Решение Винера для стационарного случая в частотной области

Для рассматриваемого стационарного случая решение даётся интегральным уравнением Винера-Хопфа (3.4.2.13), приобретающего в этом стационарном случае следующий вид:

.                            (3.4.4.1)

Считая, что существуют преобразования Фурье левой и правой частей этого равенства, сделаем его:

.                                                 (3.4.4.2)

Отсюда выразим идеальные оптимальные ПФ и ИПФ (посредством обратного преобразования Фурье):

.                          (3.4.4.3)

Уравнение Винера-Хопфа представляет необходимое условие оптимальности только для . В то же время, полученная идеальная оптимальная корреляционная функция чётная и полученная оптимальная  ИПФ будет не равна 0 для , что отвечает физически нереализуемой системе, так как физически реализуемая .

Однако Винер построил удовлетворительное физически реализуемое приближенное решение, т.е. нашёл такую ИПФ, что  и она идентична идеальной оптимальной ИПФ по нашему среднеквадратичному критерию. Для этого он в правую часть уравнения Винера-Хопфа добавил функцию q (τ), равную 0 при  и произвольную при . Таким образом, эта функция не оказывает влияние на физически реализуемое решение при , а за счёт её поведения в отрицательной области при  можно скомпенсировать физически нереализуемое решение.

Итак, преобразуем исходное уравнение Винера-Хопфа к виду

. (3.4.4.4)

Законность применения преобразования Фурье к этому уравнению зависит, прежде всего, существует ли это преобразование Фурье для каждой функции в этом уравнении. С другой стороны для этого необходимо, чтобы соответствующая передаточная функция  имела особенности (т.е. полюсы) только в левой полуплоскости (левые полюсы), а частотная характеристика  (здесь полагается ) – в верхней полуплоскости.

Эти же особенности взаимно-однозначно влияют на значения функций : для равенства их 0 при  их преобразования Фурье  должны иметь полюсы в верхней полуплоскости (соответственно, для  должно иметь полюсы в нижней полуплоскости).

В общем случае рациональные (дробно-рациональные) по s спектральные плотности стационарных процессов будут иметь особенности во всей плоскости и будут аналитическими в некоторой полосе вдоль мнимой оси, так как на мнимой оси не может быть нулей – полиномов знаменателя. Нули и полюса должны быть расположены симметрично относительно мнимой и действительной осей. Преобразование Фурье для произвольной  может обладать особенностями только в правой части s-плоскости. И тогда вектор корреляции между входом системы и идеальным выходом будет иметь преобразование Фурье.

Таким образом, учитывая ещё физическую реализуемость и устойчивость передаточной функции системы, существуют необходимые преобразования Фурье.

Идея основана на том, что будем воспроизводить идеальный сигнал с задержкой по времени .

Из этого условия на  следует, что все полюсы функции  находятся в нижней полуплоскости: . Чтобы выполнить условие верней полуплоскости для полюсов частотной характеристики , выполним ряд нетривиальных преобразований, найденных Винером.

Аналогично общему случаю выполним преобразование Фурье над последним равенством:

.                                        (3.4.4.5)

Здесь  может иметь особенности (нули и полюса) только в нижней полуплоскости, а  – во всей плоскости, тогда и  будет иметь особенности во всей плоскости. Тогда для частей функций, образованных полюсами в верхней полуплоскости имеем:

.                                             (3.4.4.6)

Точнее говоря, для произвольной функции :

,                                                       (3.4.4.7)

где

.                                                        (3.4.4.8)

В случае рациональной функции  это эквивалентно тому, что разложить функцию в ряд и собрать только те члены, которые имеют полюса только в верхней полуплоскости.

Далее ограничимся дробно-рациональными входными воздействиями, т.е. дробно-рациональными спектральными плотностями амплитуд

.                                                                       (3.4.4.9)

Данное предположение не является сильно ограничительным, так как получаемые на практике экспериментальные сигналы или их спектральные плотности хорошо аппроксимируются такими функциями.

Являясь преобразованием Фурье от корреляционной функции, являющейся интегралом от произведения случайного процесса на самого себя, спектральная плотность согласно формуле (1.2.4.3) является произведением спектральной плотности амплитуд:

.

Поэтому она также является дробно рациональной функцией частоты :

. (3.4.4.10)

Докажем, что тогда её можно представить как дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами от .

Рассмотрим любой из полиномов  числителя или знаменателя спектральной плотности амплитуд  сигнала . Тогда соответствующий полином числителя или знаменателя спектральной плотности  равен

(3.4.4.11)

В этом выражении вторая и третья суммы кососимметричны и взаимно уничтожаться, а первая и последняя суммы являются вещественными полиномами чётной степени, так как сомножителями являются полиномы одной чётности. Мнимая единица «j» также будет в чётной степени и, следовательно, все коэффициенты будут вещественными. Например, для первого члена:

(3.4.4.12)

Таким образом:

,                                                            (3.4.4.13)  

где  – многочлены, причём от .

Лемма (о факторизации). Пусть многочлен  степени 2n содержит только чётные степени:

.                                              (3.4.4.14) Тогда его можно представить в виде

.                                                         (3.4.4.15)

Если  не имеет чисто мнимых корней, то его сомножитель  можно единственным образом выбрать в виде устойчивого многочлена.

Доказательство. Пусть  – корень, тогда  и  – корень. Разобьём все корни на такие пары и разложим  по корням

 Такое разбиение неединственно, однако, если отсутствуют чисто мнимые корни, то все корни разбиваются на пары, лежащие в левой полуплоскости и правой полуплоскости. Объединив в группу все корни в левой полуплоскости, т.е. устойчивые, получаем и устойчивый многочлен .

Итак, предположим, что  дробно-рациональна, что согласно лемме о факторизации позволяет её представить в факторизованном виде

,

где  имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости (верхние), а  – в нижней полуплоскости (нижние).

Подставив это выражение в частотное уравнение Винера-Хопфа (3.4.4.5) и разделив на , получим:

.

Теперь первую дробь расщепим, т.е. разложим на простейшие (по корням знаменателя) и представим в виде

,

где  имеет все нули и полюса только в верхней полуплоскости, а  – только в нижней.

Тогда на предпоследнем шаге получаем

.

Наконец, необходимо упростить полученное выражение с учётом его физической реализуемости, т.е. тривиальности решения в отрицательной полуплоскости: , чему соответствуют решения последнего уравнения в верхней полуплоскости . Такие решения следует искать для предыдущего обрезанного (укороченного) уравнения

.

Откуда уже легко получаем решение в частотной и временной областях

.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: