Вычисление площадей поверхностей.

ПРИМЕР 1. Вычислить площадь той части плоскости 6x + 3y + 2z = 12, которая заключена в первом октанте (рис.1.30).

Рисунок 1.30

Решение

Имеет место формула

. (1.10)

Мы имеем:

Проекцией данной плоскости на плоскость xOy является треугольник, ограниченный координатными осями Ox, Oy и прямой (последняя получается из уравнения данной плоскости при z = 0). Получим:

S = = = = = = 14.

ПРИМЕР 2. Вычислить площадь части поверхности , вырезанной цилиндром .

Решение

Контуром проекции вырезанной части на плоскость xOy является лемниската (рис.1.31).

Рисунок 1.31

Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Чтобы вычислить их общую площадь, воспользуемся формулой (1.10). Для нее из уравнения параболоида получим подынтегральную функцию:

, .

Следовательно, .

Преобразуем интеграл к полярным координатам .

Подынтегральная функция запишется в виде , а уравнение лемнискаты – в виде

или

Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей xOz, yOz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости xOz.

Следовательно, пределами интегрирования будут:

Получим

откуда

Некоторые приложения двойных интегралов к механике.

ПРИМЕР 1. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2a, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.

Решение

Рисунок 1.32

Пластинку естественно расположить в прямоугольной системе координат таким образом, чтобы точка пересечения диагоналей совпадала с началом координат, а стороны были параллельны координатным осям (рис. 1.32).

Масса плоской фигуры вычисляется по формуле

где ρ (x, y) – плотности распределения массы по плоской фигуре.

Если плоская фигура однородная, то ρ (x, y) есть величина постоянная.

После этого можно составить функцию плотности ρ (x, y) материала пластинки по условиям задачи. Пусть M(x, y) – произвольная точка квадрата . Тогда квадрат расстояния от точки пересечения диагоналей (начало координат) будет равен x² + y². Следовательно, плотность в точке M представится в виде , где k – коэффициент пропорциональности. Чтобы найти числовое значение этого коэффициента, используем известное значение плотности на углах квадрата. Возьмем, например, вершину угла (a, a). Тогда получим: 1 = k (a² + a²), откуда .

Подставляя найденное значение k в выражение функции плотности,
окончательно получим:

Теперь остается только вычислить двойной интеграл

Учитывая, что подынтегральная функция четная относительно x и y (т.е. плотность симметрична относительно начала координат), можем ограничиться вычислением интеграла только по одной четвертой части области (D), расположенной в первой четверти:

m = =

= = = = .

Рисунок 1.33

ПРИМЕР 2. Найти статические моменты относительно осей координат сегмента эллипса , ограничен-ного прямой (рис. 1.33).

Решение

В данной задаче о плотности ничего не упоминается. Следовательно, она предполагается постоянной и равной единице и масса фигуры численно равна ее площади. Отсюда получаем:

ПРИМЕР 3. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной двумя параболами y² = x и y = x².

Решение

Для нахождения координат центр тяжести (ξ , η ) достаточно вычислить по заданной области три интеграла, определяющие массу и статические моменты этой области (рис.1.34):