Сведение двойного интеграла к повторному интегралу

 

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, дадим указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.

Ранее рассматривалась задача вычисления объема тела  по его поперечным сечениям. Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостями  и  (рис.1.2).

Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс и отвечающей абсциссе , имеет площадь . Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой

.                                         (1.4)

 

 

Рисунок 1.2

 

Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором шла речь выше. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник { x [a, b]; y [с, d] } (рис.1.3).

 

 

Рисунок 1.3

 

Сечение бруса плоскостью  есть криволинейная трапеция . Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость . Получим конгруэнтную с ней трапецию  (ибо проектирование происходит без искажения). Но уравнение линии  на плоскости , очевидно, будет .

Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь . Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для . Подставляя это значение  в формулу (1.4), получим . Но мы имеем для объема и выражение (1.2*), следовательно,  – двойной интеграл приведен к повторному.   

Аналогичный результат можно получить и для общего случая, когда область  на плоскости  представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми:  и двумя прямыми:  и  (рис. 1.4).

 

 

Рисунок 1.4

 

Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированным  изменение  происходило в одном и том же промежутке , а теперь этот промежуток  сам зависит от , так что

.

Окончательно получим: .

Вычисление двойных интегралов

Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.

Определение 4. Область  называется правильной в направлении оси ординат, если любая прямая, проходящая через внутренние точки области  параллельно оси ординат, пересекает границу этой области в двух точках.

Аналогично дается определение области, правильной в направлении оси абсцисс.

Следующие две теоремы позволяют вычислять двойные интегралы в декартовых координатах.

ТЕОРЕМА 3. Если функция  непрерывна в области , область  - правильная в направлении оси ординат (рис. 1.4), то

.

Рисунок 1.5

ТЕОРЕМА 4. Если функция  непрерывна в области , область  – правильная в направлении оси абсцисс (рис. 1.5), то

.

 

ПРИМЕР 1. Записать двойной интеграл  в виде

повторных интегралов (двумя способами), если:

а) область  ограничена прямыми x = 1, x = 2, y = 0, y = 4.

Решение

Построив на чертеже прямые, ограничивающие область интегриро-вания, видим, что  представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям (рис.1.6). В этом случае обе переменные  и  изменяются в постоянных пределах , а формулы для вычисления двойного интеграла принимают соответственно вид:

 = ;        = .

б) область  ограничена линиями x = 0, x² + y² = r², причем x ≥ 0, r > 0.

Решение

Изобразим область интегрирования  на чертеже (рис.1.7).

 

          

 

Рисунок 1.6                                             Рисунок 1.7

 

Возьмем сначала постоянные пределы по переменной . Ими будут числа  и . Для каждого значения  из отрезка  принимает значения от  до .

Получим:

.

Если постоянные пределы взять по , то  принимает значения от  до .

Получим:

.

Вообще при определении переменных пределов интегрирования полезно пользоваться следующим правилом: пусть  изменяется в постоянных пределах  (рис.1.8). Чтобы получить пределы интегрирования по , пересечем область  лучом, параллельным и одинаково направленным с осью ординат. Граница области, которую луч пересечет при входе в область, будет нижней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно , служит для установления нижнего

Рисунок 1.8

предела интегрирования по y

.

Граница области, которую луч пересекает, выходя из области, будет верхней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно , служит для установления верхнего предела интегрирования по y

.

Аналогичным образом при постоянных пределах по y  определя-ются переменные пределы по x.

 

ПРИМЕР 2. Записать двойной интеграл  в виде повторных интегралов (двумя способами), если область  – квадрат, ограниченный прямыми .

Решение

Рисунок 1.9

Строим на чертежеобласть интегрирования  (рис.1.9). Пусть постоянны пределы интегрирования по x. Ими будут –1 и +1. Проведем через область (D) луч, параллельный и одинаково направленный с осью Oy. Как нижняя, так и верхняя границы области состоят из двух отрезков, пересекающихся соответственно в точках (0, –1) и (0, 1).

Поэтому разобьем область  на две части прямой . Тогда получим:

.

 

Аналогично при выборе постоянных пределов по у получим:

 =  + .

 

ПРИМЕР 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Решение

Решение данной задачи состоит из двух частей:

а) восстановить область интегрирования (D) по известным пределам данного повторного интеграла;

б) записать повторный интеграл с постоянными пределами по y и переменными по x.

Рисунок 1.10

Так как внутренний интеграл взят по y, то, следовательно, пределы внутреннего интеграла получены из уравнений y = 2x и y = 2 – x. Это уравнения прямых, которые составляют какую-то часть границы области интегрирования (D). Изобразим прямые на чертеже (рис.1.10). Решая совместно уравнения y = 2x и y = 2 – x, найдем точку пересечения этих прямых . Так как дано, что абсцисса x точек области (D) изменяется в пределах от 0 до , то можно заключить, что искомой областью (D) является фигура, ограниченная линиями x = 0, y = 2x и y = 2 – x.

 

Расставляя теперь внешние пределы интегрирования по y, а внутренние по x, получаем:

 + .

 

ПРИМЕР 4. Изменить порядок интегрирования

 + .

Решение

а) Восстановим область интегрирования (D). Рассматривая оба слагаемых одновременно, заключаем, что нижний предел внутреннего интеграла на участках 0 ≤ х ≤ 1 и 1 ≤ х ≤ 3 выражается через x одинаково: (парабола). Верхним же пределом на участке 0 ≤ х ≤ 1 является прямая y = x, а на участке 1 ≤ х ≤ 3 – прямая y = 1. Этого достаточно, чтобы построить область (D) (рис. 1.11).

Рисунок 1.11

б) Из чертежа (см. рис. 1.11) видно, что постоянными пределами по y являются числа 0 и 1. Нижним пределом изменения x будет x = y, а верхним – x = 3 .

Корень берем с положитель-ным знаком потому, что все точки области (D) имеют неотрицательные абсциссы. Искомый повторный интеграл представится в виде

 

ПРИМЕР 5. Вычислить двойной интеграл I = , где область(D) ограничена прямыми x = 0, y = 0, x + y = 1.

Решение

Рисунок 1.12

Область (D) изображена на рисунке 1.12.

Возьмем постоянные пределы по переменной x, 0 ≤ х ≤ 1. Тогда по y нижним пределом будет y = 0, а верхним y = 1 – x. Получим:

I =  =  =

=  =  =  = .

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: