Расчеты на прочность при изгибе

При чистом изгибе напряженное состояние в любой точке балки является одноосным, в балке действуют только напряжения (обозначаемые нами ), поэтому для расчетов на прочность можно использовать неравенство

 

(5.17)

 

где s_о – опасное напряжение. Напомним, что в качестве опасного напряжения для хрупких материалов выбирают предел прочности, а для пластичных – предел текучести.

Применительно к расчету стальных конструкций по первой группе предельных состояний (СП 16.13330.2011) условие прочности записывается следующим образом

 

(5.18)

где:

M – расчетный изгибающий момент в опасном сечении в одной из главных плоскостей;

W_n,min – минимальный момент сопротивления сечения;

R_y – расчетное сопротивление по пределу текучести, которое принимается равным R_y = R_yn/g_m (R_yn – нормативное сопротивление, равное пределу текучести s_т; g_m ≥1 – коэффициент надежности по материалу);

g_с – коэффициент условий работы.

 

Аналогичная формула приводится для расчета алюминиевых конструкций (СП 128.13330.2012)

 

(5.19)

 

Разница состоит в обозначении расчетного сопротивления, а также в том, что в качестве нормативного сопротивления R выбирается условный предел текучести s_0,2.

Для расчета деревянных конструкций на изгиб (СП 64.13330.2011) используется формула

 

(5.20)

 

Отличие с предыдущими формулами состоит в определении расчетного сопротивления при изгибе R_и и отсутствии единого коэффициента условий работы g_с. В строительных нормах приводятся расчетные сопротивления изгибу сосны, ели и лиственницы влажностью 12% для нормального уровня ответственности для различных классов древесины. Для древесины других пород, а также для различных условий эксплуатации следует умножить R_и на переходной коэффициент к другим видам древесины, и еще, на несколько коэффициентов условий работы.

Выражения (5.18) и (5.19) лишены физического смысла. Обозначая расчетное сопротивление R, а момент сопротивления W, запишем их в виде

 

(5.21)

 

В левой части неравенства теперь имеем максимальное нормальное напряжение на крайнем волокне, а в правой части произведение двух величин Rg_с, которое не должно быть превышено. Назовем его предельным нормальным напряжением. Естественно, что оно будет меньше опасного напряжения, если учесть коэффициенты запаса g_с ≤ 1 и g_m ≥ 1.

Если речь идет о применении строительных норм, то в условии прочности в качестве изгибающего момента используют наибольший расчетный изгибающий момент, который берется с расчетной эпюры изгибающих моментов, которая строится от расчетных нагрузок, полученных умножением нормативных нагрузок на коэффициенты надежности по нагрузкам g_f и коэффициенты надежности по ответственности g_n.

Сечение с наибольшим изгибающим моментом называют опасным сечением.

Формула (5.21) применяется в случае, когда: а) сечение имеет горизонтальную ось симметрии и б) расчетные сопротивления на растяжение (R_р) и сжатие (R_с) одинаковы. Если одно из этих условий не выполнено, то расчет следует проводить с использованием следующих формул.

 

Для симметричных относительно оси z сечений:

 

; .

(5.22)

 

Для несимметричных относительно оси z сечений.

 

;

(5.23)

 

В формуле (5.23) следует использовать значения W_н и W_в в соответствии со здравым смыслом, т.е. учитывая, какие волокна в балке растягиваются, а какие сжимаются.

На основании полученных формул можно решать четыре типа задач:

 

1) Определять предельные нагрузки, если известны размеры сечения и расчетное сопротивление материала.

2) Подбирать сечение при заданных нагрузках и прочностных свойствах материала.

3) Подбирать материал с соответствующими прочностными свойствами, если заданы нагрузки и размеры сечения.

4) Проверять прочность элемента конструкции.

 

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5.5. Определим предельно допустимую расчетную нагрузку на балку (рис. 5.21) из стального двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, если l = 2 м; R = 240 МПа. Примем коэффициенты .

Наибольший расчетный изгибающий момент

будет в заделке.

Условие прочности запишем в виде:

;

.

Из сортамента для двутавра №24 находим см³. Таким образом, предельная нагрузка может быть определена из неравенства

Рис. 5.21. К примеру 5.5

Пример 5.6. Подберем размеры сечения в виде квадратной трубы с круглым отверстием (рис. 5.22) для балки, изображенной на рис. 5.15, если м; 10 кН; расчетные сопротивления материала при растяжении и сжатии: МПа; МПа. Примем коэффициенты запаса .

Рис. 5.22. К примеру 5.6

Поскольку , а сечение симметрично относительно оси z то подбирать сечение необходимо из неравенства (5.22).

.

Вычислим максимальный расчетный момент, используя результаты построения эпюры изгибающих моментов, приведенной на рис. 5.15:

.

Подставляя полученное выражение, получим неравенство для определения :

.

Выведем выражение для и учитывая, что .

.

В данном случае , и для находим

.

Подставляя полученное значение в (5.22) и извлекая кубический корень, получим

Обратим внимание на то, что в выражении для стоит знак «меньше – равно», поскольку при увеличении момент инерции уменьшается, следовательно, уменьшается и W.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: