Математическое описание динамических систем

Типовым примером динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение

, (3.5.1.1)

дискретным аналогом которого является разностное уравнение

. (3.5.1.2)

Прежде всего, будем исходить из определения 3.5.1.1 общей динамической системы, которое в линейном случае имеет вид:

(3.5.1.3)

Если система конечномерна, то являются матрицами. А по теореме о представлении функционалов в пространствах функций будет интегралом от матрицы:

(3.5.1.4)

Последние уравнения можно записать в виде одного равенства для выхода y( t):

. (3.5.1.6)

Здесь

(3.5.1.7)

– весовая (или импульсная переходная) матрица, представляющая собой реакцию на - функцию.

В случае стационарной системы, когда импульсная переходная функция зависит только от разности аргументов, формула (3.5.1.7) переходит в интеграл Дюамеля (свёртку) для выражения выхода (отклика) линейной динамической системы на входное воздействие с помощью импульсной переходной функции (переходной функции, ИПФ) и имеет вид:

. (3.5.1.8)

Рассмотрим разные формы представления динамической системы. Самым стандартным является классический способ описания с помощью передаточных функций линейной стационарной системы – уравнение (3.5.1.9), эквивалентный линейному дифференциальному уравнению высокого порядка – уравнение (3.5.1.10) (для представления во временной и частотной области использовано одно и то же обозначение, различающееся аргументом: «t» или «s»):

(3.5.1.9)

. (3.5.1.10)

Здесь введено обозначение «D» для дифференциального оператора.

Наконец, вводя дробно рациональные выражения от оператора дифференцирования или переменной «s», соотношения (3.5.1.9) и (3.5.1.10) можно переписать ещё в таком виде с помощью передаточной функции

, (3.5.1.11)

. (3.5.1.12)

В качестве исходного представления может быть задано любое из этих уравнений: (3.5.1.11) – во временной области, (3.5.1.12) – в частотной области (при нулевых начальных условиях уравнения (3.5.1.11)). Соответствие между ними даётся преобразованием Лапласа: прямым или обратным. В случаем преобразования Лапласа в общем случае необходимо учитывать начальные условия, в результате чего уравнение (3.5.1.12) приобретает следующий вид (здесь начальные значения в 0 – во временной области. Егупов, том 2, Приложение 1, стр. 415):

. (3.5.1.13)

Калман ввёл фундаментальное представление динамической системы уравнением в пространстве состояний, которое для линейной стационарной системы имеет вид

(3.5.1.14)

Здесь – вектор входа, – вектор состояния системы.

Данное представление легко расширяется на случай линейной нестационарной системы (которое является исходным для фильтра Калмана):

(3.5.1.15)

Между представлениями с помощью передаточной функции и в пространстве состояний существует почти полный изоморфизм, который в случае перехода от передаточной функции к пространству состояний приобретает форму преобразования от системы линейных дифференциальных уравнений высокого порядка (3.5.1.9) к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида (3.5.1.16)

, (3.5.1.16)

с векторами X и Y и матрицами A и B вида

. (3.5.1.17)

Ещё одной классической формой представления, которая используется при построении фильтра Винера являются интегральные уравнения. Такой способ представления является компактным и удобным в случае линейных стационарных систем, когда известны спектральные характеристики входа и выхода процесса, связанные с полезным сигналом и шумом ( ). Интегральные уравнения содержат полную постановку задачи вместе с начальными условиями. Так интегральное уравнение

(3.5.1.18)

эквивалентно задаче Коши для дифференциальных уравнений

. (3.5.1.19)

Тогда же можно применить мощный аппарат преобразования Фурье, но это же, является недостатком, так как требует стационарности системы, а кроме того, знания этих спектральных характеристик: что бывает довольно затруднительным.

Для нестационарных систем, заданных линейными дифференциальными уравнениями также можно перейти к интегральным уравнениям.

Важным является также то, что переход от скалярного интегрального уравнения к векторному уравнению формально тривиален. Так многомерным аналогом скалярного уравнения является уравнение

. (3.5.1.20)

Рассмотрим представление интегральными уравнениями нестационарных динамических систем. Интегральные уравнения делятся на два основных класса: линейные и нелинейные. К линейным относятся, например, следующие классические интегральные уравнения:

- Фредгольма 2-го рода

- Вольтерра 2-го рода

- Фредгольма 1-го рода

- Вольтерра 1-го рода

В этих уравнениях – искомая функция, из заданного функционального пространства, заданная правая часть, из своего функционального пространства, ядро из некоторого функционального пространства и параметр, соответственно. Ядро задано: в уравнениях Фредгольма на квадрате , а в уравнениях Вольтерра – на треугольнике . Если ядро в уравнении Фредгольма отлично от нуля только на треугольнике , то оно переходит в уравнение Вольтерра. Для них существуют специальные более эффективные методы их решения. Уравнения 2-го рода всегда корректно поставлены, в то время как уравнения 1-го рода обычно некорректно поставлены и требуют специальных средств коррекции такой ситуации.

Важнейшими примерами нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона-Фредгольма и Урысона-Вольтерра 1-го и 2-го рода, аналогичные линейным уравнениям:

- Урысона-Фредгольма 1-го рода