Изгиб стержня. Уравнение изогнутой линии при прямом изгибе.

5.1. Обобщение теоремы Журавского-Шведлера

Пусть в точке с координатой на рис. 6 действует сосредоточенная сила . Определим -функцию Дирака следующим образом:

если . Эта функция позволяет рассматривать сосредоточенную силу как распределенную на очень малом отрезке с плотностью . При этом необходимо потребовать выполнение условного равенства

Уравнения равновесия сегмента стержня длиной принимают вид:

Отбрасывая величины второго порядка малости, получим

Проинтегрируем эти равенства:

(10)

Здесь принято, что на стержень действует сосредоточенных сил в точках с координатами . Равенства (10) выражают обобщенную теорему Журавского-Шведлера. Интеграл от -функций определяется здесь по формулам

Следуя этой теореме, можно численными методами строить эпюры на компьютере, если на балку не действуют сосредоточенные изгибающие моменты.

5.2. Уравнение изогнутой линии стержня

Обозначим: – поперечное перемещение стержня в точке с координатой – продольное перемещение.

Рис. 7. Перемещение элемента балки

Пусть при поперечном изгибе балки точка с координатами переместилась, как показано на рис. 7.

Примем гипотезу плоских сечений, т.е. после деформации поперечные сечения стержня остаются плоскими. Из нее следует, что

Продольная деформация по определению равна

По закону Гука нормальные напряжения равны

Отсюда видно, что нормальные напряжения меняются линейно по высоте сечения, и при (на оси стержня) .

Найдем изгибающий момент . По определению, он равен

Из курса математического анализа известно, что величина называется моментом инерции сечения относительно оси . Выражение для изгибающего момента относительно оси через прогиб :

(11)

Выразим отсюда и подставим результат в формулу для напряжений:

Из дифференциальных соотношений Журавского-Шведлера

исключим с помощью формулы (11) величины , :

(12)

Полученное соотношение является уравнением изгиба стержня. Зная его решение , можно по формуле (11) найти изгибающий момент и построить эпюру изгибающих моментов.

Интегралы уравнения и их физический смысл.

Последовательно интегрируя (12), получим ряд физических величин.

Первый интеграл:

где – поперечное усилие при .

Второй интеграл:

– изгибающий момент;

– изгибающий момент при .

Третий интеграл:

где – угол поворота сечения стержня, – этот угол при .

Четвертый интеграл:

где – прогиб стержня, – прогиб при .

5.3. Граничные условия на концах стержня и их физический смысл

В интегралы уравнения (12) входят четыре константы, значит, для постановки задачи надо добавить к этому уравнению четыре краевых условия. На каждом конце стержня обычно накладывают по два условия. Рассмотрим стандартные условия при различных способах закрепления стержня.

а) Жесткая шарнирная опора. При :

б) Жесткая заделка. Прогиб и угол поворота при равны нулю:

в) Свободный конец балки. Момент и поперечная сила равны нулю:

Пример. Определить прогибы шарнирно опертой балки, загруженной на концах моментами , и вдоль всей длины постоянной распределенной нагрузкой . Заданы постоянные .

Решение.

Сформулируем краевые условия:

Интегрируя четыре раза уравнение (12), получим:

Подставляя эту формулу в краевые условия:

Отсюда изгибающий момент равен:

Максимальный момент найдем из условия максимума . После вычислений получим мексимум в точке

Как известно из курса математического анализа, момент принимает максимальное значение либо в точке , либо на концах интервала, то есть при или .

Расчет на прочность при прямом изгибе стержня. Кручение стержней

6.1. Расчет на прочность

Цель расчета: подобрать размеры сечения заданной формы так, чтобы выполнялось условие прочности. Для расчета должны быть заданы:

а) Внешние нагрузки.

б) Предельно допустимое напряжение .

в) Форма поперечного сечения.

г) Условия закрепления концов балки.

д) Коэффициент запаса прочности.

При расчете обычно ставятся задачи: 1) подбор геометрических размеров сечения; 2) проверка условия прочности.

Методика расчета.

Исходная формула:

Должно выполняться условие:

При заданном напряжение максимально в наиболее удаленной от оси стержня точке при . Величина называется моментом сопротивления и для стандартных сечений есть в справочниках, например, в [6].

Для прямоугольного стержня

Для круглого стержня:

Для расчета надо найти , затем максимум модуля этой функции.

Алгоритм расчета балки на прочность:

1) Строим эпюру изгибающих моментов. Пакет APM WinMachine позволяет это автоматизировать.

2) Находим момент сопротивления как функцию размеров сечения.

3) Используем формулу:

где – коэффициент запаса прочности, для окончательного решения задачи.

Много примеров расчета приведено в книгах [2], [3], [4], [12].

6.2. Кручение круглых стержней

Определение. Кручение — такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

Пусть один конец бруса заделан, а ко второму приложен внешний крутящий момент . Тогда в любом поперечном сечении будет действовать крутящий момент . Найдем касательные напряжения, перпендикулярные радиусу круга поперечного сечения.