ФГОУ ВПО «ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Стр 1 из 10Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО «ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ И АВТОМАТИЗАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

А.С. МЕЛЬНИКОВ

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ

ЦЕПИ В НЕСТАЦИОНАРНОМ

РЕЖИМЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано

Дальневосточным региональным учебнометодическим центром

(ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов специальностей 110302 « электрификация и автоматизация сельского хозяйства», 140607 «Электрооборудование автомобилей и тракторов» вузов региона (Протокол №20 от 15.05.2007 г.)

Благовещенск

Издательство ДальГАУ

УДК 621.3.011.7

Мельников А.С. Линейные электрические цепи в нестационарном режиме: Учебное пособие / А.С. Мельников – Благовещенск: ДальГАУ, 2007. – 135с

Учебное пособие составлено в соответствии с программой курса «Теоретические основы электротехники» для специальностей: 110302 – электрификация и автоматизация сельского хозяйства; 140607 – электрооборудование автомобилей и тракторов.

В учебном пособии расматриваются нестационарные режимы электрических цепей (переходные процессы) и приводятся примеры расчёта электрических цепей классическим и операторным методами. Дана методика выполнения курсовой работы.

Учебное пособие предназначено для студентов очного, заочного обучения и факультета повышения квалификации института электрификации и автоматизации сельского хозяйства.

Рецензенты:

зав. кафедрой общей физики Благовещенского государственного педагогического университета, д.ф. – м.н, профессор, Ланкин С.В.;

Главный научный сотрудник ИГиП ДВО РАН, д.ф. – м.н, профессор, Левицкий Ю.Т.

Редактор А.И. Каземова

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПО МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

В практике эксплуатации электротехнических устройств часто наблюдается ступенчатое изменение параметров, как нагрузки, так и источника питания. При этом нарушается установившийся режим работы электротехнической установки, то есть ток, и напряжение электротехнической цепи переходят к новому установившемуся режиму. В цепи возникают нестационарные процессы и устанавливается особый режим, при котором цепь переходит из некоторого начального состояния в другое конечное состояние (происходит переходной процесс).

Переходным называется процесс, который возникает в электрической цепи при коммутации или в результате воздействия на цепь нестационарных электрических сигналов.

Изучение раздела по переходным процессам основывается на знаниях, полученных при изучении высшей математики, физики и теории электротехнических цепей курса ТОЭ.

Инженер – электрик должен обладать теоретической подготовкой по вопросам исследования и расчета электромагнитных процессов в электрических цепях при переходных режимах.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ЗАКОНЫ ТЕОРИИ АНАЛИЗА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Причина возникновения переходного процесса – коммутация, то есть скачкообразное изменение, какого – либо параметра электрической цепи. Простейшим видом коммутации является включение и отключение электрической цепи или ее элементов, различного рода переключения, короткие замыкания участков цепи, приводящие к переходу от одного установившегося режима к другому. После коммутации устанавливаются другие значения электрических величин. В катушках индуктивности и конденсаторах изменяются магнитные и электрические поля, а также имеет место процесс обмена энергии между ними и источниками энергии.

Поскольку электромагнитная энергия может запасаться только в катушках индуктивности и конденсаторе, то переходные процессы в резистивных цепях возникать не могут.

Таким образом, под переходным процессом понимается такой процесс, вызванный коммутацией, в течение которого в элементах цепи устанавливаются значения электрических величин, соответствующих новому установившемуся режиму.

Индуктивные и емкостные элементы являются инерционными, вследствие чего, для изменения энергетического состояния электрической цепи, требуется некоторый промежуток времени, в течение которого происходит переходной процесс. Переходные процессы в электротехнических установках протекают с длительностью сотых и тысячных долей секунды, но за это время токи и напряжения в отдельных элементах цепи могут достигать больших величин (в цепи возникают перенапряжения и сверхтоки).

Процесс нарастания тока за очень малый промежуток времени приводит к возрастанию электродинамических нагрузок настолько, что приводит к механическим разрушениям изоляторов, шин и других деталей электроустановок. Поэтому при выборе аппаратуры и определении диапазона режима работы важно не только учесть возможность возникновения переходных процессов в электрической цепи, но и выполнить квалифицированный их анализ.

Переходные процессы связаны с законами энергии в инерционных элементах цепи. Электромагнитная энергия, которая содержится в индуктивных и емкостных элементах цепи определяется по формуле

, (1.1)

где , – заряд и напряжение на емкости соответственно;

- потокосцепление и ток в индуктивности соответственно;

k порядковый номер ветви.

Поскольку при любых изменениях в электрической цепи, связанных с коммутацией, энергия, накопленная в индуктивных и емкостных элементах, мгновенно не изменяется, то для любого момента времени выполняются условия

(1.2)

;

где – заряд и напряжение на емкостях до коммутации;

– заряд и напряжение на емкостях после коммутации;

– потокосцепление и ток в индуктивностях до коммутации;

– потокосцепление и ток в индуктивностях после коммутации;

Протекание переходного процесса подчиняется законам коммутации и преобразованием энергии. Эти преобразования протекают во времени, следовательно, и энергия, связанная с этими полями, изменяется непрерывно.

Если считать, что в цепи выполняются условия

и , то законы коммутации можно записать в следующем виде:

первый закон ; (1.3)

второй закон . (1.4)

Первый закон коммутации определяет характер изменения тока в индуктивности.

Формула (1.3) показывает, что ток в ветви с индуктивностью непосредственно после коммутации равен тому же току, который был в этой ветви непосредственно перед коммутацией.

Второй закон коммутации определяет характер изменения напряжения на конденсаторе – напряжение на конденсаторе изменяться скачкообразно не может.

Математическое выражение второго закона коммутации определяется формулой (1.4).

Эта формула показывает, что напряжение на конденсаторе непосредственно после коммутации равно тому же напряжению,

которое было на конденсаторе непосредственно перед коммутацией.

Анализ переходных процессов сводится к определению значения тока и напряжения в зависимости от времени коммутации.

или

Расчет электромагнитных процессов в переходных режимах связан с составлением и решением интегрально-дифференциальных уравнений электрической цепи, составленной по законам Кирхгофа. Такой расчет может выполнятся двумя способами: с использованием мгновенных значений напряжений и токов или с использованием их комплексных значений.

Расчет с использованием мгновенных значений токов и напряжений принято называть классическим методом, а расчет с использованием комплексных значений – операторным методом.

Если воздействие имеет сложную форму, то расчет переходных процессов классическим методом дополняется применением интеграла наложения (интеграла Дюамеля).

ПРОЦЕССОВ

Классический метод анализа переходных процессов основан на использовании уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжения, независимо от характера источника питания: с постоянной или синусоидальной э.д.с.

Достоинством данного метода является его универсальность. Он пригоден для анализа любой сколь угодно сложной цепи. Данный метод обладает наглядностью, так как при расчете цепи виден характер изменения токов и напряжений. Недостаток его – необходимость решения дифференциальных уравнений для определения токов и напряжений цепи, так и системы алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования.

Как любой динамический процесс в материальных системах, так и переходной процесс в электрических цепях, описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Так, режим цепи синусоидального тока при последовательном соединении r, L и C и напряжении источника питания описывается уравнением

Полное решение такого неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищут в виде

где – частное решение данного неоднородного уравнения (принужденная составляющая);

– общее решение дифференциального уравнения (свободная составляющая, без независимых источников энергии).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находят для принужденного (установившегося) режима, когда переходный процесс закончен. При этом токи и напряжения на участках цепи определяются параметрами источника энергии и элементами электрической цепи. Токи и напряжения, получаемые в результате частного решения, называют принужденными , которые возникают под воздействием источника питания цепи.

Общее решение дифференциального уравнения без правой части соответствует режиму цепи при отсутствии внешнего источника энергии, то есть свободному режиму. Токи и напряжения, получаемые в результате общего решения однородного дифференциального уравнения, определяются параметрами элементов цепи и называются свободными , которые возникают за счет запасенной электромагнитной энергии в индуктивном и емкостном элементах в докоммутационный период. Так как запасы энергии ограничены и при протекании тока по элементам с сопротивлением r происходит рассеяние энергии в виде теплоты, то через некоторое время этот ток станет равным нулю.

Полное решение дифференциального уравнения позволяет определить ток в цепи в переходном режиме или напряжение на элементах цепи .

Таким образом, анализ переходного процесса сводится к решению интегрально – дифференциального уравнения типа

. (1.5)

Решение уравнений такого вида как было уже приведено выше, можно представить в виде суммы, состоящей из частного решения неоднородного уравнения без свободного члена и общего решения однородного уравнения.

В электротехнике этот метод интерпретируется в метод наложения, представляющий сумму двух значений. Первое значение получается от расчета электрической цепи при воздействии э.д.с. источников питания как при установившемся режиме.

Если в цепи действуют источник электрической энергии с синусоидальной э.д.с. – , то принужденная составляющая тока выразится синусоидальной функцией .

При воздействии источника питания с постоянной э.д.с. принужденная составляющая определяется по закону Ома

Второе значение получается при расчете той же электрической цепи, но без источника питания. В этом случае протекание процесса обеспечивается наличием электромагнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности и конденсаторе в докоммутационном установившемся режиме. Определение свободных составляющих осуществляется из дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа без учета э.д.с. источников электрической энергии.

Решение дифференциального уравнения без свободного члена осуществляется представлением искомого значения в виде суммы экспоненциальных функций времени

, (1.6)

где – постоянные интегрирования, однородных

дифференциальных уравнений, которые определяются из начальных условий при помощи законов коммутации цепи;

– показатель затухания свободных составляющих (корни соответствующих характеристических уравнений цепи);

– степень дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения методом разделения переменных практически целесообразно использовать для определения свободных составляющих, если дифференциальное уравнение не выше первого порядка, в остальных случаях – по формуле (1.6).

Показательная функция времени (на примере тока)

кроме монотонного затухания обладает еще важным свойством, а именно:

Постоянная интегрирования поскольку свободные составляющие не содержат независящих от времени слагаемых.

Таким образом, формула (1.7) показывает, что замена операции дифференцирования через , а – операция

интегрирования через называется алгебраизацией.

Определение показателя затухания осуществляется из характеристического уравнения для входного сопротивления, составленного в комплексной форме.

Поскольку для линейных электрических цепей с потерями корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то с увеличением времени t все свободные составляющие решений стремятся к нулю, то есть затухают. Это связано с тем, что запасы энергии в реактивных элементах ограничены, и при наличии потерь в цепи они уменьшаются, стремясь к нулю. При этом в решениях остаются только принужденные составляющие, которые характеризуют установившейся режим после коммутации. Для определения принужденных составляющих рассматривают установившейся режим после коммутации.

Пусть дифференциальное уравнение второго порядка

алгебраизируется к виду

Вынеся свободную составляющую тока

получаем характеристическое уравнение вида

из которого определяются значения показателя затухания в виде корней уравнения.

Характеристическое уравнение можно получить из выражения комплекса входного сопротивления для послекоммутационной схемы путем замены в нем на и приравнивая его к нулю . При составлении выражения входного сопротивления необходимо избегать преобразования соединения сопротивлений по схеме звезда в соединение по схеме треугольник и наоборот.

В тех случаях, когда разветвленная цепь имеет один накопитель энергии, формулу входного сопротивления желательно рассматривать относительно ветви с накопителем энергии .

Если в схеме имеются источники тока, входное сопротивление следует рассчитывать относительно любой другой ветви схемы, полагая при этом ветвь с источником тока разомкнутой.

Выражение свободного тока определяется видом корней характеристического уравнения. Если эти корни действительные, отрицательные и различные, то свободную составляющую любого тока (или напряжения) можно представить в виде

. (1.8)

Если корни характеристического уравнения равны между собой (то есть корень p имеет кратность m), то

(1.9)

Если корни комплексно – сопряженные, то есть и , то свободная составляющая представляется выражением

. (1.10)

Если один корень действительный (всегда отрицательный), а два корня сопряжено-комплексные: ; , то

, (1.11)

где – коэффициент затухания;

– угловая частота свободных колебаний;

– начальная фаза.

В формуле (1.10) постоянными интегрирования являются и .

Определение постоянных интегрирования свободного режима, например тока, осуществляется с использованием законов коммутации и значения искомых параметров для времени (начальные условия). В качестве независимых начальных условий берут значения токов индуктивных катушек и напряжений на конденсаторах к моменту коммутации. Если коммутация происходит мгновенно в момент времени и если мощность обмена энергией между отдельными электрофизическими элементами цепи остается конечной, то в этом случае выполняются законы коммутации и токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах являются непрерывными функциями времени

, .

Для электрической цепи первого порядка постоянную интегрирования находят из выражения искомого параметра, как сумму принужденной и свободной составляющих , рассматриваемого при ,

(1.12)

Для цепи второго порядка, если характеристическое уравнение имеет вещественные корни и , то при определении постоянных интегрирования используют уравнения

если же корни будут сопряженные и , то используют следующие уравнения

Если свободная составляющая состоит из слагаемых, где – степень характеристического уравнения, то следует взять производные по времени до порядка включительно.

Полученные уравнений переписываются вторично, заменяя левые части уравнения начальными значениями искомых параметров, а в правых частях приравнивая .

Из этих уравнений и находятся постоянные интегрирования . Суммируя значение принужденной и свободной составляющих, получается выражение искомого параметра (тока или напряжения) в функции времени.

УРАВНЕНИЕ

Анализ переходных процессов в разветвленных электрических цепях классическим методом сводится к составлению системы независимых интегрально – дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов отдельных ветвей и решению этой системы относительно одного из искомых токов или напряжений.

В результате получается линейное неоднородное интегрально – дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого находится в виде суммы принужденной и свободной составляющих.

Составление характеристического

уравнения методом алгебраизации

Пусть в цепи, представленной на рисунке 1.1, переходной процесс вызван скачкообразным изменением одного из параметров цепи. Составить характеристическое уравнение электрической цепи.

Электрическое состояние цепи в послекоммутационной схеме описывается системой уравнений

;

Рис. 1.1

Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений (1.15) производится в два этапа. На первом этапе находятся значения напряжений и токов принужденного режима, а на втором этапе определяются значения составляющих свободного режима.

Индексы токов в уравнениях дополняются индексом св, а э.д.с. или напряжения источников питания приравниваются к нулю. Система уравнений для свободных составляющих имеют вид

;

; (1.16)

Воспользовавшись выражениями (1.7), система (1.16) алгебраизируется и приводится к виду для составления определителя

;

; (1.17)

Определитель получившейся системы (1.17) алгебраических уравнений запишется как

Уравнение является характеристическим, умножив последнее на С будем иметь

;

(1.18)

или

Решая уравнение (1.18), найдем показатель затухания (корни характеристического уравнения).

. (1.19)

Составление характеристического уравнения с использованием комплекса входного сопротивления

Выражение характеристического уравнения составляется значительно проще с использованием комплекса входного сопротивления относительно зажимов любой из ветвей электрической цепи.

Для электрической цепи, изображенной на рисунке 1.1, выражение входного сопротивления относительно зажимов запишется как

Заменив на и приравняв , получим характеристическое уравнение

После элементарных алгебраических преобразований характеристическое уравнение примет вид аналогично уравнению (1.18).

НАПРЯЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ РЕЗИСТОР

Рассмотрим переходной процесс при включении rC – цепи на синусоидальное напряжение: (рис. 2.7, а).

Докоммутационный режим:

Послекоммутационный режим: (рис. 2.7, б),

где ; ; .

Выходное сопротивление цепи .

Характеристическое уравнение , откуда показатель затухания свободного процесса .

Свободная составляющая тока .

Постоянная интегрирования определяется из уравнения полного тока для времени t = 0 с использованием второго закона коммутации.

Из уравнения электрического состояния цепи ,

где

Cовместное их решение позволяет определить

Учитывая, что принужденный ток для времени

выражение преобразуется к виду

Откуда постоянная интегрирования представляется в виде

Выражение тока переходного процесса rC – цепи будет

(2.14)

Характер изменения напряжения на зажимах конденсатора

определяется из уравнения второго закона Кирхгофа .

Откуда

(2.15)

Из последних формул (2.14) и (2.15) видно, что переходные процессы и, следовательно, перенапряжения и сверхток, зависят от фазы включения и от постоянной времени . Фаза включения определяет начальные значения свободных составляющих, а постоянная времени – скорость их уменьшения.

Броски тока возможны при , что достигается включением конденсатора в момент достижения мгновенным значением напряжения своего амплитудного значения (рис.2.8, а).

На практике значительные броски тока могут возникнуть при включении ненагруженных кабельных линий с малым оммическим сопротивлением в момент достижения мгновенным значением напряжения сети амплитудного значения.

Чтобы этого не произошло, необходимо перед включением такой линии присоединить к ней нагрузку.

Включение конденсатора при ( ; ) создает условия, при которых переходной процесс отсутствует и в цепи сразу наступает установившейся режим (рис.2.8, б).

Рис. 2.8

ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

ПРИМЕР 4.1

Пусть для рассматриваемого примера (рис.1.1) входное напряжение источника энергии – постоянное .

Параметры цепи Ом; Ом; Ом; Ф; Гн; Ом.

Определить переходные токи в ветвях электрической цепи и вычертить кривые изменения их во времени .

Решение

Найдем начальные условия в докоммутационной цепи (рис.1.1)

Ток в ветви с индуктивностью

А.

Напряжение на зажимах конденсатора

В.

В соответствии с законами коммутации имеем

и .

Следовательно, в послекоммутационной цепи (рис.1.1) начальные условия будут следующие:

А; В;

А;

Рис. 4.1

А.

Из схемы рисунка 4.1 определим принужденные ппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппрррррррр

составляющие токов

А; .

Так как свободный ток есть та составляющая, которая накладываясь на принужденный ток, создает переходной ток, то значения свободных составляющих при определяются как