Главные напряжения при изгибе

При плоском прямом изгибе в балке имеет место частный случай двухосного напряженного состояния, при котором на гранях элементов действуют напряжения и , а . Таким образом, из формулы для главных напряжений при двухосном напряженном состоянии получим более простое выражение, опустив также индексы у напряжений и :

 

.

(5.30)

 

Используя результаты, полученные в варианте 2 примера 5.7, построим эпюры главных напряжений в двутавре №12, принимая во внимание симметрию эпюры и косую симметрию эпюры

 

Уровень А ( ). МПа; = 0.

МПа; .

 

Уровень В ( ). Предварительно вычислим нормальные и касательные напряжения на уровнях В₁ и В₂.

 

;

Уровень С ( у = 0).

 

Рис. 5.33. Эпюры нормальных, касательных и главных напряжений в

двутавре (вариант 2 примера 5.3) с указанием их направлений

 

На основании полученных результатов на рис. 5.33 построены эпюры нормальных и касательных напряжений, а также главных напряжений и . Обратим внимание на то, что на уровне В₁ главное напряжение практически совпадает с нормальным напряжением , а Это связано с тем, что на уровне В₁ касательные напряжения очень малы, и их вклад в незначителен. Особый интерес представляет уровень В₂, где нормальные и касательные напряжения близки к своим максимальным значениям и . По этой причине уровень В₂ может быть опасен в смысле прочности. При наличии большой поперечной силы и небольшого изгибающего момента (по которому подбирается сечение) может не выполниться условие проверки (s₁ – s₂) £ Rg_с по третьей теории прочности, а главные напряжения на этом уровне могут даже превышать величину (соответственно в сжатой части стержня то же самое относится к напряжениям ). Таким образом, при расчете балок, сечение которых представляет собой двутавр или швеллер, следует делать проверку прочности в стенке сечения вблизи ее перехода в полку.

На рис. 5.33 для варианта 2 в рассматриваемом сечении представлены некоторые малые элементы на разных уровнях по высоте с изображением нормальных, касательных и главных напряжений. Направления главных напряжений можно определить по формулам для обобщённого плоского напряженного состояния, которые с учетом принимают вид:

 

; .

(5.31)

 

Так, например, на уровне А , , , и для главных направлений получим ( ), 0/0 – неопределенность, но учитывая, что главные направления взаимно перпендикулярны, следует положить . На уровне С , , откуда следует и , и .

Замечания. Так как ось y в теории изгиба балок направлена вниз, а ось x вправо (рис. 5.33), то: 1) положительные углы наклона главных напряжений, вычисленные по формулам (5.31), следует откладывать по часовой стрелке; 2) направление положительных касательных напряжений t на вертикальных площадках малого элемента будет таким, что они стремятся повернуть его по часовой стрелке, что соответствует положительному направлению поперечной силы Q (направление касательных напряжений на горизонтальных площадках определяется в соответствии с законом парности касательных напряжений).

Рис. 5.34. Траектории главных напряжений.

 

Определение главных направлений в различных сечениях балки позволяет построить траектории главных напряжений. На рис. 5.34 показаны траектории главных напряжений (сплошные линии соответствуют растягивающим напряжениям , а пунктирные – сжимающим напряжениям ) для консольной балки, нагруженной на торце сосредоточенной силой. При проектировании железобетонных балок траектории главных напряжений в растянутой зоне показывают, где и как следует расположить стальную арматуру.