Приложения двойных интегралов к геометрии и механике

Вычисление площадей плоских фигур.

ПРИМЕР 1. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте, ограниченной окружностью x² + y² = 2ax, параболой y² = 2ax и прямой x = 2a.

Решение

Рисунок 1.22

Прежде всего, необходимо данную фигуру изобразить на рисунке (рис.1.22).

Для вычисления площади воспользуемся формулой: .

Из рисунка видно, что внешние пределы интегрирования удобнее выбрать по x, так как в противном случае фигуру пришлось бы разбивать на три части и соответственно вычислять три интеграла.

Постоянными пределами будут 0 и 2a. Снизу фигура ограничена верхней полуокружностью, уравнение которой . Следовательно,  - нижний предел интегрирования. Сверху фигура ограничена верхней ветвью параболы, уравнение которой . Следовательно,  - верхний предел интегрирования. Таким образом, получим:

 

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

                                       .                                              (v)

Решение

Рисунок 1.23

В этом случае для того чтобы представить на рисунке (рис.1.23) данную плоскую фигуру, необходимо предварительно провести исследование ее контура по заданному уравнению. Контур задан уравнением шестой степени относительно x и y.

В первую очередь отметим, что уравнение не меняется при замене y на - y, и потому кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кроме того, из уравнения видно, что x ≥ 0, и потому кривая расположена справа от оси ординат.

Дальнейшее исследование методами дифференциального исчисления в данном случае весьма затруднительно, поэтому перейдем к полярным координатам, положив . Подставляя в (v), получим: , или .

По этому уравнению видно, что каждому значению угла φ следует одно значение радиуса ρ. Кроме того, наибольшее значение ρ = 2 достигается при φ = 0, наименьшее – ρ = 0 при , т.е. при изменении φ от 0 до  величина ρ монотонно убывает от значения 2 до 0. Это дает возможность установить форму части кривой, расположенной в первой четверти. В силу симметричности кривой выясняется тем самым форма и всей кривой (v) (см. рис.1.22).

После того как выяснена форма заданной плоской фигуры и сделан чертеж, можно приступить к нахождению площади фигуры. Симметричность фигуры относительно оси Ox позволяет ограничиться вычислением площади ее части, лежащей в первой четверти. Получим[1]:

S =  = 2  = 2  = 4  =

= .

 

ПРИМЕР 3. Вычислить площадь параболического сегмента, ограничен-ного параболой

Рисунок 1.24

 и осью Ox.

Решение

Введем новые координаты, положив

     , .

Тогда в системе координат uOv уравнение параболы примет обычный вид: u² = v (рис.1.24).

Оси абсцисс (y = 0) в старой системе координат будет соответст-вовать в новой системе координат прямая u = v.

Найдем якобиан преобразования:

.

При вычислении интеграла возьмем постоянные пределы интегрирования по u . Тогда переменными пределами по v будут: u² – нижний, u – верхний. Таким образом, получим:

S =  =  =  =  =  =

=  =

Вычисление объемов тел.

Рисунок 1.25

ПРИМЕР 1. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидом  и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости  прямыми x = ±1, y = ±1.

Решение

Прежде всего, делаем чертеж (рис. 1.25). В данном случае подынтегральной функцией будет f(x, y)=4-x²-y². Она всю-ду положительна на указанном квадрате.

Так как основанием бруса служит прямоугольник со сторонами, параллель-ными координатным осям Ox и Oy, то пределы интегрирования по обеим пере-менным постоянны. По формуле (1.2^*)

получим:

V =  =  

 =  = = =  –  = 13 .

 

Замечание. Задачу вычисления интеграла можно упростить, используя симметричность бруса относительно координатных плоскостей и , т.е. записав

.

ПРИМЕР 2. Вычислить объем шара, ограниченного сферой

.

Решение

Рисунок 1.26

В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.26).

Подынтегральной функцией будет  (корень берем с поло-жительным знаком, потому что рассматриваемая часть шара расположена над плоскостью xOy).

Чтобы установить пределы интегрирования в формуле (1.2^*), необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскости xOy с поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шара z = 0.

Полученная окружность и будет контуром области задания функции .

При нашем упрощении задачи областью интегрирования будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Взяв постоянные пределы интегрирования по x (0 ≤ x ≤ R), получим пределы по y:

0 – нижний,  – верхний.    

По формуле (6) будем иметь:

.

Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку

.

Тогда  

и

(пока x постоянная! ). Следовательно,

,

откуда

.

Замечание. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.

 

ПРИМЕР 3. Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью xOy, сверху плоскостью , с боков цилиндрической поверхностью  и плоскостью .

Решение

Рисунок 1.27

Данное тело изображено на рисунке 1.27. Подынтегральная функция

.

Область интегрирования (D) ограни-чена прямой  и параболой . При определении пределов интегрирования пользуемся уже известным приемом. Получим  и по формуле (1.2^*)

 

            V =  =    

             =  =

             =  =  =

             =  = .

ПРИМЕР 4. Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми поперечными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.

Решение

Обозначим радиус поперечного сечения каждого из цилиндров через r. Выберем прямоугольную систему координат в пространстве таким образом, чтобы оси цилиндров совпадали с осями Oy и Oz. Тогда уравнения цилиндрических поверхностей будут иметь вид:  - цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oy,  - цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oz. На рисунке (1.28) отмечена одна восьмая часть тела, получаемого указанным сечением двух цилиндрических тел.

 

Рисунок 1.28

 

Подынтегральной функцией будет, очевидно, разрешенное относительно y уравнение поверхности цилиндра с осью симметрии Oy, т.е. . Проектируя ее часть, отрезанную второй поверхностью и содержащуюся в первом октанте, получим область интегрирования при вычислении объема выделенной на рисунке части тела. Ею будет часть круга , расположенная в первой четверти плоскости xOy. Если по x взять постоянные пределы ( ), то по y будут пределами: 0 - нижний предел, а  - верхний. Тогда

 =  =  = r³ –  = .

Следовательно,

 

ПРИМЕР 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение

Рисунок 1.29

Поверхность  есть круговой цилиндр, ось которого совпа-дает с осью Oz, а  и –  плоскости, проходящие через ось Oy под разными углами наклона к плоскости xOy. Эти плоскости, пересекая цилиндр, вырезают из него клинообразный слой (рис.1.29), объем которого и требуется вычислить.

Сам слой не является цилиндри-ческим брусом, и потому его объем не может быть вычислен непосредственно по формуле (1.2^*). Однако его можно рассматривать как разность двух цилинд-рических брусов, срезанных сверху плоскостями

z =2x[f(x, y)=2x] и z = x[f(x, y)= x].

Пределы изменения для x и y находим из уравнения контура области интегри-рования x²+y²=4x. Здесь удобнее взять постоянные пределы по x(0≤ x ≤ 4)

Тогда по y будут:  0 – нижний предел,   –  верхний предел, и искомая половина объема тела будет представлена в виде:

.

Следовательно, V = 8π.   

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: