![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Функции комплексного переменного
¨ Если где
¨ Если каждому числу
Основные элементарные ФКП определяются следующими формулами:
Задача 2.1. Доказать, что функция Решение
Замечание. ФКП
Задача 2.2. Найти Решение
Задача 2.3. Вычислить Ln (-1) и ln (-1). Решение Так как
где
Задача 2.4. Найти действительную и мнимую части функции Решение
отсюда
Если
Теорема (необходимое и достаточное условие дифференци-руемости.) Для того чтобы функция
При выполнении условий Коши-Римана справедлива формула: ▪ Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
▪ Функция f(z) называется аналитической в области
Задача 2.4. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция Решение Имеем Функции Проверим условия Коши-Римана:
Они выполняются только при
Замечание. Функция
Задача 2.5. Доказать, что функция
Решение
отсюда Находим
Замечаем, что функции
Функция
Теорема (необходимое условие аналитичности). Для аналитичности
Замечание. Однако функция
Задача 2.6. Проверить, что функция
Решение Проверим, может ли функция Таким образом,
Функция
Подберём функцию u(x; y) так, чтобы условия Коши-Римана выпол-нялись:
здесь константа интегрирования зависит от y как функция. Это связано с тем, что u(x; y) зависит от двух переменных, а интегрирование ведётся только по одной переменной x и переменная y считается константой. Замечание. Легко убедиться, что если мы конечный результат, а именно: и подставим в первое условие Коши-Римана
то оно будет выполнено:
Итак, используя первое условие Коши-Римана, мы нашли неизвестную действительную часть Чтобы найти эту неизвестную функцию Имеем: Откуда
где Итак, искомая аналитическая функция
Но она найдена с точностью до произвольной константы. Определим неизвестную константу Имеем Ответ:
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 264; Нарушение авторского права страницы