Уравнение оптимального фильтра

Оптимальный фильтр Калмана будет являться решением некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Будем искать это дифференциальное уравнение.

Итак, рассматривается задача получения оптимального фильтра (оптимальной фильтрации), которому соответствует оптимальная оценка  полезного сигнала , который описывается уравнениями в пространстве состояния в условиях задачи (3.4.2.1)-(3.4.2.3) с выходом (измерением)

,                                          (3.4.2.1)

,           (3.4.2.2)

, ,                      (3.4.2.3)

,                           (3.4.2.4)

где  – гауссовские белые шумы с плотностями , ,  соответственно,  – случайный вектор, независимый от ,

плюс некоррелированность помехи с начальным условием

.                                                               (3.4.2.5)

Для оптимальной переходной функции  выполняются два основных соотношения:

­  – уравнение Винера-Хопфа (3.4.1.6), как определяющее оптимальность, для полезного сигнала реальной оценки сигнала ;

 – уравнение ДС (3.4.1.3), представленное импульсной переходной функцией, для оптимальной оценки  сигнала .

Рассмотрим уравнение Винера-Хопфа (3.4.1.6) в развёрнутом виде

(3.4.2.6)

Продифференцируем это соотношение, с учётом условий задачи (3.4.2.1). Сначала найдём производную левой части:

(3.4.2.7)

Теперь продифференцируем правую часть (используем из математического анализа формулу интегрирования интеграла с переменным верхним пределом):

(3.4.2.8)

Теперь приравняем правые части формул (3.4.2.7) и (3.4.2.8):

(3.4.2.9)

Теперь воспользуемся ещё раз уравнением Винера-Хопфа и заменим его левую часть , находящуюся в левой части уравнения (3.4.2.9), на правую часть уравнения Винера-Хопфа :

(3.4.2.10)

Так как это равенство 0 выполняется для любого случайного процесса , то для этого необходимо и достаточно, чтобы и подынтегральное выражение равнялось 0, т.е.:

.         (3.4.2.11)

С другой стороны, дифференцируя уравнение Винера-Хопфа для импульсной переходной функции (ИПФ)

,                                         (3.4.2.12)

получаем другое уравнение:

.                                   (3.4.2.13)

Предположим, что оптимальный фильтр (т.е. являющийся решением уравнения Винера-Хопфа (3.4.1.3) оптимальной ИПФ) в пространстве состояний имеет структуру

.                                                 (3.4.2.14)

и матрицу коэффициентов усиления

,                                                                 (3.4.2.15)

где  – решение приведённой выше системы двух уравнений.

Решение уравнения (3.4.2.14) имеет вид (где  – переходная функция системы или фундаментальная матрица решений системы линейных дифференциальных уравнений):

, (3.4.2.16)

так как . Что даёт матричную ИПФ

.                                                        (3.4.2.17)

При  получаем просто ( )

.                                              (3.4.2.18)

Вопрос с определением  пока отложим, но найдём . Для этого подставим в выражение (3.4.2.13) вместо  правую часть формулы (3.4.2.11), (3.4.2.18) а также используем уравнение ИПФ (3.4.1.6) в случае оптимального фильтра :

(3.4.2.19)

Теперь, сравнивая (3.4.2.19) и (3.4.2.14) получаем, что

,                                               (3.4.2.20)

а обыкновенное дифференциальное уравнение (3.4.2.19) служит для определения оптимальной матричной функции коэффициентов фильтра  и оптимальной оценки  для каждого момента времени t.

А оптимальный фильтр равен:

.                                          (3.4.2.21)

Осталось только определить коэффициент усиления , и после этого оценка  полезного сигнала  определяется из дифференциального уравнения (3.4.2.19), а сам фильтр Калмана будет представлять из себя процедуру, сначала определяющую коэффициент усиления , а затем решающую дифференциальное это уравнение (3.4.2.19). Итак, перейдём к определению коэффициента усиления .

3.4.3. Нахождение оптимальной матричной функции коэффициентов фильтра

Из уравнения динамической системы (3.4.2.1) для координат  в пространстве состояний

и дифференциального уравнения (3.4.2.20) для оценки сигнала

(уравнения фильтра) получим их вычитанием дифференциальное уравнение для ошибки :

   (3.4.3.1)

с начальным условием

.                                                  (3.4.3.2)

Получим из этого дифференциального уравнения выражение для коэффициента усиления , явно выраженного через дисперсию  ошибки.

Будем исходить из дифференциального уравнения Винера-Хопфа (3.4.1.6)

и его частного случая для  (так как )

.            (3.4.3.3)

Сделаем ряд преобразований этого уравнения Хопфа (3.4.3.3) в развёрнутом виде, с учётом самого уравнения и дополнительных условий уравнений (3.4.2.1)-(3.4.2.5) вектора состояния в пространстве состояний

,

направленных на его упрощение.

Сначала упростим левую часть:

       (3.4.3.4) 

Теперь аналогично вычислим математическое ожидание в правой части уравнения Винера-Хопфа:

(3.4.3.5) 

И приравняем их:

(3.4.3.6)

Отсюда выражаем :

(3.4.3.7)

При последнем преобразовании также использовано уравнение Винера-Хопфа, общий случай: выражение в скобках равно 0.

Окончательно,

.                                                      (3.4.3.8)

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: