Теория функций комплексного переменного

Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом z называется выражение , где –действительные числа,  – мнимая единица . При этом число  называется действительной частью, а – мнимой частью числа z и обозначаются: .

Комплексное число  называется сопряженным числу .

Действия над комплексными числами  и  определяются следующими формулами:

.

Комплексное число  изображается на плоскости точкой M с координатами  или вектором . Длина  этого вектора называется модулем комплексного числа z, обозначается  и вычисляется . Угол  между положительным направле-нием оси  и вектором  называется аргументом комплексного числа z и обозначается ; он определен с точностью до слагаемого, кратного . Значение аргумента , удовлетворяющего условию  (или ), называется главным и обозначается . Таким образом,

 

Комплексное число  можно записать с помощью модуля и аргумента:

 –  тригонометрическая форма,

 –  показательная форма.

Запись  называется алгебраической формой комплексного числа z.

 

Задача 1.1. Заданы комплексные числа: а) , б) ,           в) , г) , д) , е) . Представить , ,  в тригонометрической форме, а , ,  – в показательной форме и изобразить точками на комплексной плоскости.

 

Решение

а) для  имеем , , тогда ;

б) для  имеем , , тогда  ;

в) для  имеем

, , , тогда

г) для  имеем

, , , тогда

д) для  имеем , ,   или , тогда

e) для  имеем , ,

 , тогда

                                              

Над комплексными числами z, z₁, z₂, заданными в тригонометрической форме:

   

действия можно выполнять по правилам:

,   - формула Муавра.

, .

Здесь под  понимается арифметический корень.

Из последней формулы видно, что  при  имеет ровно n различных значений.   

 

Задача 1.2. Найти все значения корня: а) , б) .

Решение

а) для , , , так что в тригонометрической форме это число имеет вид . Согласно формуле для  имеем:

=    то есть:

Ответ:

 

б) для , , . В тригонометрической форме

Ответ:

    

 

Задача 1.3. Вычислить степень и представить результат в алгебраи-ческой форме:

а)    ;             б) .

Решение

а) запишем  в тригонометрической форме:

, .

=  .

По формуле Муавра:

=

=

б) пусть  и .

Тогда , , , .

По правилу деления

     = .

По формуле Муавра:

=

= .

 

Задача 1.4. Найти множества точек z на плоскости, удовлетворяю-щих следующим условиям:

a)    ;          б) .

 

При решении задач такого типа можно от комплексной переменной z перейти к двум действительным переменным x и y. Тогда исходные условия для z сведутся к соответствующим условиям для действительных переменных x и y. Так, неравенство Im z> 0, учитывая z = x+iy, преобразуется к неравенству y> 0.

    .

Однако в ряде случаев нецелесообразно переходить к x и y, а лучше использовать геометрический смысл уравнений или неравенств с комплексной переменной.

Так, уравнение  задает окружность с центром в точке z₀ и радиусом r, а неравенства  и  соответственно внутрен-нюю и внешнюю открытые области круга ограниченные данной окружностью.

Неравенство  задаёт кольцо ограниченное окружностями радиусов  и  с центром в точке , причем границы кольца, окружности  и , принадлежат этой кольцевой области.

Уравнение  задаёт луч, исходящий из точки  под углом  к оси Ox.

 

Решение

a) в соответствии с вышеизложен-ным, неравенство  опреде-ляет круг с центром и радиусом 2. Неравенство  внешность круга с центром  радиуса 1. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость плоскости

Изображаем все три указанные области и находим их пересечение. Это и будет искомое множество. Пунктир означает, что граница не принадлежит множеству.

 

б)

.

Уравнение y =2x-1 определяет прямую, разбивающую плоскость на две полу-плоскости. Очевидно, та из них, которая содержит начало координат, задаётся неравенством . Уравнение  определяет луч с началом в точке , наклоненный к оси Ox под углом . Неравенство  задаёт все те лучи с началом в точке , для которых  удовлетворяет неравенству , то есть задаёт угловой сектор с вершиной  и сторонами, образующими с Ox углы  и  (при этом первая сторона не принадлежит сектору, а вторая принадлежит). Пересечение соответствующих областей образует искомое множество.

 

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: