Дополнения к фильтру Винера

Классификация задач фильтрации:

- линейная-нелинейная (как динамическая система, так и сам фильтр);

- стационарная-нестационарная;

- представление фильтра ядром интегрального оператора (импульсной передаточной функцией (ИПФ)), передаточной функцией (частотной), алгоритмом на основе системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний.

Мы рассматриваем только линейную задачу фильтрации (линейная система, линейный фильтр). Фильтр Колмогорова-Винера даёт решение в случае стационарных эргодических процессов в виде частотной передаточной функции или ИПФ. Фильтр Калмана-Бьюси – в виде алгоритма на основе системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний.

Фильтр Винера был обобщён в следующих направлениях: векторный случай (спектральные матрицы), метод неопределённых коэффициентов для нестационарного случая.

Существуют решения, в том числе для нелинейных систем и нелинейных фильтров в виде уравнений Вольтерра, функциональных рядов, спектральных матриц.

 

Критерии оптимальности.

И для фильтра Винера и для фильтра Калмана мы используем критерий среднеквадратичной ошибки, который приводит к результатам, аналогичным случаю детерминированных систем. Также аналогично, можно рассмотреть вместо задачи оптимальной оценки случайного сигнала (процесса), задачу оптимального управления (я ранее выражал скепсис по этому поводу, но был неправ – в классических книгах существует такая постановка, и мы её далее рассмотрим).

В фильтре Винера вся информации должна быть задана априорна. В случае фильтра Калмана – её можно получать по мере поступления. Это большой плюс.

В задачах фильтрации (оценки параметров или выбора гипотез также, это уже нелинейная фильтрация) можно использовать также формулу Байеса и отвечающей ей критерий максимального правдоподобия.

Общепринятая достаточно универсальная идеология фильтрации использует байесовский принцип. Ее применение позволяет, по крайней мере, теоретически, создавать как линейные, так и нелинейные алгоритмы фильтрации. Кроме того, этот принцип помогает выяснить, при каких условиях линейные процедуры фильтрации приводят к наивысшему качеству обработки и, следовательно, являются абсолютно оптимальными.

Отметим, однако, с самого начала основные недостатки байесовской фильтрации. Первый является общим для байесовских методов вообще и заключается в очень высоких требованиях к объему и характеру данных, содержащихся в математических моделях сигналов и помех, удовлетворить которым на практике удается далеко не всегда. Полагаем, что на входе фильтра действует сигнал

, (*)

где и - полезный сигнал и помеха, а - функция, описывающая их взаимодействие. При байесовском методе считается, что сигнал и помеха - случайные процессы (случайные двумерные поля) с известными законами распределения вероятностей. Пусть - вектор, элементы которого - все отсчетов, образующих кадр изображения, а -их совместное распределение. Примем для простоты, что помеха и сигнал независимы, а распределение вектора помехи равно . Воспользовавшись формулой Байеса, запишем апостериорное распределение вероятностей (АРВ) :

, (**)

куда входит распределение наблюдаемых данных и условное распределение - называемое функцией правдоподобия. Смысл выражения (**) заключается в том, что оно дает возможность вычислить в устройстве обработки распределение вероятностей полезного сигнала, располагая входными данными и опираясь на вероятностную модель как самого полезного сигнала, так и наблюдаемых данных. АРВ является аккумулятором всех доступных сведений о полезном сигнале, которые содержатся в , а формула (**) указывает способ извлечения этих сведений.

Задачей байесовского фильтра является вычисление распределения вероятностей .

Несмотря на сложность байесовских процедур для фильтрации даже одномерных сигналов, были получены блестящие решения проблемы, основанные на использовании Марковских моделей сигналов и помех.

 

О преобразовании Лапласа и Фурье в фильтре Винера.

Фильтр Винера основан на преобразованиях Лапласа и Фурье. Прежде всего, напомним не очень строго определение преобразования Лапласа F ( p ) для функции f ( t ):

.                                                           (1)

Область определения преобразования Лапласа ограничивается функциями:

- ;

- .

В технических приложениях первому условию равенства 0 сигнала при отрицательном времени соответствует тому, что вся информация о прошлом содержится в начальных условиях при t = 0.

Второе условие требует принадлежности сигнала классу суммируемых функций. Оно будет заведомо выполняться, если

.

Такое минимальное  называется показателем степени роста.

Теорема 1 (об аналитичности преобразования Лапласа).  Если Re p > , то интеграл существует и определяет аналитическую функцию для таких p (не совсем точно).

Обратное преобразование Лапласа:

.                                                  (2)

Оно даёт первоначальную функцию (которая здесь называется оригиналом), если .

В каких случаях оно существует и как его находить? Этот вопрос имеет важнейшее значение для фильтра Винера.

Теорема 2 (о существовании обратного преобразования Лапласа для аналитических функций). Для аналитической при Re p >  функции аргумента p существует интеграл (2) обратного преобразования Лапласа.

В том числе, если мы сделали преобразование Лапласа для соответствующей функции, то получили аналитическую функцию для Re p >  и, выбрав , получим этот оригинал обратно.

Теорема 3 (разложения). Если F( p) аналитическая в , т.е. имеет разложение (  – функция Хевисайда)

,

то

.

Теорема 4 (разложения). Если F( p) мероморфная (имеем особенности только в виде полюсов, в конечном количестве в ограниченной области), аналитическая в , т.е. , для каждого a

.

то

.

Теорема 5 (разложения). При ограниченном числе полюсов – получается правильная дробно-рациональная функция . И её можно разложить на простейшие дроби (с учётом кратности корней) и по таблице найти обратное преобразование Лапласа:

.

Для простых полюсов:

.

 

Устойчивая система.

Для устойчивости системы с импульсной передаточной функцией (ИПФ) K ( t ) необходимо и достаточно:

.

В этом случае, для ограниченного входного сигнала будет т.е. будет существовать выходной сигнал:

.

Сделав преобразование Фурье над (ИПФ) K ( t ) получаем необходимое и достаточное условие в виде отрицательности вещественной части нулей частотной передаточной функции

.

Сделаем заключительное замечание, относящееся к строгой применимости полученной формулы: линейный фильтр является оптимальным для нормальных случайных процессов, иначе – решение принадлежит к классу нелинейных систем.

 

Теперь применяя эту лемму о факторизации к многочленам в числителе и знаменателе спектральной плотности , получаем факторизацию спектральной плотности

.

При этом если дисперсия , то  – устойчивый многочлен, а  – кроме корней в левой полуплоскости может иметь только корни на мнимой оси. А именно, из ограниченности дисперсии, следует отсутствие полюсов  (т.е. корней  знаменателя) на мнимой оси.

.                               (*)

Согласно формуле (1.5.3) для установившейся реакции выходного сигнала

.

И дисперсия выходного процесса равна

.

В случае отсутствия кратных корней дисперсия равна сумме вычетов:

.                                         (**)

Заметим, что  из-за устойчивости системы, а  из-за ограниченности интеграла (*) для дисперсии.

Таким образом, на полуокружности бесконечно большого радиуса, охватывающей левую полуплоскость, подынтегральное выражение убывает не медленней, чем , а, следовательно,

,

где во втором интеграле интегрирование ведётся по контуру, охватывающему левую полуплоскость. Значение такого интеграла равно сумме вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, лежащих внутри этого контура, что и приводит к равенству (**).

Пример 3.3. ППП

Далее надо ещё: 1) проекция в гильбертовом пространстве (синяя книга Леоденса), 2) векторное уравнение Винера-Хопфа и фильтр Винера (синяя книга Леоденса), 3) метод неопределённых коэффициентов (синяя книга Леоденса), 4) книги Первозванского, Леоденса, Венгерова, …

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: