КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ

Классический метод анализа переходных процессов основан на использовании уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжения, независимо от характера источника питания: с постоянной или синусоидальной э.д.с.

Достоинством данного метода является его универсальность. Он пригоден для анализа любой сколь угодно сложной цепи. Данный метод обладает наглядностью, так как при расчете цепи виден характер изменения токов и напряжений. Недостаток его – необходимость решения дифференциальных уравнений для определения токов и напряжений цепи, так и системы алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования.

Как любой динамический процесс в материальных системах, так и переходной процесс в электрических цепях, описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Так, режим цепи синусоидального тока при последовательном соединении r, L и C и напряжении источника питания описывается уравнением

.

Полное решение такого неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищут в виде

,

где – частное решение данного неоднородного уравнения (принужденная составляющая);

– общее решение дифференциального уравнения (свободная составляющая, без независимых источников энергии).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находят для принужденного (установившегося) режима, когда переходный процесс закончен. При этом токи и напряжения на участках цепи определяются параметрами источника энергии и элементами электрической цепи. Токи и напряжения, получаемые в результате частного решения, называют принужденными , которые возникают под воздействием источника питания цепи.

Общее решение дифференциального уравнения без правой части соответствует режиму цепи при отсутствии внешнего источника энергии, то есть свободному режиму. Токи и напряжения, получаемые в результате общего решения однородного дифференциального уравнения, определяются параметрами элементов цепи и называются свободными , которые возникают за счет запасенной электромагнитной энергии в индуктивном и емкостном элементах в докоммутационный период. Так как запасы энергии ограничены и при протекании тока по элементам с сопротивлением r происходит рассеяние энергии в виде теплоты, то через некоторое время этот ток станет равным нулю.

Полное решение дифференциального уравнения позволяет определить ток в цепи в переходном режиме или напряжение на элементах цепи .

Таким образом, анализ переходного процесса сводится к решению интегрально – дифференциального уравнения типа

. (1.5)

Решение уравнений такого вида как было уже приведено выше, можно представить в виде суммы, состоящей из частного решения неоднородного уравнения без свободного члена и общего решения однородного уравнения.

В электротехнике этот метод интерпретируется в метод наложения, представляющий сумму двух значений. Первое значение получается от расчета электрической цепи при воздействии э.д.с. источников питания как при установившемся режиме.

Если в цепи действуют источник электрической энергии с синусоидальной э.д.с. – , то принужденная составляющая тока выразится синусоидальной функцией .

При воздействии источника питания с постоянной э.д.с. принужденная составляющая определяется по закону Ома

Второе значение получается при расчете той же электрической цепи, но без источника питания. В этом случае протекание процесса обеспечивается наличием электромагнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности и конденсаторе в докоммутационном установившемся режиме. Определение свободных составляющих осуществляется из дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа без учета э.д.с. источников электрической энергии.

Решение дифференциального уравнения без свободного члена осуществляется представлением искомого значения в виде суммы экспоненциальных функций времени

, (1.6)

где – постоянные интегрирования, однородных

дифференциальных уравнений, которые определяются из начальных условий при помощи законов коммутации цепи;

– показатель затухания свободных составляющих (корни соответствующих характеристических уравнений цепи);

– степень дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения методом разделения переменных практически целесообразно использовать для определения свободных составляющих, если дифференциальное уравнение не выше первого порядка, в остальных случаях – по формуле (1.6).

Показательная функция времени (на примере тока)

,

кроме монотонного затухания обладает еще важным свойством, а именно:

,

Постоянная интегрирования поскольку свободные составляющие не содержат независящих от времени слагаемых.

Таким образом, формула (1.7) показывает, что замена операции дифференцирования через , а – операция

интегрирования через называется алгебраизацией.

Определение показателя затухания осуществляется из характеристического уравнения для входного сопротивления, составленного в комплексной форме.

Поскольку для линейных электрических цепей с потерями корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то с увеличением времени t все свободные составляющие решений стремятся к нулю, то есть затухают. Это связано с тем, что запасы энергии в реактивных элементах ограничены, и при наличии потерь в цепи они уменьшаются, стремясь к нулю. При этом в решениях остаются только принужденные составляющие, которые характеризуют установившейся режим после коммутации. Для определения принужденных составляющих рассматривают установившейся режим после коммутации.

Пусть дифференциальное уравнение второго порядка

алгебраизируется к виду

.

Вынеся свободную составляющую тока

,

получаем характеристическое уравнение вида

из которого определяются значения показателя затухания в виде корней уравнения.

Характеристическое уравнение можно получить из выражения комплекса входного сопротивления для послекоммутационной схемы путем замены в нем на и приравнивая его к нулю . При составлении выражения входного сопротивления необходимо избегать преобразования соединения сопротивлений по схеме звезда в соединение по схеме треугольник и наоборот.

В тех случаях, когда разветвленная цепь имеет один накопитель энергии, формулу входного сопротивления желательно рассматривать относительно ветви с накопителем энергии .

Если в схеме имеются источники тока, входное сопротивление следует рассчитывать относительно любой другой ветви схемы, полагая при этом ветвь с источником тока разомкнутой.

Выражение свободного тока определяется видом корней характеристического уравнения. Если эти корни действительные, отрицательные и различные, то свободную составляющую любого тока (или напряжения) можно представить в виде

. (1.8)

Если корни характеристического уравнения равны между собой (то есть корень p имеет кратность m), то

(1.9)

Если корни комплексно – сопряженные, то есть и , то свободная составляющая представляется выражением

. (1.10)

Если один корень действительный (всегда отрицательный), а два корня сопряжено-комплексные: ; , то

, (1.11)

где – коэффициент затухания;

– угловая частота свободных колебаний;

– начальная фаза.

В формуле (1.10) постоянными интегрирования являются и .

Определение постоянных интегрирования свободного режима, например тока, осуществляется с использованием законов коммутации и значения искомых параметров для времени (начальные условия). В качестве независимых начальных условий берут значения токов индуктивных катушек и напряжений на конденсаторах к моменту коммутации. Если коммутация происходит мгновенно в момент времени и если мощность обмена энергией между отдельными электрофизическими элементами цепи остается конечной, то в этом случае выполняются законы коммутации и токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах являются непрерывными функциями времени

, .

Для электрической цепи первого порядка постоянную интегрирования находят из выражения искомого параметра, как сумму принужденной и свободной составляющих , рассматриваемого при ,

(1.12)

Для цепи второго порядка, если характеристическое уравнение имеет вещественные корни и , то при определении постоянных интегрирования используют уравнения

если же корни будут сопряженные и , то используют следующие уравнения

Если свободная составляющая состоит из слагаемых, где – степень характеристического уравнения, то следует взять производные по времени до порядка включительно.

Полученные уравнений переписываются вторично, заменяя левые части уравнения начальными значениями искомых параметров, а в правых частях приравнивая .

Из этих уравнений и находятся постоянные интегрирования . Суммируя значение принужденной и свободной составляющих, получается выражение искомого параметра (тока или напряжения) в функции времени.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: