Дифференциальные уравнения

Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение i-го порядка с постоянными коэффициентами обычно записывается так:

 

(2.1)

 

Если ввести оператор дифференцирования по времени

 

 

то уравнение (2.1) запишется в компактном виде

 

 

где А(р) = а_пр" + ... + а₁р + а₀; В(р) = b_mp^m + ... + b ₁ р + b ₀ — операторные полиномы. Дифференциальное уравнение дополняется начальными условиями y(0), y’(0), y^(n-1)(0).

 

Передаточные функции

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выхода и входа при нулевых начальных условиях

 

 

где интегральное преобразование Лапласа (P. Laplace) определяется так:

 

 

Преобразуя дифференциальное уравнение (2.1) при нулевых начальных условиях, получаем алгебраическое уравнение для изображений A ( s ) Y ( s ) = B ( s ) F ( s ). Отсюда следует, что передаточная функция легко записывается по дифференциальному уравнению

 

 

и, наоборот, по передаточной функции сразу записывается дифференциальное уравнение. Зная передаточную функцию и изображение переменной входа, легко найти изображение выхода

 

 

Пример 1. Пусть система описывается дифференциальным уравнением второго порядка

 

 

Преобразуем уравнение по Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности оператора преобразования L , а также теоремой о дифференцировании оригинала

 

 

Последнее уравнение перепишем в другом виде:

 

 

При нулевых начальных условиях y(0)=y’(0)=0 отношение изображений, т. е. передаточная функция равна

 

 

Оператор, связывающий вход и выход, можно задать коэффициентом и множествами нулей (корней полинома числителя) z;j=1,...,т, и полюсов (корней полинома знаменателя) p_i ; i = 1,..., п, передаточной функции (2.3)

 

 

В отличие от полиномиальной формы (2.3), эту форму задания передаточных функций иногда называют факторизованной. Вводится понятие структуры оператора преобразования. Для дифференциального уравнения i-го порядка (2.1) и передаточной функции (2.3) задание структуры означает задание целых чисел —- степеней п = deg А и т = deg В полиномов А и В.

Параметрами оператора являются коэффициенты полиномов.

 

Временные характеристики

Временные характеристики являются одной из форм представления операторов преобразования переменной f ( t ) в переменную y ( t ). Импульсная переходная функция или функция веса w ( t ) — реакция системы на единичный идеальный импульс при нулевых начальных условиях. Переменная выхода определяется как интеграл свертки

 

 

т. е. в этом случае оператор преобразования имеет форму интегрального уравнения. Другая, часто употребляемая временная характеристика — переходная характеристика h ( t )—реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t) при нулевых начальных условиях. На рис. 2.1 приведен примерный вид временных характеристик для системы второго порядка.

 

Рис. 2.1. Временные характеристики: а — функция веса; б — переходная характеристика

 

Частотные характеристики

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на Гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота установившейся реакции совпадают с формой и частотой сигнала на входе. Комплексная частотная характеристика W ( j ) дает возможность определить амплитуду R( ) и фазу ( ) гармонического сигнала на выходе системы по значению частоты:

 

 

где R( )=modW(j ) и ( )=argW(j ) — амплитудная и фазовая частотные характеристики, а Р( )=ReW(j ) и Q( )= ImW(j ) — вещественная и мнимая частотные характеристики. На рис. 2.2 изображен пример годографа W ( j ), называемого амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Реальные объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы — ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг. Амплитудно-частотные характеристики удобно представлять в логарифмическом масштабе:

 

 

Если частота изменяется в логарифмическом масштабе, то логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) во многих практически важных случаях мало отличаются от прямолинейных асимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек. На рис. 2.3 приведен примерный вид асимптотической ЛАЧХ; пунктирная линия — точная ЛАЧХ. Там же указаны наклоны асимптот в дБ/дек.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Такие передаточные функции соответствуют меньшим по модулю фазовым сдвигам по сравнению с любыми другими передаточными функциями, имеющими ту же ЛАЧХ, но часть нулей и/или полюсов справа от мнимой оси. Для примера на рис. 2.4 изображены АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для двух передаточных функций:

 

Рис. 2.2. Пример АФХ  Рис. 2.3. Пример ЛАЧХ

 

 

Вторая из них имеет правый нуль; ее ЛФЧХ ₂ имеет большие значения, чем ЛФЧХ , минимально-фазовой передаточной функции W(j ). Для минимально-фазовых передаточных функций справедлива формула Боде (Н. W. Bode), позволяющая вычислять значения фазовой характеристики ( ) по крутизне ЛАЧХ L( ):

 

 

где  = lg ;  — поправочная функция, зависящая от L( ) на всем диапазоне частот. Если в окрестности рассматриваемого значения  ЛАЧХ L( ) мало отличается от асимптоты, т. е. нет резких изменений наклона, то  ~ 0. Например, если наклон ЛАЧХ близок к 20 дБ/дек, то значения фазовых сдвигов близки к π/2 рад.

 

Рис. 2.4. Примеры АФХ (а), ЛАЧХ и ЛФЧХ (б) минимально-фазовой и неминимально-фазовой передаточных функций.

 

2.1.5. Преобразование форм представления моделей вход-выход

Несмотря на то, что любая из форм представления операторов может быть принята за основу задания динамических свойств систем, для конкретных исследований та или иная форма оказывается более рациональной. Возникает необходимость перехода от одной формы к другой. Многие задачи анализа связаны с преобразованием формы представления оператора. В ряде случаев эта процедура составляет наиболее трудоемкий этап анализа — построение частной модели — приведение к форме, позволяющей непосредственно вычислить показатели качества и вывести суждение о соответствии поведения системы заданным требованиям (например, построение временных или частотных характеристик системы управления). Переходы между различными формами представления операторов удобно рассматривать как дуги орграфа, вершинам которого соответствуют формы представления, как это изображено на рис. 2.5.

Наиболее прост формальный переход путем замены оператора дифференцирования р=d / dt на комплексный аргумент s от дифференциального уравнения (2.2) к передаточной функции (2.3) и обратно. Осуществляя переход к передаточным функциям, следует избегать сокращения общих делителей полиномов числителей и знаменателей, т.е. диполей рациональных функций. Такое сокращение приводит к потере части собственных составляющих движения при ненулевых предначальных условиях (составляющих свободных движений).

 

Рис. 2.5. Орграф взаимосвязи форм представления операторов

 

ДУ — дифференциальное уравнение;

ЧХ — частотные характеристики;

ПФ — передаточная функция; ВХ — временные характеристики

Пунктирные линии графа взаимосвязи (см. рис. 2.5) отвечают переходам, рассматриваемым обычно в задачах идентификации. По временным и/или частотным характеристикам, полученным экспериментально, оценивают параметры передаточных функций или ординаты характеристик иного типа. Такие переходы оказываются неоднозначными, а их результаты зависят от выбора структуры оператора и алгоритма обработки данных.

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: