Внутренние усилия при изгибе

Внутренние усилия при изгибе

Определения. Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержней, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно оси стержня. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Рассматривают следующие виды изгиба.

 

Рис. 5.1. Плоский прямой изгиб	Рис. 5.2. Плоский косой изгиб	Рис. 5.3 Пространственный косой изгиб

Плоский прямой изгиб, при котором все нагрузки лежат в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей сечения (рис. 5.1). В дальнейшем, как показано на рисунке, ось х будет направляться вдоль оси балки, ось y – вниз, а ось z – направо, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали.

Плоский косой изгиб, когда все нагрузки лежат в одной плоскости, не проходящей через главные оси сечения (рис. 5.2).

Пространственный косой изгиб, при котором нагрузки лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через главные оси сечения (рис. 5.3).

 

Рис. 5.4. Внутренние усилия при плоском и пространственном косом изгибе	Рис. 5.5. Внутренние усилия при плоском прямом изгибе

При плоском и пространственном косом изгибе в поперечных сечениях балки возникают четыре внутренних усилия: два изгибающих момента и две поперечные силы (рис. 5.4).

Настоящая глава посвящена изучению плоского прямого изгиба. В этом случае в сечениях возникают только два усилия: и или и в зависимости от того, в какой плоскости приложены нагрузки. На рис. 5.5 показаны внутренние усилия для случая, когда нагрузки приложены в плоскости Оxy.

В последующем изложении будем рассматривать изгиб в плоскости Оxy и для упрощения записи обозначать , .

 

 

Замечания.

1). Знаки напряжений, вычисленных по формуле (5.12), зависят от знаков M_z и y (J > 0 всегда), например, при M_z > 0 и y > 0 на нижних волокнах (напомним, что ось y направлена вниз) получим s_н > 0, а при M_z < 0 и y> 0 окажется, что s_н < 0.

2). Знаки напряжений s в крайних волокнах, вычисленные по формулам (5.14) и (5.16), определяют по эпюре M – положительное нормальное напряжение соответствует тем волокнам, на которых построена эпюра M.

 

 

Пример 5.7.

Вариант 1.

Подберем сечение двутавровой балки, показанной на рис. 5.31, и построим эпюры и в опасном сечении, если 4 м; P = 48 кН; = 200 МПа. Примем коэффициенты запаса

Рис. 5.31. К примеру 5.7

 

Опасное сечение находится в середине балки. Наибольший расчетный изгибающий момент будет равен

 

.

 

Из сортамента находим двутавр № 24 по ГОСТ 8239-89 (рис. 5.32) со следующими геометрическими характеристиками: h = 24 см; b = 11,5 см; d = 0,56 см; t = 0,95 см; W_z= 289 см³; J_z = 3460 см⁴; S_1/2 = 163 см³.

Учитывая, что эпюра имеет линейный характер, для ее построения вычислим только напряжения в крайних волокнах

 

 

Полученное значение естественно, меньше Rg_с = 200 МПа, так как W_z больше требуемого значения 240 см³. На эпюре снизу отложены положительные напряжения, поскольку, как нетрудно видеть из рис. 5.18, в балке растягиваются нижние волокна.

В среднем сечении балки, где действует наибольший изгибающий момент, поперечная сила имеет скачок, поэтому построим эпюру слева от среднего сечения, где наибольшая расчетная поперечная сила .

Сечение с наибольшей поперечной силой будем называть опасным по касательным напряжениям.

Учитывая симметрию эпюры относительно оси z, рассмотрим только нижнюю часть сечения, определив напряжения на четырех уровнях.

Рис. 5.32. Эпюры s и t в двутавре (пример 5.7, вариант 1)

Уровень А ( ). На этом уровне, как показано выше, =0.

Уровень В ( ). При как бы соприкасаются два уровня: уровень В₁, относящийся к полке двутавра и имеющий ширину b, и уровень В₂, относящийся к стенке и имеющий ширину d . При этом для обоих уровней отсеченная часть одна и та же – полка двутавра, статический момент которой равен. Статический момент полки равен:

 

 

Вычислим на уровнях В₁ и В₂:

 

Уровень С (у = 0). При вычислении максимальных напряжений статический момент отсеченной части равен S_1/2 . Его называют статическим моментом половины сечения и его величина приводится в сортаменте в соответствующей колонке.

 

 

Сопоставляя эпюры и , обратим внимание на то, что значение значительно меньше, чем . Отношение максимальных нормального и касательного напряжений равно 8,2. Это, как правило, бывает в достаточно длинных балках.

Вариант 2.

Для сравнения приведем кратко расчет той же балки, изменив только одно исходное данное – длину балки, приняв ее равной м. Расчетный изгибающий момент будет равен

 

.

.

 

По сортаменту находим двутавр № 12 по ГОСТ 8239-89, у которого W_z= 58,4 см³ ; J_z = 350 см⁴; S_1/2 = 33,7см³; см; d = 0,48 см; см; 0,73 см. Ограничимся вычислением только максимальных напряжений, обратив существенное внимание на то, что при уменьшении в 4 раза величины изгибающего момента значение поперечной силы осталось тем же самым – кН.

 

В данном варианте , т.е. по сравнению с первым вариантом это отношение уменьшилось примерно в два с половиной раза. При дальнейшем уменьшении длины балки касательные напряжения будут еще более возрастать, что будет иметь существенное значение при оценке прочности балки.

 

Внутренние усилия при изгибе

Определения. Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержней, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно оси стержня. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Рассматривают следующие виды изгиба.

 

Рис. 5.1. Плоский прямой изгиб	Рис. 5.2. Плоский косой изгиб	Рис. 5.3 Пространственный косой изгиб

Плоский прямой изгиб, при котором все нагрузки лежат в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей сечения (рис. 5.1). В дальнейшем, как показано на рисунке, ось х будет направляться вдоль оси балки, ось y – вниз, а ось z – направо, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали.

Плоский косой изгиб, когда все нагрузки лежат в одной плоскости, не проходящей через главные оси сечения (рис. 5.2).

Пространственный косой изгиб, при котором нагрузки лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через главные оси сечения (рис. 5.3).

 

Рис. 5.4. Внутренние усилия при плоском и пространственном косом изгибе	Рис. 5.5. Внутренние усилия при плоском прямом изгибе

При плоском и пространственном косом изгибе в поперечных сечениях балки возникают четыре внутренних усилия: два изгибающих момента и две поперечные силы (рис. 5.4).

Настоящая глава посвящена изучению плоского прямого изгиба. В этом случае в сечениях возникают только два усилия: и или и в зависимости от того, в какой плоскости приложены нагрузки. На рис. 5.5 показаны внутренние усилия для случая, когда нагрузки приложены в плоскости Оxy.

В последующем изложении будем рассматривать изгиб в плоскости Оxy и для упрощения записи обозначать , .

 

 

1234567Следующая ⇒

Поделиться: