Представления динамической системы.

Прежде, чем переходить к фильтру Калмана, рассмотрим разные формы представления динамической системы.

Самым стандартным является классический способ описания с помощью передаточных функций линейной стационарной системы – уравнение (*), эквивалентный линейному дифференциальному уравнению высокого порядка – уравнение (**) (для представления во временной и частотной области использовано одно и то же обозначение, различающееся аргументом: «t» или «s»):

(*)

. (**)

Здесь введено обозначение «D» для дифференциального оператора.

Наконец, вводя дробно рациональные выражения от оператора дифференцирования или переменной «s», соотношения (*) и (**) можно переписать ещё в таком виде с помощью передаточной функции

, (****)

. (*****)

В качестве исходного представления может быть задано любое из этих уравнений: (*) – во временной области, (**) – в частотной области (при нулевых начальных условиях уравнения (*)). Соответствие между ними даётся преобразованием Лапласа: прямым или обратным. В случаем преобразования Лапласа в общем случае необходимо учитывать начальные условия, в результате чего уравнение (**) приобретает следующий вид (здесь начальные значения в 0 – во временной области. Егупов, том 2, Приложение 1, стр. 415):

. (***)

Другим, введённым Калманом, фундаментальным представлением динамической системы является представление в пространстве состояний, которое для линейной стационарной системы имеет вид

(+)

Здесь – вектор входа, – вектор состояния системы.

Данное представление легко расширяется на случай линейной стационарной системы, которое является исходным для фильтра Калмана:

()

Между представлениями с помощью передаточной функции и в пространстве состояний существует почти полный изоморфизм, который в случае перехода от передаточной функции к пространству состояний приобретает форму преобразования от системы линейных дифференциальных уравнений высокого порядка (*) к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида (+)

, ()

с векторами X и Y и матрицами A и B вида

Ещё одной классической формой представления, которая используется при построении фильтра Винера являются интегральные уравнения. Такой способ представления является компактным и удобным в случае линейных стационарных систем, когда известны спектральные характеристики входа и выхода процесса, связанные с полезным сигналом и шумом ( ). Интегральные уравнения содержат полную постановку задачи вместе с начальными условиями. Так интегральное уравнение

эквивалентно задаче Коши для дифференциальных уравнений

Тогда же можно применить мощный аппарат преобразования Фурье, но это же, является недостатком, так как требует стационарности системы, а кроме того, знания этих спектральных характеристик: что бывает довольно затруднительным.

Для нестационарных систем, заданных линейными дифференциальными уравнениями также можно перейти к интегралным уравнениям.

Важным является также то, что переход от скалярного интегрального уравнения к векторному формально тривиален. Так многомерным аналогом скалярного уравнения является уравнение

Рассмотрим представление интегральными уравнениями нестационарных динамических систем. Интегральные уравнения делятся на два основных класса: линейные и нелинейные. К линейным относятся, например, следующие классические интегральные уравнения:

- Фредгольма 2-го рода

- Вольтерра 2-го рода

- Фредгольма 1-го рода

- Вольтерра 1-го рода

В этих уравнениях – искомая функция, из заданного функционального пространства, заданная правая часть, из своего функционального пространства, ядро из некоторого функционального пространства и параметр, соответственно. Ядро задано: в уравнениях Фредгольма на квадрате , а в уравнениях Вольтерра – на треугольнике . Если ядро в уравнении Фредгольма отлично от нуля только на треугольнике , то оно переходит в уравнение Вольтерра. Для них существуют специальные более эффективные методы их решения. Уравнения 2-го рода всегда корректно поставлены, в то время как уравнения 1-го рода обычно некорректно поставлены и требуют специальных средств коррекции такой ситуации.

Важнейшими примерами нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона-Фредгольма и Урысона-Вольтерра 1-го и 2-го рода, аналогичные линейным уравнениям:

- Урысона-Фредгольма 1-го рода