Взаимодействие системы со средой

Рассмотрение причинно-следственного взаимодействия системы Управления со средой связано с обособлением собственно системы S и выделением ее связей со средой через переменные входа и выхода у (рис. 1.18, а). Система оказывается звеном в искусственно разорванной Цепи причинно-следственных отношений «среда-система-среда».

 

Рис. 1.18. Взаимодействие системы со средой

 

В теории и расчетной практике объектами исследований оказываются модели собственно систем управления модели систем со связями со средой M_YSF и модели расширенных систем (рис. 1.18, б). Модели M_s позволяют выявить свойства свободных движений автономных систем, M_YSF — свойства каналов передач от входов M_SF к выходам M_YS при отсутствии информации о переменных входа f(t) — модели среды M_F , а модели М _RS привлекаются для изучения вынужденных движений переменных выхода y(t) адекватных моделях воздействий.

 

1.7.2. Операторы преобразования переменных

На содержательном уровне объекты и системы управления интерпретируются как устройства получения, передачи и обработки информации. С другой стороны, объекты и системы можно рассматривать как преобразователи сигналов — носителей этой информации. Преобразование сводится к изменению параметров, кодирующих информацию. Свойства системы как преобразователя характеризуются ее оператором, отображающим множество функций времени на входе системы на множество функций выхода:

 

 

Примерами операторов являются оператор дифференцирования или дифференциальные уравнения

 

 

а также разностные уравнения:

 

 

где

 

 

и т.д. — разности первого и высших порядков.

Оператор линеен, если обладает свойствами однородности, т. е.

 

 

Для линейного оператора справедливо:

• при любом усилении (ослаблении) входного воздействия выходная переменная претерпевает точно такое же усиление, не изменяя своей формы;

• реакция на сумму любых входных воздействий равна сумме реакций на эти воздействия.

В общем случае линейной комбинации входных воздействий отвечает та же линейная комбинация соответствующих реакций:

 

 

Свойство линейности оператора, выраженное приведенной формулой, иногда называют принципом суперпозиции. Принцип суперпозиции дает возможность выражать реакцию линейной системы на любое воздействие через ее реакцию на определенный вид элементарных воздействий. Для этого произвольное воздействие f(t) представляется как линейная комбинация элементарных воздействий выбранного типа. Зная реакцию линейной системы на элементарные воздействия этого типа, определяется ее реакция на воздействие f(t). Таким образом, линейная система как преобразователь полностью характеризуется ее реакцией на типовое воздействие, называемой временной характеристикой. Хотя в простейших случаях такая форма представления оператора наглядна, ее недостатком является неудобство решения задач анализа и синтеза.

Если не выполняется принцип суперпозиции, то оператор называется нелинейным. Разумеется, класс нелинейных операторов много богаче класса линейных.

Оператор стационарен, если его характеристики инвариантны ко времени. Другими словами, при сдвиге во времени входного воздействия без изменения его формы реакция претерпевает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы. В ряде случаев модели должны отражать изменение свойств объекта во времени; тогда вводятся в рассмотрение нестационарные операторы

 

 

В простейшем случае нестационарность сводится к изменению параметров модели, например коэффициентов дифференциального уравнения. В общем случае влияние среды приводит к необходимости изменения структуры оператора, например, порядка дифференциального уравнения или даже класса оператора.

Если вариации оператора происходят много медленнее основных процессов, то вместо нестационарного оператора рассматривают множество стационарных операторов, различающихся значениями параметров. Описание объекта множеством равновероятных операторов содержит неопределенность. Если параметры модели заданы с точностью до интервалов значений, то о таких системах говорят, что они интервальные.

Оператор может быть детерминированным или стохастичным. В случае стохастичных операторов параметры представляются как случайные величины и задаются их вероятностными характеристиками.

Объекты управления могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами. В последнем случае они описываются уравнениями в частных производных (разностях).

 

Классы моделей

Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Разумеется, что можно говорить о классе только математической модели, а не реальной системы.

Таким образом, выделяют следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретным временем:

• линейные (Л) или нелинейные (Д);

• стационарные (С) или нестационарные (С);

• детерминированные (Д) или стохастичные (Д);

• сосредоточенные (конечномерные) (К) или распределенные (бесконечномерные).

Эти четыре независимых признака биальтернативны; поэтому можно насчитать всего 2⁴ = 16 классов непрерывных и столько же — дискретных систем.

Простейший класс ЛСДК — линейные стационарные детерминированные конечномерные системы. Они имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами. В математике разработан весьма развитый аппарат анализа этого класса систем. При построении моделей стремятся к их максимальной простоте при достаточной адекватности оригиналам. Поэтому в первом приближении часто ограничиваются описанием объектов управления в классе ЛСДК.

Более сложные классы операторов получаются при введении одного из альтернативных признаков:

 

 

Для таких систем существует незначительное число общих методов аналитического исследования; в основном, они разработаны только для частных случаев.

Операторы второго уровня сложности получаются введением двух отрицаний

 

 

При трех отрицаниях получаем операторы третьего уровня сложности:

 

 

Наконец операторы четвертого уровня сложности

 

 

— нелинейные нестационарные стохастичные бесконечномерные. Им, например, соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с переменными случайными параметрами.

Для систем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, как правило, имеется только единственная возможность их анализа и синтеза путем вычислительных экспериментов.

Если модель системы образована элементами различных классов, то класс системы определяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.

Автономные системы

Система называется автономной, если на нее не действуют внешние силы, в том числе параметрического типа. Автономные системы, таким образом, стационарны. Изменение их состояния происходит в силу накопленной ранее энергии. На рис. 1.19 модель среды представлена в виде автономной системы, имеющей выход, но не имеющей входов.

 

Рис. 1.19. Автономная система

 

Дифференциальные уравнения автономных систем включают переменные системы и их производные, но не содержат переменных, описывающих воздействия среды и имеют постоянные параметры. Это так называемые однородные дифференциальные уравнения

 

 

дополняемые начальными условиями:

 

 

Начальные условия являются следствием предыстории системы и вместе с дифференциальными уравнениями полностью определяют поведение автономной системы. Если система автономна, то ее движения называют свободными. В случае автономных систем с дискретным временем будем иметь однородные разностные уравнения:

 

 

Модели среды

Среда на входе системы моделируется автономными системами - генераторами воздействий (см. рис. 1.19) или преобразователями типовых воздействий — фильтрами. Распространенными типовыми сигналами, моделирующими детерминированное воздействие, являются единичные импульсная и ступенчатая функции. Примером типового случайного воздействия является так называемый «белый шум». Среда может моделироваться динамической системой того же класса, что и сама система управления. Однако часто рассматриваются детерминированные системы со случайными воздействиями на входе.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: