Функции комплексного переменного

 

¨ Если  – некоторое множество точек комплексной плоскости и каждому числу  из  поставлено в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что на множестве  определена однозначная функция комплексного переменного (ФКП), и пишут

,

где  – действительная часть функции ,  

     – мнимая её часть.   

 

¨ Если каждому числу  из  поставлено в соответствие неединственное комплексное число , то говорят, что на множестве  задана многозначная функция комплексного переменного.

 

Основные элементарные ФКП определяются следующими формулами:

; ;

;   ;

; ; ; ;

 – это многозначная функция, главное значение логарифмической функции берётся при  и обозначается .

 

Задача 2.1. Доказать, что функция  имеет период .

Решение

 

Замечание. ФКП  и  могут принимать значения, которые по модулю превосходят единицу.

 

Задача 2.2. Найти  .

Решение

. Поэтому

 

Задача 2.3. Вычислить Ln (-1) и ln (-1).

Решение

Так как , а , получаем

 

где .

 

Задача 2.4. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение

,

 

отсюда ,

 

Если  – однозначная ФКП в области , то производной  функции  в точке  называется . Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

 

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференци-руемости.) Для того чтобы функция  в точке  была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были дифференцируемы в точке  и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:

 и .

При выполнении условий Коши-Римана справедлива формула:                           
                                                                                              (3.1)

▪ Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

 

▪ Функция f(z) называется аналитической в области , если она аналитична в каждой точке этой области.

 

Задача 2.4. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция .

Решение

Имеем ,  и .

Функции  и  дифференцируемы для любых  и .

Проверим условия Коши-Римана:

, , , .

Они выполняются только при  и . Поэтому функция  дифференцируема только в точке .

 

Замечание. Функция  не является аналитической ни в одной точке комплексной плоскости. (Почему? )

 

Задача 2.5. Доказать, что функция  аналитична во всей комплексной плоскости, и найти её производную.

 

Решение

,

отсюда , .

Находим

, , , .

Замечаем, что функции  и  дифференцируемы, и условия Коши-Римана выполняются в любой точке . Поэтому функция  аналитична во всей комплексной плоскости. В соответствии с формулой (3.1) и результатами задачи (2.4) получаем:  

.

 

Функция , имеющая непрерывные частные производные второго порядка на области  и удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической на .

 

Теорема (необходимое условие аналитичности).

Для аналитичности  необходимо, чтобы  и  были гармоническими функциями, то есть  и .

 

Замечание. Однако функция , где  и  – произвольные гармонические функции на , не всегда является аналитической. Она будет аналитической, только если функции  и  удовлетворяют на  условиям Коши-Римана.

 

Задача 2.6. Проверить, что функция  является мнимой частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки  функцию  по известной мнимой части  и значению .

 

Решение

Проверим, может ли функция  быть мнимой частью некоторой аналитической функции f(z). Для этого проверим, удовлетворяет ли она уравнению Лапласа Δ u =0:

, , ,  .

Таким образом,  

.

Функция  удовлетворяет уравнению Лапласа и может служить мнимой частью некоторой аналитической функции , а это будет так, если она ещё будет удовлетворять условиям Коши-Римана

 и .

Подберём функцию u(x; y) так, чтобы условия Коши-Римана выпол-нялись:

.

здесь константа интегрирования зависит от y как функция. Это связано с тем, что u(x; y) зависит от двух переменных, а интегрирование ведётся только по одной переменной x и переменная y считается константой.

Замечание. Легко убедиться, что если мы конечный результат, а именно: , продифференцируем по x:

 

и подставим в первое условие Коши-Римана

,

то оно будет выполнено: .

 

Итак, используя первое условие Коши-Римана, мы нашли неизвестную действительную часть  с точностью до произвольной функции , зависящей от одной переменной y.

Чтобы найти эту неизвестную функцию , воспользуемся вторым условием Коши-Римана: .

Имеем: , то есть .

Откуда

,

где  – произвольная константа интегрирования. Подставляем найденную функцию  в искомую функцию , получаем .

Итак, искомая аналитическая функция  найдена.

.

Но она найдена с точностью до произвольной константы. Определим неизвестную константу  из условия .

Имеем , откуда .

Ответ: .

 

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: