Вывод дисперсионного уравнения для оптимального фильтра

Итак, начнём с дифференциального уравнения фильтра (3.4.2.21)

,                                    

уравнения динамической системы (3.4.2.1) в пространстве состояний

,

и уравнения (3.4.3.1) для ошибки :

с начальным условием (3.4.3.2)

.

Поскольку

  (3.4.4.1)

то  – белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией равной

 (3.4.4.2)

Кроме того, так как и оценка  и полезный сигнал  не коррелированы с шумами , то и  не коррелировано с шумом :

    (3.4.4.3)

Обозначим, для удобства

. (3.4.4.4)

Тогда можно будет сформулировать в виде Теоремы 1 следующий факт, который определяет дисперсию  вектора состояния  такой динамической системы (ДС) в виде некоторого обыкновенного дифференциального уравнения, которое называется дисперсионным уравнением. Для нашего конкретного случая уравнений (3.4.3.1), (3.4.3.2) – эта дисперсия будет дисперсией ошибки .

Теорема 1. Рассмотрим ДС в пространстве состояний:

,                                             (3.4.4.5)

где  – гауссовский белый шум с характеристиками

, (3.4.4.6)

 – матрицы размерности , соответственно,  – случайный вектор, независимый от , с заданными математическим ожиданием (средним значением) и матрицей дисперсии

, .                                     (3.4.4.7)

Тогда матрица дисперсии  удовлетворяет следующему матричному дифференциальному уравнению

, . (3.4.4.8)

Доказательство. Решение системы дифференциальных уравнений (3.4.4.5) имеет вид (см. учебник по Теории автоматического управления или Дифференциальным уравнениям, например, Бессекерский и Попов)

,                                  (3.4.4.9)

где  переходная матрица (фундаментальная матрица решений) для состояния (3.4.4.5).

Воспользуемся основным уравнением для корреляционной матрицы:

,  (3.4.4.10)

 и более известным его частным случаем для дисперсии (аналог 1.1.11):

.                                 (3.4.4.11)

Второе слагаемое здесь - постоянная величина, поэтому найдём дифференциальное уравнение для дисперсии  случайного процесса  после аналогичного уравнения для матрицы начальных моментов второго порядка:

, .       (3.4.4.12)

Подставим в (3.4.4.12) выражение (3.4.4.9) для :

(3.4.3.13)

Рассмотрим каждое из 4-х слагаемых:

– ;

–

–  – аналогично;

– .

Окончательно,

. (3.4.4.14)

Используем основное свойство переходной матрицы состояний

 – единичная матрица,  (3.4.4.15)

продифференцируем (3.4.4.14) по , и найдём производную  для :

(3.4.4.16)

Теперь попарно сгруппируем слагаемые с одинаковым положением матрицы :

(3.4.4.17)

и аналогично

(3.4.4.18)

Окончательно, дифференциальное уравнение для матрицы производных начальных моментов имеет вид

.                            (3.4.4.19)

Теперь пора найти дифференциальное уравнение для дисперсионной матрицы , используя формулы (3.4.4.11), (3.4.4.19) и то, что :

   (3.4.4.20)

С начальным условием (3.4.4.7)

.                             (3.4.4.21)

Заметим, что дисперсионные уравнения для матрицы начальных моментов второго порядка (3.4.4.19) и дисперсионной матрицы совпадают с точностью до обозначений, а в случае отсутствия регулярной составляющей на входе, т.е. , тождественны, так как .

Теперь, возвращаясь к обозначениям (3.4.4.4), получаем дифференциальное уравнение

        (3.4.4.22)

Или, после подстановки формулы (3.4.3.8)

в это уравнение (3.4.4.22):

             (3.4.4.23)

Осталось обсудить начальные условия для уравнения (3.4.2.21) оценки сигнала . Для оптимального фильтра ищется

min .                                                                      (3.4.4.24)

В то же время существует основная формула (3.4.4.11) для дисперсии

.                                  (3.4.4.25)

Отсюда,

,                        (3.4.4.26)

Так как все слагаемые неотрицательны и  для любых вектор-столбцов .

Минимум ошибки будет, когда

.                     (3.4.4.27)

В то же время применим математическое ожидание к уравнению (3.4.3.1) для ошибки :

.

(3.4.4.28)

Из него получаем тривиальное решение:

.                                                         (3.4.4.29)

И, следовательно, выбор начального условия

,                                     (3.4.4.30)

приводит к минимуму критерия (3.2.4.26) и формуле

,                   (3.4.4.31)

Таким образом, получен алгоритм, осуществляющий вычисление оптимального фильтра и получения оптимальной оценки полезного сигнала. Процедура его реализации за редким исключением возможна только численным образом, с использованием компьютера.

Итоговый алгоритм построения фильтра Калмана имеет вид:

1. Решаем дисперсионное дифференциальное уравнение (3.4.4.23) и находим дисперсию .

2. Находим по формуле (3.4.3.8) коэффициент усиления фильтра .

3. Составляем и решаем дифференциальное уравнение фильтра (3.4.2.21) для оценки сигнала , .

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРИМЕРЫ К ЭКЗАМЕНУ

6.1. Основные примеры

 

Пример 1. (Пример 1.1 из Егупова) Типовые корреляционные функции и их плотности.

 

 

Пример 2. Белый шум.

Белым шумом называется стационарный СП с постоянной спектральной плотностью:

.

 Тогда

.

.

Тогда в установившемся режиме

.

Для нестационарного белого шума вида

,

получаем нестационарную дисперсию:

.

Пример 3. (Пример 1.2 из Егупова) Преобразование сигнала линейной системой.

Пусть имеется стационарный сигнал с , поступающий при t=0 на вход системы с передаточной функцией . Найдём дисперсию.

Характеристическое уравнение и корень: . Тогда . Согласно определению корреляционной функции (в установившемся режиме):

Найдём дисперсию в неустановившемся режиме:

Раскроем модуль и вычислим внутренний интеграл:

Тогда внутренний интеграл распадается на два :

Подставим это выражение во внешний интеграл:

В установившемся режиме, т.е. при  имеем:

Пример 4. Преобразования простейшей линейной системой простейшего сигнала с помощью передаточной функции и спектральной плотности.

Пусть:

, .

Сначала найдём спектральную плотность входного сигнала:

.

Теперь найдём дисперсию выходного сигнала:

.

Пример 5. Формирующий фильтр.

Сформируем случайный процесс со спектральной плотностью  (и корреляционной функцией ).

Разложим спектральную плотность на комплексно-сопряженные множители

.

Тогда для единичного белого шума передаточная функция формирующего фильтра имеет вид

.

Пример 6. (Пример 1.7 из Егупова) Определение ошибки.

Пусть имеется полезный сигнал m( t) и помеха n( t) со спектральными плотностями 

 (и корреляционной функцией ).

Задачи из Егупова: Пример 3.1, Пример 3.3, Пример 3.4, Пример 3.5, Пример 3.6, Пример 3.7.

Пример 7. (Пример 3.7 из Егупова). Фильтр Калмана при цветном шуме.

Ф  

 

 

Основные понятия и результаты

Теория вероятности.

Функция распределения, плотность распределения, случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, центральные и начальные моменты, формула для вычисления дисперсии (1.7, Егупов).

Нормальный (гауссовский) закон распределения, формула плотности распределения и его основные свойства.

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: