Ряд Лорана. Классификация особых точек

Рядом Лорана называется ряд вида . Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

– правильная часть ряда Лорана,

– главная часть ряда Лорана,

и сходящийся тогда и только тогда, когда сходятся обе его части.

Если функция f(z) аналитическая в кольце , то она представляется в этом кольце рядом Лорана:

где

, .

Точка z₀называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует проколотая окрестность точки z₀, в которой аналитична, а в самой точке z₀ аналитичность нарушена.

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) называется:

Ø устранимой, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в отсутствует;

Ø полюсом порядка k, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в содержит конечное число (а именно: k) членов (в случае k =1 полюс называется простым);

Ø существенно особой, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в содержит бесконечное число членов.

При определении характера изолированной особой точки использу-ются следующие теоремы.

1. Для того чтобы точка z₀ являлась устранимой особой точкой аналитической функции f(z), необходимо и достаточно существование конечного предела .

2. Для того чтобы точка z₀ являлась полюсом аналитической функции f(z), необходимо и достаточно существование предела .

2'. Для того чтобы точка z₀ являлась полюсом порядка n аналитической функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z) можно было представить в виде , где φ (z) – функция аналитическая в точке , причём φ (z)≠ 0/

2". Пусть – изолированная особая точка функции , где и – функции аналитические в точке . Если числитель и все производные до порядка включительно в точке равны нулю, а , знаменатель и все производные до порядка включительно в точке равны нулю, а , то при точка является полюсом порядка аналитической функции . Если , то точка является устранимой особой точкой аналитической функции .

3. Пусть при аналитическая функция не имеет пределов ни конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции .

Задача 5.1. Разложить в ряд по степеням функции:

a) , ; б) , .

Решение

а) функция не аналитична лишь в одной точке . Рассмотрим окружность с центром в точке и проходящую через точку : . Эта окружность разбивает всю плоскость на две области: круг : и кольцо : , в каждой из которых функция аналитична. Следовательно, в круге функция разлагается в ряд Тейлора, а в кольце – в ряд Лорана, причём оба разложения по степеням разности , то есть по степеням .

Преобразуем функцию , выделяя нужную разность так, чтобы можно было воспользоваться известным разложением

, .

Для разложения в вынесем в знаменателе дроби число , получим: .

Если теперь ввести обозначение , то дробь можно разложить по формуле , то есть

= . –

ряд Тейлора. Это разложение имеет место при

то есть в круге .

Для разложения в вынесем в знаменателе дроби выражение за скобки, получим:

Если ввести обозначение , то снова по формуле получим: = ,

а = = –

это ряд Лорана. Разложение имеет место при

то есть в области .

б) функцию нужно разложить по степеням , то есть . В точке и только в ней функция не аналитична, но она аналитична в кольце , следовательно, в этом кольце она разлагается в ряд Лорана.

В выражении для выделим разность :

Введём обозначение , и воспользуемся известным разложением: .

Значит, .

Подставим последнее разложение в :

= = .

Это и есть искомое разложение в ряд Лорана. Оно имеет место на всей комплексной плоскости, кроме точки .

Задача 5.2

Определить типы изолированных особых точек для функции:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) Функции и аналитичны на всей комплексной плоскости, следовательно, их частное аналитично всюду, где , то есть особые точки функции – это нули функции . Очевидно, функция имеет нули: , кратности 4, и , кратности 3.

Рассмотрим изолированную особую точку функции , где , а , и применим теорему 2" для определения её типа.

, , , ,

следовательно,

. , , ,

, ,

следовательно, . Тогда полюс порядка .

Изолированная особая точка является полюсом второго порядка.

Рассмотрим изолированную особую точку для функции

где – функция аналитическая в точке , причём . Применяя теорему 2´ для определения типа изолированной особой точки, заключаем, что – полюс третьего порядка.

б) Функции и аналитичны на всей комплексной плоскости, следовательно, их частное аналитично всюду, где μ (z)≠ 0, то есть особые точки функции – это нули функции μ (z).