АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ИСТОЧНИКАМИ НАПРЯЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ ИЗМЕНЕНИЯ

ЕДИНИЧНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Воздействия источника питания (ток, напряжение) на электрическую цепь может иметь более сложную форму. Принцип наложения позволяет установить, что реакцию на сложное воздействие можно определять в виде суммы реакций на некоторые элементарные воздействия. В качестве таких элементарных воздействий могут быть использованы ступенчатые или импульсные функции смещенные во времени.

Одной из таких элементарных составляющих может быть единичная ступенчатая функция. Она выглядит как ступенька (рис.5.1, а), высота которой равна 1 ( В момент времени включен источник с напряжением 1 В или током 1 А).

Единичный скачек может иметь два значения – либо 0, либо 1:

При получается - единица при и нуль при (рис.5.1б).

Реакция цепи на воздействие единичного скачка называется переходной характеристикой.

Как было показано ранее, при включении последовательной - цепи . разделим эту функцию на , получим переходной ток, возникающий от единичного напряжения (то есть переходная характеристика),

Было также показано, что при включении - цепи

Переходная характеристика будет

(5.1)

Чтобы записать переходную характеристику, надо рассчитать переходной процесс при постоянном напряжении, а затем реакцию разделить на величину воздействия.

Заметим, что единичному напряжению, включенному в момент , соответствует переходная характеристика с запаздыванием. В аргументе вместо пишем . Переходная характеристика (5.1) в этом случае

Функция существует только при .

Напряжение произвольной формы можно представить также последовательностью прямоугольных импульсов (рис.5.2).

Прямоугольный импульс бесконечно малой длительности с амплитудой называют импульсной функцией (рис.5.3). Площадь импульса равна единице, она не зависит от . Импульсная функция обозначается и называется дельта – функцией или функцией Дирака.

Реакцию цепи на единичное импульсное воздействие называют импульсной характеристикой.

Чтобы записать импульсную характеристику, представим прямоугольный импульс суммой двух напряжений одинаковой амплитуды, но разной полярности (рис.5.4). Отрицательное напряжение - включено с запаздыванием на . При оба напряжения компенсируются, остается один прямоугольный импульс. Создаваемый им ток можно определить через переходную проводимость для первого скачка и - для второго

Из определения единичного импульса амплитуда .

Тогда .

В пределе , то есть импульсная характеристика равна производной от переходной характеристики. В общем случае ее обозначают , а размерность определяют из следующего соотношения: .

Для импульсной проводимости размерность получается .

ПРИМЕР 5.1

Прямоугольный импульс напряжения с амплитудой В и длительностью мс подан на вход последовательной цепи с параметрами кОм и мкФ. Построить графики функций и .

Решение

В момент цепь включается на постоянное напряжение. Для этого случая было получено (см. формулы (2.9) и (2.10)):

;

Эти уравнения справедливы в интервале . Находим: , мА. Постоянная времени мс.

При мс имеем:

В; мА.

Строим графики функций и в интервале времени от 0 до 2 мс. В момент напряжение исчезает. С этого времени начинается свободный переходной процесс

;

При . Подставив в уравнение , получим

В, мА.

При имеем:

В, мА.

Графики и представлены на рисунке 5.5.

ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ

При использование интеграла Дюамеля необходимо предварительно рассчитать классическим способом реакцию цепи на единичное или импульсное воздействие, которые называются переходной или импульсной характеристиками цепи.

Применяя интеграл Дюамеля необходимо помнить, что интегрирование производится по текущему времени реакции, в то время, как воздействие рассматривается в текущем времени .

Суть метода заключается в замене реальной изменения напряжения ступенчатой с интервалами (рис. 5.6).

Ток переходного процесса рассматривается как сумма токов, возникающих под действием серии скачкообразных изменений напряжений , следующих через промежутки времени в интервале от до .

Действительно, представив скачок напряжения как и приняв для выражения тока переходного процесса запишется

, (5.3)

где - переходная проводимость численно равная току при В.

В момент времени возникает скачок напряжения , вызывающий переходной процесс с током

где - время, соответствующее моменту скачкообразного изменения напряжения.

Тогда ток переходного процесса представляется как сумма токов, вызванных отдельными скачками напряжения, запишется следующим образом

При уменьшении интервалов x до бесконечно малых значений ступенчатая кривая изменения напряжения максимально приблизится к кривой , и выражение переходного тока примет вид

, (5.4)

где

Анализ переходного процесса при помощи интеграла Дюамеля выполняется в следующей последовательности:

1. определяется переходная проводимость для анализируемой цепи как ток переходного процесса при подключении ее к источнику постоянного напряжения, равного 1В;

2. определяется путем замены в на ;

3. вычисляется первая производная ;

4. полученные значения подставляются в формулу (5.4) и получается выражение тока переходного процесса.

ПРИМЕР 5.2

Определить характер изменения тока переходного процесса при подключении емкости к источнику электрической энергии с импульсным изменением напряжения через резистор R (рис. 5.7).