке через напряжения на координатных площадках:

2.2. Главные площадки и напряжения

Рассмотрим частный случай . Этому соответствует случай, когда на тело (например, брус) действуют силы в плоскости , не зависящие от координаты . Пусть нам известны все компоненты тензора напряжений. Требуется найти площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Для двумерного случая решение поставленной задачи дается уравнениями:

Здесь – направляющие косинусы вектора нормали к искомой площадке, – нормальное напряжение на этой площадке. Первые два уравнения представим в виде

(3)

Условие разрешимости этой системы

Решая это квадратное уравнение, получим два значения на двух взаимно перпендикулярных площадках. Принято нумеровать значения в порядке .

Направление найдем из одного из уравнений (3) и условия

Определение. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными.

Максимальное касательное напряжение в данной точке тела выражается через напряжения на главных площадках:

Аналогичные результаты для трехмерной задачи есть, например, в [10].

Состояние чистого сдвига.

Пусть . Тогда .

Определение. Состоянием чистого сдвига называют такое плоское напряженное состояние, при котором в окрестности любой точки можно выделить элемент так, что на его четырех гранях отличны от нуля только равные между собой касательные напряжения.

Рис. 4. Кручение трубы

В качестве примера можно привести задачу о кручении тонкостенной трубы на рис. 4. Можно доказать, что данная нагрузка ведет к состоянию чистого сдвига.

Основы теории деформаций

3.1. Удлинение стержня и закон Гука

Пусть стержень растянут силой . После приложения силы его длина стала , где называется абсолютным удлинением стержня. Возникло т.н. однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках одинаковы.

Относительным удлинением назовем величину

Величина называется еще осевой деформацией стержня.

Пусть при неоднородной деформации точка стержня с координатой сместилась на расстояние , а точка с координатой сместилась на расстояние . Тогда осевую деформацию участка стержня между этими точками найдем по определению

(4)

Полученное соотношение (4) является общим и демонстрирует различие между деформацией в точке с координатой и перемещением этой точки.

Для состояния чистого растяжения выполняется закон Гука

где – модуль Юнга. Отсюда можно вывести формулу для удлинения стержня первоначальной длины . Верна цепочка равенств:

Этими формулами можно пользоваться при построении эпюры перемещений по эпюре внутренних усилий.

3.2. Перемещения и деформации в твердом теле

Пусть точка твердого тела с координатами при деформации перемещается в точку с координатами . Вектор назовем вектором перемещения точки :

По определению, координатами вектора перемещения будут величины

Координаты вектора перемещения являются функциями координат точки :

Деформирование тела вызывается разницей в перемещениях его различных точек.

Рассмотрим деформирование параллелепипеда на рис. 5.

Рис. 5. Деформация прямого угла

Длина проекции ребра на ось :

Проекция абсолютного удлинения на ось :

Относительное удлинение вдоль оси :

Эта величина является линейной деформацией по направлению оси . Аналогично получим:

Рассмотрим изменение углов при деформации. Тангенс угла поворота отрезка в плоскости равен

Считая деформацию малой, положим:

Отсюда следует, что

Аналогично выполнено равенство:

Угол сдвига в плоскости (искажение прямого угла ) называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

Аналогично

Очевидно, что

в силу определения угловых деформаций.

Выражение деформаций через перемещения называются уравнениями Коши:

(5)

Объемная деформация.

Вычислим изменение объема бесконечно малого параллелепипеда с начальным объемом . При этом пренебрежем угловыми деформациями. После деформирования длина равна