Дифференциальные зависимости при изгибе

Рассмотрим равновесие малого элемента, вырезанного из балки (рис. 5.8). При этом пренебрегаем изменением q по длине малого элемента.

 

Рис. 5.8. К выводу дифференциальных зависимостей при изгибе

 

1)

2)

 

Выполняя преобразования и пренебрегая бесконечно малой второго порядка dQ∙dx/2, получим две дифференциальных зависимости при изгибе

;

(5.2)

Исходя из свойств производной функции можно прийти к следствиям:

 

1) Если q = 0, Q = const, М – линейная функция.

2) Если q = const, Q – линейная функция, М – квадратная парабола.

3) Если q – линейная функция, Q – квадратная парабола, М – кубическая парабола.

4) Если Q = 0 в некоторой точке, на эпюре М будет экстремум в этой точке.

Дифференциальные зависимости (5.2) и следствия из них позволяют предугадать поведение функций Q(х) и М(х) на разных участках, а также проводить визуальную проверку правильности построенных графиков.

 

 

5.5. Построение эпюр Q и М в балках

Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 5.1. Построим эпюры и М для балки, показанной на рис. 5.9. Найдем опорные реакции, записывая суммы моментов относительно точек А и В. Правило знаков примем, как в теоретической механике, т.е. момент направленный против часовой стрелки будет положительным.

Выполним проверку реакций, записывая выражение суммы проекций на ось у. Силы, направленные по оси у (вниз) считаем положительными.

 

Реакции найдены правильно.

 

Можно было и без расчёта предположить, что в силу симметричности балки и нагрузки реакции должны быть одинаковыми, уравновешивая силу Р.

Рис. 5.10. К примеру 5.1.	Рис. 5.11. К примеру 5.2.

 

Горизонтальная реакция Н_А в шарнирно подвижной опоре (на рисунке не показана) равна нулю из уравнения суммы проекций сил на ось х.

 

 

Балка состоит из двух участков. Проведем сечение 1 на участке АС ( ) на произвольном расстоянии х₁ от опоры А и просуммируем силы и моменты, расположенные левее сечения.

Сумма проекций левых сил на перпендикуляр к оси в сечении 1 равна , направлена вверх и стремится повернуть прилегающую оставшуюся правую часть по часовой стрелке. Это означает, что поперечная сила положительная.

Постоянное положительное значение откладываем сверху (рис. 5.10), то есть изображаем прямоугольник. Поперечная сила постоянна по длине участка АС, что подтверждается первым следствием из (5.2).

Изгибающий момент в сечении 1 – это сумма моментов левых сил в сечении 1.

 

Положительный изгибающий момент растягивает нижние волокна и представлен линейной функцией. Задавая значения переменной х₁ равными 0 и l/2, получим на участке АС наклонную линию.

М_А = M (х₁ = 0) = 0;

.

Строим график этой функции, откладывая ее значение в сечении С вниз, со стороны растянутого волокна и соединяя найденную точку с нулем в сечении А.

Вычислим внутренние усилия в сечении 2–2 на втором участке СВ ( ), суммируя левые силы и моменты.

 

 

Эпюра на втором участке постоянна. Изгибающий момент на концах второго участка равен М (х₂ = l/2) = Pl/4, M (х₂ = l) = 0. В эпюре Q получим прямоугольник, а в эпюре М наклонную линию.

Для проверки вычислим М и Q, рассмотрев силы, действующие справа от сечения 2. Оставшейся будем считать часть балки левее сечения 2.

 

 

Поскольку сила R_В стремится повернуть прилежащий элемент против часовой стрелки, поперечная сила Q отрицательна, и результат совпадает. Эта реакция создает момент, приводящий к растяжению нижних волокон и принимающий на концах второго участка те же значения, что были вычислены выше.

Если балка состоит из большого количества участков, целесообразно строить эпюры по направлению слева и справа до ее середины. Таким образом, учитываются не все нагрузки, а их половина.

Можно заметно ускорить построение эпюр, зная их характер на участках балки. Если имеется постоянная эпюра, то достаточно найти значение функции в любом сечении участка, а затем изобразить прямоугольник. Если надо построить линейную функцию, то достаточно определить ее значение в двух характерных сечениях, отложить ординаты, а затем соединить прямой. При построении кубической или квадратной параболы придется определить значения функции не менее, чем в трех сечениях по длине, отложить значения, а затем соединить точки на графике плавной кривой.

Пример 5.2. На рис. 5.11 показана однопролетная балка, нагруженная постоянной распределенной нагрузкой q.

Найдем опорные реакции. Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна ql и приложена в середине балки.

Выполним проверку реакций, записывая выражение суммы проекций на ось у. Силы, направленные по оси у (вниз) считаем положительными.

 

Реакции найдены правильно.

 

Равенство реакций вытекает также из симметрии задачи, как и в предыдущем примере. Горизонтальная реакция Н_А равна нулю.

Вычислим внутренние усилия в произвольном сечении х от нагрузок, лежащих слева от данного сечения:

.

Из этих равенств следует, что Q(х) – линейная функция, а графиком М(х) является квадратная парабола.

Заметим, что в сечении Q = 0.

Из (5.2) можно заключить, что в этом сечении на эпюре М должен быть экстремум. Подставляя в выражение для М получим:

Указанная величина называется стрелкой параболы, обозначается латинской буквой f и ее следует запомнить, так как в последующем изложении она будет часто использоваться.

Эпюру поперечных сил Q можно было построить значительно проще, учитывая, что она имеет линейный характер. Выполняя сечение балки на бесконечно малую величину правее опоры А и суммируя левые силы найдем, что

 

(стремится повернуть правую часть по часовой стрелке).

 

Аналогично, проводя сечение чуть левее опоры В и суммируя правые силы, найдем:

 

(стремится повернуть левую часть по часовой стрелке).

 

Отложим ординаты и соединим их прямой линией.

Что касается эпюры изгибающих моментов M, то ее можно было бы построить, определяя значения в трех сечениях, так как он представляет собой параболу (график кривой можно построить по трем точкам). На левом конце балки в сечении А сумма моментов левых сил будет равна нулю, также, как и сумма моментов правых сил в сечении В. Осталось определить значение момента в середине балки.

Откладывая стрелку параболы вниз, строим график, соединяя три точки.

 

Пример 5.3. Построим эпюры Q и М для балки, нагруженной сосредоточенным моментом М в середине пролета (рис. 5.12).

Определим опорную реакцию R_А из уравнения , предполагая, что обе реакции направлены вверх.

.

Знак «минус» означает, что предполагаемое направление реакции вверх неверно. Зачеркнем вектор, направленный вверх и укажем истинное направление реакции вниз.

Запишем уравнение суммы проекций сил на ось у.

; ; .

Горизонтальная реакция Н_А равна нулю, так как горизонтальных нагрузок нет).

Найдем внутренние усилия на участке АС в сечении 1

;

.

В соответствии с правилами построения отложим эпюру Q ниже оси. Знак «минус» в выражении для момента указывает на то, что на первом участке растягиваются верхние волокна, в соответствии с чем, эпюра Мпостроена выше оси. При х₁=l/2 M₁=-M/2, а при х₁=0 M₁=0.

 

Рис. 5.12. К примеру 5.3.	Рис. 5.13. К примеру 5.4.

 

На втором участке СВ внутренние усилия вычислим, суммируя правые силы и моменты.

;

.

Эпюра Q представлена прямоугольником с ординатой -M/l.

Подставляя в функцию M₂ значения х₂=l/2 и х₂=l, получаем соответственно M₂=M/2 и M₂=0. Строим прямую линию, расположенную ниже базы эпюры.

Эпюры внутренних усилий можно построить значительно проще, так как на обоих участках отсутствует нагрузка. Поэтому эпюра Q = const. Достаточно в любом месте сделать сечение и просуммировать левые или правые силы

 

или .

 

На правом и левом концах балки изгибающие моменты нулевые. Чтобы определить скачек функции М в середине балки рассечем балку немного левее сечения С и вычислим сумму моментов левых сил. Сосредоточенный момент М в равенство не входит, так как остается справа.

.

Аналогично, выполнив сечение немного правее точки С, суммируем моменты сил, расположенных справа. Обратим внимание, что и в данном случае сосредоточенный момент М в расчете не учитывается, так как он относится к системе левых сил.

.

При расчете изгибающих моментов левее и правее точки С пренебрегаем бесконечно малыми величинами.

 

Пример 5.4. Построим эпюры Q и М для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой (рис. 5.13).

 

Определим опорную реакцию R_А

Определим реактивный момент M_А.

.

Горизонтальная реакция Н_А равна нулю, так как горизонтальных сил нет.

 

В произвольном сечении х имеем:

;

.

Подставляя в выражения для поперечной силы значения х = 0 и х = l, строим линейный график Q в виде треугольника.

Для построения эпюры изгибающих моментов необходимо на кривой определить три точки. Подставим в М(х) х = 0, х = l/2 и х = l cтроим параболу

Указанные две эпюры можно было построить гораздо проще. Для этого даже не надо находить опорные реакции, если рассматривать только правые силы.

Эпюру Q строим, находя значения силы в двух сечениях, одно из которых находится на правом конце С, а другое расположено немного правее сечения А.

Эпюра моментов строится по трем точкам

Особенности эпюр внутренних усилий. На основании рассмотренных примеров отметим основные особенности эпюр Q и М, которые позволяют проверить правильность их построения и могут быть названыправилами контроля эпюр. В этих правилах используются также закономерности, вытекающие из выведенных дифференциальных зависимостей и основанные на известных свойствах функций и их производных.

 

Правило 1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), Q = const, а М – линейная функция.

 

Правило 2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q имеется скачок на величину этой силы в направлении этой силы (при движении слева направо). На эпюре Q (рис. 5.10) в т. А скачок вверх на P/2, в середине балки скачок вниз на P и в точке В снова скачок вверх на P/2.

 

Правило 3. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре М излом в сторону силы. Это правило можно условно назвать «правилом струны» − сила как бы «натягивает» эпюру М, как струну. На рис. 5.10 такой излом имеет место в сечении С на эпюре М.

 

Правило 4. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q – линейная функция, а эпюра М – квадратная парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия q. Вторую часть этого правила можно условно назвать «правилом ветра», в котором подразумевается, что если рассматривать q как ветер, то эпюра М «надувается», как парус.

Правило 5. В сечении, где Q = 0, на эпюре М имеется экстремум (следствие из зависимостей (5.2)).

Правило 6. В сечении, где приложен сосредоточенный момент M, на эпюре М имеется скачок на величину M. Заметим, что действие сосредоточенного момента на эпюре Q не отражается.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: