ПЕРЕХОД ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ К ОРИГИНАЛУ

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 10Следующая ⇒

При анализе переходного процесса операторным методом находят изображение переходного напряжения или тока . Следующий этап в решении задачи – нахождение оригинала. На практике используют таблицы соответствия или теорему разложения.

Часто при расчете переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами изображение имеет вид рациональной дроби. Например,

при

где - действительные числа.

Многочлен в знаменателе дроби имеет более высокий порядок, чем в ее числителе. Такую дробь можно записать как сумму простых дробей

(6.22)

где - числа, пока неизвестные;

- корни уравнения .

Стоящие в правой части равенства (6.22) функции и есть табличные изображения, которым соответствуют оригиналы и .

Чтобы найти коэффициенты и , умножим обе части равенства (6.22) на

(6.23)

Если , тогда справа останется только . Но слева неопределенность вида , поскольку - корень .

Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя

Вместо подставляем .

Остается .

Таким образом, чтобы найти необходимо выполнить:

1) подставить в числитель вместо и вычислить его;

2) от знаменателя взять производную по и вычислить при ;

3) разделить оба числа.

Если умножить обе части равенства (6.23) на и повторить те же рассуждения, что и выше, найдем

В общем случае, если знаменатель имеет корней, для корня

(6.24)

Теперь, когда вычислены коэффициенты , от изображения в виде суммы простых дробей перейдем к оригиналу

Если знаменатель имеет нулевой корень, то есть принимает вид , то производная от знаменателя в этом случае .

Вычисляем коэффициент по формуле (5.23). При , так как

При , поскольку , и так для всех корней.

Функция – оригинала будет иметь постоянную составляющую

(6.25)

При множитель (корень отрицательный) и в равенстве (6.25) остается только - значение функции в установившемся режиме.

Соотношение (6.25) носит название теоремы разложения, которая позволяет, имея изображение в виде рациональной дроби, сразу найти ее оригинал.

Если уравнение имеет комплексные сопряженные корни, то при вычислении соответствующих слагаемых суммы, стоящей в правой части равенства (6.25), нет необходимости вычислять их значения от каждого из комплексных и сопряженных корней в отдельности. Достаточно вычислить слагаемое указанной суммы только для одного из сопряженных комплексных корней , а для корня взять сопряженное значение.

Порядок анализа переходных процессов

операторным методом

1. Для докоммутационного режима вычисляются значения искомых параметров (начальные условия).

2. Вычерчивается электрическая схема для послекоммутационного режима и составляется эквивалентная операторная схема замещения.

3. Выбирается метод анализа (контурных токов, узловых напряжений и тому подобное) и составляются соответствующие уравнения в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение уравнений относительно изображения искомого значения.

5. Определяется оригинал искомого параметра переходного процесса в функции времени (с помощью теоремы разложения, таблиц, связывающих оригиналы и их изображения) по найденному изображению.

ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

ПРИМЕР 7.1

Электрическое состояние послекоммутационной цепи, приведенной на рисунке 1.1, описывается системой уравнений

Рис. 7.1

Перейдем от мгновенных значений к их изображениям . В результате интегрально – дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические

(7.1)

Систему уравнений запишем в виде

(7.2)

Для рассматриваемого примера системе уравнений 7.2 соответствует операторная схема замещения, представленная на рисунке 7.1.

Определим изображения токов в ветвях послекоммутационной цепи, для чего решим эту систему уравнений.

Общий определитель системы будет

Частные определители

Изображения токов в ветвях цепи после замены будут

(7.3)

После подстановки параметров цепи (пример 1.1) в систему уравнений (7.3) будем иметь:

Функции переходных токов и найдем по формула разложения.

Уравнение имеет два корня с^-1; с^-1.

Постоянная составляющая в выражении для токов и

А.

Производная выражения в знаменателе изображений токов

При подстановке корней и значение производной

В выражении для изображения тока дробь при подстановке корней и имеет значения

В результате подстановки значений выражений, входящих в формулу разложения, найдем переходной ток

Аналогично найдем и другие токи i₂ и i₃

А;

Выражение токов, рассчитанное классическим методом, совпадает с расчетом операторным методом.

Аналогично определяются переходные токи в цепи примера 1.2

ПРИМЕР 7.2

Анализ переходного процесса операторным методом при подключении катушки индуктивности к источнику электрической энергии постоянного напряжения (7.2, а).

Докоммутационный режим (рис.7.2, а) .

Послекоммутационный режим (рис.7.2, б). По схеме послекоммутационного режима составляется операторная схема замещения (рис.7.2, в).

Схема замещения представляет одноконтурную цепь с двумя источниками питания

и .

Для определения тока составляем уравнение по второму закону Кирхгофа

Откуда

где

Здесь

, то есть - характеристическое уравнение.

Корни уравнения

Берем производную от по

Находим значения для и

Записывается формула разложения и находится значение оригинала искомого значения тока

Выражение тока переходного процесса совпадает с его выражением, полученным классическим методом расчета.

ПРИМЕР 7.3

Анализ переходного процесса операторным методом при подключении катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения (рис.7.3, а).

Рис.7.3

Докоммутационный режим

Операторная схема замещения для послекоммутационного режима представлена на рисунке 7.3, б.

По второму закону Кирхгофа

откуда

Поскольку , то

где

Приравнивая получим характеристическое уравнение , корни которого

Берется производная от

Определяются значения выражений

Записывается формула разложения

Полученное выражение тока переходного процесса совпадает с его выражением, вычисленным классическим методом расчета.

ПРИМЕР 7.4

Для схемы, представленной на рисунке 7.4, а, В; мГн; мкФ; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить токи

Решение

Для докоммутационого режима вычисляются значения искомых параметров. В схеме рисунка 7.4, а до коммутации был установившийся режим, поэтому ток через емкость и напряжение на индуктивности . Составляя уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы до коммутации, получим , так как ,

то А.

Согласно второму закону Кирхгофа для левого контура

откуда В.

Из законов коммутации имеем

А;

В.

Вычерчивается электрическая схема для послекоммутационного режима и составляется эквивалентная операторная схема замещения (рис.7.4, б), которая отличается от действительной наличием добавочных э.д.с., определяемых начальным током в индуктивности и наличием напряжения на емкости.

После коммутации принужденные значения искомых параметров будут:

А;

В.

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов в операторной форме

Решаем полученную систему уравнений методом определителей

Для перехода от изображения тока к его оригиналу воспользуемся формулой разложения

Находим корни уравнения

1/с; 1/с.

Определим производную .

Найдем

Подставив найденные значения в формулу разложения имеем

Для определения тока находим частный определитель

Найдем ток по формуле теоремы разложения

После расчета получим

Аналогично находится ток

Падение напряжения в операторной форме на каком – либо элементе цепи можно найти по формулам

; ;

Оригиналы этих напряжений находятся так же с помощью формулы теоремы разложения.

Построим график тока

Показательная функция при с ростом времени затухает; так как при , при , при , ; при , и при , .

Таким образом, за время, равное , функция уменьшается примерно до 5% своего начального значения и переходной процесс можно считать практически закончившимся. Поэтому при построении графика переходного тока предлагается брать следующие значения времени:

Данные расчета координат точек сводим в таблицу 7.2

Таблица 7.2

t, c
	-3, 97	-1, 456	-0, 535	-0, 195
t, c					∞
	5, 07	1, 86	0, 68	0, 25

При построении графика по горизонтали откладываем в произвольном масштабе три отрезка времени, равных . Поскольку , вторая составляющая затухает быстрее первой, поэтому отрезок времени должен быть в раз короче отрезка, равного . После построения графиков принужденного и свободных составляющих переходной ток находится графическим сложением этих составляющих. На рисунке 7.5 показан график переходного тока .

Рис. 7.5

ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ПРИМЕР 8.1

Цепь (рис.8.1) включена на постоянное напряжение В.

Найти напряжение на конденсаторе если Ом, мГн, мкФ.

Решение

Анализ классическим методом

Напряжение на конденсаторе находится в виде суммы принужденного и свободного значений

В принужденном режиме напряжение на конденсаторе равно нулю

Для определения вида решения свободной составляющей составим характеристическое уравнение и приравняем его к нулю

Это уравнение второго порядка, поэтому имеем два корня

то есть ; .

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе содержит две постоянные интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования составим уравнения по законам Кирхгофа

Запишем независимые начальные условия в соответствии с законами коммутации

Подставим их в уравнения Кирхгофа для начального момента времени после коммутации

или А;

В.

Подставив значения в формулы

получим

Перепишем эти уравнения для момента времени и затем, подставив в них и А, получим,

отсюда .

Таким образом, искомое напряжение на конденсаторе

В.

Графики отдельных составляющих и суммарного значения напряжения приведены на рисунке 8.2.

Ток в ветви с емкостью

Значение тока и для различных моментов времени приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1

t, мc		0, 5		1, 5		2, 5		3, 5
, А	0, 5	0, 16	0, 016	-0, 039	-0, 055	-0, 054	-0, 047	-0, 04	-0, 032
, В		76, 6	95, 9	91, 7	79, 5	65, 7		42, 1	33, 2

Анализ операторным методом

Найдем операторное сопротивление цепи

Далее определим изображение тока

через изображение входного напряжения (рис.8.3).

Изображение напряжения на конденсаторе

(8.1)

где числитель ,

а знаменатель

причем корни

Найдем корни уравнения

; .

Вычислим производную и ее значения при и .

Определяем по формуле (8.1) изображение напряжение на конденсаторе

По формуле разложения имеем

Выражение напряжения на конденсаторе переходного процесса совпадает с его выражением, полученным классическим методом расчета.

ПРИМЕР 8.2

В электрической цепи (рис. 8.4) параметры элементов равны: Ом; Ом; Ом; мкФ; . Приложено синусоидальное напряжение В. Резистор с сопротивлением шунтируется ключом.