Интеграл в комплексной области. Интегральная формула Коши

Пусть в области D заданы непрерывная функция

и гладкая кривая с началом в точке A и концом в точке B, заданная уравнением , или, что всё равно, двумя уравнениями: и , .

Как обычно, направление на соответствует изменению параметра от до , то есть и . Интеграл от функции по кривой определяется как:

(3.2)

Из (3.2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Если кривая L кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков L₁, L₂, ..., L_n, то по определению считаем, что .

Теорема Коши (для односвязной области). Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, ограниченной замкнутым кусочно-гладким контуром Г, и непрерывна в , то .

Теорема Коши (для многосвязной области). Если функция f(z) аналитична в многосвязной области D, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими контурами Г, , , ..., , и непрерывна в

, то

(все контуры пробегаются в положительном направлении).

Интегральная формула Коши. Если функция аналитична в односвязной области D, ограниченной замкнутым кусочно-гладким контуром Г, и непрерывна в , то для любой внутренней точки области D имеет место формула Коши:

а также справедливо обобщающее эту формулу следствие:

где

Задача 3.1. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

, .

Решение

Кривая L представляет собой полуокружность, с центром в начале координат, радиусом 1, расположенная в верхней полуплоскости.

= = =

+ =

= +

= + =

+ = + = =0

Задача 3.2. Вычислить интеграл: .

Решение

Подынтегральная функция аналитична внутри контура и на нём (единственная точка в которой функция не определена находится вне контура интегрирования). По теореме Коши данный интеграл равен нулю.

Задача 3.3. Вычислить интеграл: .

Решение

Подынтегральная функция теряет аналитичность в точках , (знаменатель обращается в нуль). Внутри контура находится одна из этих точек . Перепишем интеграл в виде

= .

Функция аналитична в круге .

Применяем интегральную формулу Коши при

Задача 3.4. Вычислить интеграл .

Решение

Подынтегральная функция теряет аналитичность в точках , расположенных внутри контура . Непосредственно формулу Коши применять нельзя. Поэтому сначала построим окружности и с центрами в точках и соответственно, их радиусы выберем достаточно малыми, чтобы окружности не пересекались и лежали внутри . В трехсвязной области, ограниченной контурами , и , и на ее границе подынтегральная функция аналитична, поэтому по теореме Коши для многосвязной области получаем:

Далее применяем интегральную формулу Коши

Окончательно получаем .

Степенной ряд в комплексной области. Ряд Тейлора

Степенной ряд в комплексной области – это ряд вида:

Для каждого степенного ряда существует такое число R (радиус сходимости), что ряд абсолютно сходится в круге (круг сходимости) и расходится вне этого круга. Случай соответствует ряду, сходящемуся лишь в точке , случай – сходящемуся во всей комплексной плоскости. Для нахождения круга сходимости могут быть применены признаки Даламбера и Коши.

Функция , аналитическая в круге , представима в этом круге своим рядом Тейлора

, ,

Ряды Маклорена (частный случай ряда Тейлора при ) для элементарных функций имеют вид:

Задача 4.1. Найти область сходимости рядов

а) ; б) .

Решение

а) применим признак Даламбера: общий член ряда имеет вид , так что .

Значит, исследуемый ряд сходится абсолютно при и расходится при , то есть . На границе круга сходимости, , имеем , следовательно, при , , не стремится к нулю. Значит, и не стремится к нулю, то есть не выполняется необходимый признак сходимости, и ряд расходится. Итак, область сходимости данного ряда – внутренняя часть круга .