ПОСТРОЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

Временные характеристики — импульсная переходная функция w ( t ) и переходная характеристика h ( t ) — могут быть получены экспериментально, если удается подать на вход объекта воздействие в виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой или ступенчатой функции времени. Последнее более реально; функцию веса w ( t ) впоследствии можно получать дифференцированием функции h ( t ).

Статистические методы непараметрической идентификации позволяют оценить ординаты функции веса w ( t ) путем обработки данных вход-выход объекта в виде случайных сигналов, быть может, имеющих место в режиме нормальной эксплуатации (корреляционный анализ).

Существуют методы построения временных характеристик по частотным, базирующиеся на обратном преобразовании Фурье (I. Fourier).

В случае, когда исходная информация об объекте представлена в форме дифференциального уравнения (2.1), временные характеристики получают его решением.

В классической теории автоматического управления для решения дифференциальных уравнений часто привлекают так называемый операторный метод, связанный с преобразованием Лапласа. Метод особенно удобен в случае типовых воздействий в виде обобщенных функций и позволяет легко учесть ненулевые начальные условия.

Пусть дано дифференциальное уравнение п-го порядка звена или системы управления (2.2). Необходимо получить выражения для импульсной переходной функции (функции веса) w ( t ), переходной характеристики h ( t ), а также для реакции в случае воздействия общего вида. Пусть изображение воздействия по Лапласу на входе системы или звена представляет собой дробно-рациональную функцию от s

 

 

Если преобразовать по Лапласу дифференциальное уравнение п-го порядка при ненулевых предначальных условиях, то после разрешения полученного алгебраического уравнения относительно изображения переменной выхода имеем

 

 

Здесь полином A _н ( s ) определяется предначальными условиями. Если все предначальные условия нулевые, то изображение выхода равно:

 

 

где W ( s ) — передаточная функция.

Искомое решение — переменная на выходе системы (оригинал) — получается путем обратного преобразования Лапласа

 

 

где с — абсцисса сходимости. Формула обращения Римана-Меллина (В. Riemann—Н. Mellin) устанавливает однозначное соответствие между оригиналом и изображением в точках непрерывности оригинала. Имеются алгоритмы и программы, позволяющие вычислять интеграл (2.8) при произвольных функциях Y ( s ). Практическое вычисление оригинала удобно производить, основываясь на теореме о вычетах, согласно которой значение интеграла (2.8) может быть представлено суммой вычетов подынтегральной функции

 

 

где ResY ( s ) — вычет функции Y ( s ) в полюсе s_i ; i = 1,..., n_Y ; n_Y — число простых полюсов изображения Y ( s ). При t < 0 функция y ( t ) = 0.

Для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и типовых воздействий изображение Y ( s ) является дробно-рациональной функцией, которую можно представить в виде суммы простейших дробей

 

 

где А' _Y — производная полинома A_Y no s ; s_i— простые полюсы;

 

 

Оригинал в соответствии с разложением (2.9) имеет вид

 

 

Импульсная переходная функция (функция веса) w ( i ) представляет собой реакцию системы на -функцию при нулевых начальных условиях. Поскольку изображение -функции

 

 

представляет собой обращение по Лапласу передаточной функции

 

 

Разложение передаточной функции на сумму простейших дробей в случае простых полюсов s_i ; i =1,...,п, имеет вид

 

 

где С_i — коэффициенты разложения (вычеты):

 

 

Пример 2. Найдем с помощью формул (2.10) и (2.11) выражение для функции веса по передаточной функции

 

 

Полюсы передаточной функции s, = -1; s ₂ - -2. Разложение (2.12) на сумму простейших дробей имеет вид

 

 

Обратное преобразование Лапласа дает

 

 

Переходная характеристика h ( t ) представляет собой реакцию системы на единичную ступенчатую функцию 1(t) при нулевых начальных условиях. Поскольку

 

 

имеем

 

 

Полюсами изображения реакции являются полюс воздействия s₁ = 0 и полюсы передаточной функции. Легко убедиться, что

 

 

Пример 3. Получим выражение для переходной характеристики системы с передаточной функцией (2.12). Разложение изображения H ( s ) на сумму простейших дробей дает

 

 

Следовательно, переходная характеристика описывается функцией:

 

 

В общем случае произвольного воздействия разложение изображения переменной выхода (2.7) запишется как

 

 

где s_i =1,..., n — полюсы передаточной функции W ( s ); s_k =1,..., n_F — полюсы изображения воздействия F ( s ). Принято, что s_k ≠ s_i , т. е. полюсы воздействия не равны полюсам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).

В выражении (2.13) первая группа слагаемых определяет переходную составляющую вынужденного движения y _пер ( t ); вторая группа -установившуюся составляющую вынужденного движения y _уст ( t ), а третья — свободные движения у_св( t ):

 

 

Установившееся вынужденное движение y _уст ( t ) обусловлено полюсами изображения воздействия s_k ; переходная составляющая вынужденного движения y _пер ( t ) образуется из-за ненулевых посленачальных условий (изменение начальных условий приложением в момент времени t =0 конкретного воздействия) и определяется полюсами передаточной функции; свободные движения у_св( t ) имеют место при ненулевых предначальных условиях и также определяются полюсами передаточной функции.

Если анализируется автономная система управления M_s, представленная в форме однородного дифференциального уравнения

 

 

то его решение имеет вид

 

 

Если изображение Y ( s ) имеет кратные полюсы, то вместо формул (2.13), (2.14) записываются более сложные выражения.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: