Напряжения при поперечном изгибе

Изгиб называется поперечным, если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами действуют поперечные силы (рис. 5.23, а). В этом случае в сечениях возникают, как нормальные σ_х, так и касательные напряжения τ_ху (рис. 5.23, б). Кроме того, при поперечном изгибе возникают также нормальные напряжения σ_у, что нетрудно понять, рассмотрев продольный слой балки, находящийся под распределенной нагрузкой (рис. 5.23, в). Таким образом, при поперечном изгибе имеет место двухосное напряженное состояние (рис. 5.24).

Рис. 5.23. Внутренние усилия и напряжения при поперечном изгибе

Рис. 5.24. Двухосное напряженное состояние при поперечном изгибе

 

Как показывают исследования, при изгибе балок s_y << s_x, т.е. в рассматриваемом случае, пренебрегая напряжениями s_y, будем иметь частный случай двухосного напряженного состояния (рис. 5.24). Кроме того, наличие поперечных сил в балке, и соответственно, касательных напряжений практически не сказывается на распределении нормальных напряжений в сечении, т.е. и при поперечном изгибе для напряжений σ_х справедлива формула (5.10):

 

(5.24)

 

Раньше было выведено интегральное соотношение, связывающее поперечную силу с напряжениями τ_ху:

 

(5.25)

 

Данное равенство не позволяет установить характер распределения касательных напряжений по сечению. При выводе формулы для τ_ху примем, что эти напряжения не меняются по ширине сечения, т.е. они не зависят от z. Таким образом, τ_ху = τ_ху(х, у). Зависимость τ_ху(х) обусловлена изменением что видно из эпюр . Установим закон изменения τ_ху(у) в сечении.

Напомним, что по закону парности касательных напряжений . Будем искать напряжения , действующие именно на горизонтальных площадках. Для этого рассмотрим часть элемента длиной dx, отсекаемую горизонтальной плоскостью, расположенной на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 5.25, а).

Рис. 5.25. К выводу формулы для t_xy

 

Обозначим часть площади сечения, отсекаемую этой плоскостью, На этой площади в левом сечении действуют напряжения , а в правом (рис. 5.25, а). Эти напряжения создают на торцах вырезанного элемента соответственно продольные силы и (рис. 5.25, б):

 

; .

(5.26)

 

Составляя уравнение равновесия для отсеченной части, заметим, что разность между усилиями (5.26), которая составляет

 

 

уравновешивается касательными напряжениями , направленными в противоположную сторону. Полагая, что на бесконечно малом отрезке dx постоянны, получим величину равнодействующей этих напряжений:

 

,

 

где – в общем случае переменная ширина сечения.

Таким образом, уравнение запишем в виде

 

; ,

откуда следует

 

(5.27)

 

Используя выражение (5.24) для , из (5.27) получим

 

(5.28)

 

Учитывая, что интеграл, входящий в левую часть (5.28), есть статический момент отсеченной части , преобразуем формулу к виду

 

 

Заменяя в этом равенстве на , приходим к окончательному выражению для

 

.

(5.29)

 

Это соотношение называется формулой Журавского, по имени русского профессора Д.И. Журавского (1821-1891), опубликовавшего ее в 1855 г. Как показывают расчеты, в достаточно длинных балках касательные напряжения существенно меньше нормальных напряжений. Именно этот факт и позволяет проводить расчеты на прочность по нормальным напряжениям, что и было сделано в предыдущем разделе. Однако при расчете коротких балок необходимо учитывать касательные напряжения.

Рис. 5.26. К определению

 

Поперечная сила определяется по соответствующей эпюре. Момент инерции сечения вычисляется известным методом или берется из сортамента. Ширина сечения легко определяется на любом уровне сечения – у. Относительно сложным в формуле является лишь один сомножитель – . Напомним применительно к рассматриваемому вопросу, как вычисляются статические моменты (рис. 5.26, а). Рассмотрим уровень, отстоящий от оси z на расстояние y. Этот уровень отсекает часть сечения, площадь которого равна . Статический момент этой площади относительно оси z равен

,

где y_С ^отс – координата центра тяжести отсеченной площади.

Если необходимо определить статический момент отсеченной части для уровня, лежащего выше центра тяжести (рис. 5.26.б), можно действовать, как обычно, то есть определить площадь нижней отсеченной части A^отс, а затем умножить ее на координату центра тяжести y_С^отс нижней части. Однако, мы получим тот же самый результат, если считать отсеченной верхнюю часть и умножить ее площадь на расстояние от оси z до центра тяжести верхней отсеченной части. Результаты будут одинаковыми, если не учитывать знак y_С^отс. Это следует из равенства нулю статического момента относительно центральной оси z (S_z = S_z^{отс (в)} + S_z^{отс (н)} = 0). Статический момент отсеченной части сечения, входящий в формулу, следует брать всегда со знаком «плюс». Таким образом, знак касательного напряжения зависит только от знака поперечной силы Q.

Рассмотрим характер распределения касательных напряжений в некоторых сечениях.

Прямоугольник. Построим эпюру касательных напряжений в прямоугольном сечении (рис. 5.27). Значения и в данном случае равны

.

Таким образом, переменной величиной, зависящей от у, будет только .

Рис. 5.27. Эпюра τ в прямоугольном сечении

 

Рассмотрим площадь, отсекаемую на уровне у. Площадь отсеченного прямоугольника равна

.

Расстояние от оси z до центра тяжести отсеченной части вычислим как среднюю величину между расстояниями до верхней (у) и нижней (h/2) сторон отсеченного прямоугольника:

Таким образом, статический момент отсеченной площади равен

 

.

Подставляя , и в (5.29), получим окончательное выражение для = =

 

.

 

Полученная функция представляет собой квадратную параболу, которая изображена на рис. 5.27. Заметим, что при что соответствует закону парности касательных напряжений поскольку на верхней и нижней поверхностях балки отсутствуют сдвиговые усилия и, следовательно, (рис. 5.28).

Рис. 5.28. Вблизи краев сечения τ= 0

 

Касательные напряжения достигают максимума на нейтральной оси (у = 0), где они равны

 

 

где – среднее касательное напряжение в сечении.

Двутавр. Рассмотрим условный двутавр – сечение, состоящее из прямоугольников (рис. 5.29). Как было показано, на участках постоянной ширины эпюра изменяется по закону квадратной параболы. Основной особенностью эпюры является скачок в зоне перехода из стенки в полку, поскольку на двух практически соприкасающихся уровнях В₁ и В₂ ширина сечения меняется скачком, а (отсеченной площадью является полка двутавра) не меняется.

Максимальные напряжения при у = 0 вычисляются по формуле

 

,

где – статический момент половины сечения, а d – толщина стенки двутавра. Эти геометрические характеристики, а также для двутавра даются в сортаменте.

Рис. 5.29. Эпюра касательных напряжений в двутавровом сечении

 

Эпюра , приведенная на рис. 5.29, определяет вертикальные напряжения . При этом те части эпюры, которые относятся к полкам двутавра, справедливы лишь в средних частях полок, являющихся продолжением стенки (рис. 5.30, а). В остальных частях полок действуют касательные напряжения , а практически равны нулю. Последний факт объясняется равенством нулю этих напряжений вблизи верхней и нижней граней полок, что следует из закона парности касательных напряжений (рис. 5.30, б).

Рис. 5.30. Распределение касательных напряжений в двутавровом сечении

 

Величина максимальных напряжений меньше, чем , поэтому в расчетах на прочность напряжения не учитываются.

Пример 5.7.

Вариант 1.

Подберем сечение двутавровой балки, показанной на рис. 5.31, и построим эпюры и в опасном сечении, если 4 м; P = 48 кН; = 200 МПа. Примем коэффициенты запаса

Рис. 5.31. К примеру 5.7

 

Опасное сечение находится в середине балки. Наибольший расчетный изгибающий момент будет равен

 

.

 

Из сортамента находим двутавр № 24 по ГОСТ 8239-89 (рис. 5.32) со следующими геометрическими характеристиками: h = 24 см; b = 11,5 см; d = 0,56 см; t = 0,95 см; W_z= 289 см³; J_z = 3460 см⁴; S_1/2 = 163 см³.

Учитывая, что эпюра имеет линейный характер, для ее построения вычислим только напряжения в крайних волокнах

 

 

Полученное значение естественно, меньше Rg_с = 200 МПа, так как W_z больше требуемого значения 240 см³. На эпюре снизу отложены положительные напряжения, поскольку, как нетрудно видеть из рис. 5.18, в балке растягиваются нижние волокна.

В среднем сечении балки, где действует наибольший изгибающий момент, поперечная сила имеет скачок, поэтому построим эпюру слева от среднего сечения, где наибольшая расчетная поперечная сила .

Сечение с наибольшей поперечной силой будем называть опасным по касательным напряжениям.

Учитывая симметрию эпюры относительно оси z, рассмотрим только нижнюю часть сечения, определив напряжения на четырех уровнях.

Рис. 5.32. Эпюры s и t в двутавре (пример 5.7, вариант 1)

Уровень А ( ). На этом уровне, как показано выше, =0.

Уровень В ( ). При как бы соприкасаются два уровня: уровень В₁, относящийся к полке двутавра и имеющий ширину b, и уровень В₂, относящийся к стенке и имеющий ширину d . При этом для обоих уровней отсеченная часть одна и та же – полка двутавра, статический момент которой равен. Статический момент полки равен:

 

 

Вычислим на уровнях В₁ и В₂:

 

Уровень С (у = 0). При вычислении максимальных напряжений статический момент отсеченной части равен S_1/2 . Его называют статическим моментом половины сечения и его величина приводится в сортаменте в соответствующей колонке.

 

 

Сопоставляя эпюры и , обратим внимание на то, что значение значительно меньше, чем . Отношение максимальных нормального и касательного напряжений равно 8,2. Это, как правило, бывает в достаточно длинных балках.

Вариант 2.

Для сравнения приведем кратко расчет той же балки, изменив только одно исходное данное – длину балки, приняв ее равной м. Расчетный изгибающий момент будет равен

 

.

.

 

По сортаменту находим двутавр № 12 по ГОСТ 8239-89, у которого W_z= 58,4 см³ ; J_z = 350 см⁴; S_1/2 = 33,7см³; см; d = 0,48 см; см; 0,73 см. Ограничимся вычислением только максимальных напряжений, обратив существенное внимание на то, что при уменьшении в 4 раза величины изгибающего момента значение поперечной силы осталось тем же самым – кН.

 

В данном варианте , т.е. по сравнению с первым вариантом это отношение уменьшилось примерно в два с половиной раза. При дальнейшем уменьшении длины балки касательные напряжения будут еще более возрастать, что будет иметь существенное значение при оценке прочности балки.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: