Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса

Пусть

непрерывно дифференцируемое векторное поле.    

Определение. Дивергенцией векторного поля  называется скалярное поле , определяемое формулой

.

Теорема 2. Пусть , ,  – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой пространственной замкнутой области D, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула

             ,             (6)

или, в векторной форме,

                                  ,                                        (6.1)

где ,  – внешняя нормаль к поверхности .

Формулу (6) – (6.1) называют формулой Остроградского-Гаусса. Эта формула часто существенно упрощает нахождение потока через замкнутую поверхность.

Пример 9. Найти поток поля  через замкнутую поверхность :  (нормаль внешняя).

Решение

Можно применить метод, использованный при решении примера 8. Но значительно проще воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса. Заметим, что левая часть формулы (6) – (6.1) представляет собой поток поля  через поверхность  изнутри.

Следовательно, .

В данном случае  и ,

где  – объем пространственной области D. Так как D представляет собой круговой конус с радиусом основания  и высотой , то

и поток                                 .

Заметим, что в примере 8 так же применима формула Остроградского-Гаусса, но она не дает столь ощутимых преимуществ, как в предыдущем примере.

Так, в примере 8

. .

Но в данном случае область D ограничена параболоидом вращения  и плоскостью , а формулу объема для такого тела мы не знаем. Поэтому приходится вычислять тройной интеграл:

.

 Тогда .

Формулу Остроградского-Гаусса иногда целесообразно применять и для нахождения потока через незамкнутую поверхность.

Пример 10. Найти поток поля  через часть сферы , расположенную в 4-ом октанте (нормаль – внешняя к сфере).

Решение

Рассмотрим замкнутую поверхность S, ограничивающую часть шара , лежащую в 4-ом октанте. Она состоит из четырех частей , , , , где  – указанная в задаче часть сферы, , ,  – четверти кругов, расположенные соответственно в плоскостях XOZ, XOY, YOZ (рис. 4).

Рисунок 2.4

 

Поток  через поверхность  будет равен сумме потоков , , ,  через соответствующие части: = + + + . Отсюда

                                       = - - - .                                        (7)

Поток  через замкнутую поверхность S найдем по формуле Остроградского-Гаусса:

=1, .

На поверхности  нормаль  равна , поэтому

 (на ) и =0.

На поверхности  нормаль  равна , поэтому

 (у вектора ) и =0.

Найдем поток . Нормаль к  равна , поэтому

;

.

Здесь поверхность  совпадает со своей проекцией на плоскость yoz и .

Так как  – четверть круга радиуса R, то перейдем к полярным координатам:

.

Окончательно по (7) получаем: .

 

 

Линейный интеграл и циркуляция

Определение. Линейным интегралом векторного поля

вдоль кривой АВ называется криволинейный интеграл второго рода:

 

                      .                     (8)

Если ввести обозначение  ( – дифференциал радиус-вектора точек кривой АВ), то интеграл (8) можно записать в виде , где  – скалярное произведение. Если кривая АВ задана параметрически:  или

в векторной форме: ,

где – параметрическое задание радиус-вектора точек кривой АВ, то линейный интеграл примет вид:

                                             ,                                  (9)

где  и  – значения параметра, соответствующие начальной и конечной точкам кривой АВ. 

В случае, когда  – силовое поле, линейный интеграл выражает работу, совершаемую полем  при перемещении материальной точки по кривой АВ.

Пример 11. Найти работу W силы  вдоль одного витка АВ винтовой линии:  ( ).

Решение

Кривая АВ задана параметрически:

.

Воспользуемся формулой (9).

;

;

, , ;

.

Определение. Циркуляцией поля  по замкнутой ориентированной кривой (контуру)  называется линейный интеграл поля  вдоль .

Пример 12. Вычислить циркуляцию поля  вдоль контура : ,  в направлении возрастания параметра.

Решение

Контур  задан параметрически, но не указаны пределы изменения параметра t. Найдем их. Если точка  пробегает контур , то точка  – проекция точки  на плоскость ХОУ – пробегает единичную окружность: . Таким образом, можно считать, что параметр t меняется от 0 до 2π (циркуляция ищется в направлении возрастания параметра! ). Заметим, что при  и  соответствующие точки на контуре  совпадают, т.е. контур  обходится полностью (  есть линия пересечения кругового цилиндра  с плоскостью ).

Воспользуемся формулой (9):

= ,

,

;

;

.

Пример 13. Найти модуль циркуляции поля  вдоль контура .

Решение

В данном примере контур  задан как линия пересечения параболоида  и плоскости .

Зададим контур  параметрически (такое задание неоднозначно, но выберем одно из простейших).

Найдем проекцию контура  на плоскость ХОУ, для чего исключим переменную  из системы, задающей :

.

Очевидно, что проекция представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке (0; 1), поэтому естественно взять

, , .

Тогда

,

т.е. , , .

Применим формулу (9):

,

,

,

;

.

Ротор. Формула Стокса

Определение. Ротором (вихрем) векторного поля

называется векторное поле , определяемое равенством

.

Для нахождения ротора поля  удобно использовать формальный определитель:

,

причем под произведениями вида  понимаются частные производ-ные  .

Например, , где , равен:

.

Теорема 3. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в некоторой пространственной области и S – некоторая кусочно-гладкая поверхность в этой области, ограниченная кусочно-гладким контуром L. Тогда имеет место равенство:

, (10)

где , ,  – направляющие косинусы нормали  к поверхности , причем направление нормали выбирается так, чтобы из ее конца обход контура наблюдался против часовой стрелки.

Если , а  – радиус-вектор точек контура L, то формулу (10) можно записать в векторной форме:     

                                        .                             (10.1)

Формулу (10) – (10.1) называют формулой Стокса.

Формулу Стокса можно использовать для вычисления циркуляции:

.

Пример 13. (См. условие выше). Найдем циркуляцию с использова-нием формулы (10.1). В качестве поверхности , ограниченной контуром , возьмем часть плоскости . Нормаль  к этой поверхности имеет проекции (0, 4, -1), а единичная нормаль  имеет вид

.

,

.

, ,  – проекция  на плоскость ХОУ – круг радиуса 2.

Следовательно,

; .

Пример 14. Найти модуль циркуляции вектора  по границе  части сферы , расположенной в 1-ом октанте.

Решение

В качестве поверхности , ограниченной контуром , возьмем соответствующую часть сферы (часть плоскости брать нельзя, так как контур  не лежит в одной плоскости). Единичную нормаль  к  найдем по формуле (2), :

,

 на ;

 (здесь направление нормали не существенно, так как ищется модуль циркуляции).

, , .

Последний интеграл сведем к двойному, спроектировав, например, поверхность  на плоскость ХОУ; проекция  - четверть круга .

Так как , то  и .

Переходя к полярным координатам, получим

.

Пример 15. Вычислить модуль циркуляции поля  вдоль контура .

Решение

Контур  получен пересечением сферы  с цилиндром  и представляет собой окружность, лежащую в плоскости . Поэтому в качестве поверхности  естественно взять круг. Тогда нормалью  к  будет орта . На  и ,

,

 

.

Следовательно, циркуляция равна нулю: .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: