Нормальные напряжения при чистом изгибе

Изгиб называется чистым, если в поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие – изгибающий момент М, а поперечная сила Q равна нулю. Из условия Q = 0 в соответствии с (5.2) следует, что в балке (или на отдельном участке) M = const. На рис. 5.14 показаны два примера чистого изгиба. В первом случае (рис. 5.14, а) вся балка находится в условиях чистого изгиба, а во втором (рис. 5.14, б) – только ее средний участок.

Рис. 5.14. Примеры чистого изгиба

Ранее было приведено соотношение, связывающее изгибающий момент с нормальными напряжениями :

 

(5.3)

 

Однако это интегральное равенство не позволяет установить закон изменения напряжений по сечению. Для вывода этого закона необходимо рассмотреть деформации в балке при изгибе и ввести некоторые гипотезы.

 

Гипотеза 1 – гипотеза плоских сечений . Эта гипотеза приведена ранее и была использована при выводе формулы для нормальных напряжений при растяжении (сжатии) стержней. Напомним содержание данной гипотезы применительно к задаче плоского изгиба.

Сечения, плоские и перпендикулярные оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации, поворачиваясь друг относительно друга на некоторый угол j (рис. 5.15).

Рис. 5.15. К гипотезе плоских сечений

 

Гипотеза 2 . При изгибе продольные волокна не давят одно на другое. В соответствии с этой гипотезой на гранях элементарного параллелепипеда напряжения s_y = s_z = 0 (рис. 5.16, а), и элемент, вырезанный из стержня, находится в условиях одноосного напряженного состояния (касательные напряжения также равны нулю из-за отсутствия в сечениях поперечных сил Q).

Рис. 5.16. Напряженное состояние при чистом изгибе

 

Учитывая сказанное, можно заключить, что для единственного отличного от нуля нормального напряжения s_x = s (рис. 5.16, б) при чистом изгибе справедлив закон Гука, в котором для упрощения опущены индексы напряжений и деформаций.

 

(5.4)

 

Гипотеза 3. Напряжения s не изменяются по ширине сечения (рис. 5.16,в). Из этой гипотезы следует, что .

Прежде чем перейти к рассмотрению деформаций в балке, введем еще одно понятие – нейтральный слой – это слой, длина которого в процессе изгиба не изменяется (рис. 5.17).

Это понятие достаточно очевидное. Поскольку волокна с одной стороны балки растягиваются, а с другой – сжимаются, где-то в средней части балки должен быть слой, в котором линейные деформации равны нулю.

Пересечение нейтрального слоя с сечением называется нейтральной осью сечения или нулевой линией. На рис. 5.17 ось х лежит в нейтральном слое, в то время как ранее эта ось совпадала с осью балки – линией, проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Ниже будет показано, что действительно, нейтральный слой проходит через ось х, и, следовательно, нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести С.

Рис. 5.17. Нейтральный слой и нейтральная ось сечения в балке при изгибе

 

Для определения линейных деформаций ε рассмотрим деформированное состояние элемента длиной dx, вырезанного из балки (рис. 5.18, а), где пунктиром обозначен нейтральный слой.

Рис. 5.18. К вычислению линейных деформаций в балке при изгибе

 

Вычислим деформацию произвольного слоя, отстоящего от оси х на расстояние у. Из рис. 5.18,б следует, что поскольку длина нейтрального слоя не изменяется, то длина дуги равна где – радиус кривизны. При этом длина произвольного слоя будет . Согласно определению, линейная деформация ε будет равна:

 

(5.5)

 

Из полученной формулы следует, что деформации ε изменяются по высоте балки по линейному закону, и при у=0 , что и должно соответствовать нейтральному слою. При этом следует отметить, что радиус кривизны пока не определен.

Подставив (5.4) в (5.5), получим формулу для напряжений:

 

(5.6)

 

Теперь можно показать, что нейтральная ось сечения действительно проходит через его центр тяжести. Для этого воспользуемся условием, что продольная сила N в сечении равна нулю:

 

.

(5.7)

 

Входящий в последнее равенство интеграл является статическим моментом сечения Из условия следует, что ось z является центральной осью сечения.

Для окончания вывода формулы для σ подставим (5.6) в (5.3)

 

.

(5.8)

 

Учитывая, что , получим:

или .

(5.9)

 

Подставляя последнее равенство в (5.6), приходим к окончательной формуле для нормальных напряжений

 

.

(5.10)

 

На рис. 5.19 показаны характер распределения нормальных напряжений при изгибе и эпюра нормальных напряжений σ для сечения, имеющего две оси симметрии.

Рис. 5.19. Распределение нормальных напряжений при изгибе

 

Максимальные напряжения в этом случае будут возникать в крайних верхних и нижних волокнах при y_в = y_н = y_max, при этом они одинаковы по абсолютной величине и равны

 

.

(5.11)

 

Здесь – изгибающий момент, определяемый по эпюре моментов, а – наибольшее расстояние от нейтральной оси до крайних волокон. Если высоту сечения обозначить h, то = h/2.

В рассматриваемом в данной главе случае плоского поперечного изгиба в плоскости Оху в сечении имеются только два внутренних усилия – и , а в случае чистого изгиба только одно – Поэтому для упрощения записи опустим индексы у изгибающего момента и поперечной силы, обозначая их соответственно и Q. При этом в расчетах будет использоваться только осевой момент инерции , у которого также можно опустить индекс, обозначая этот момент инерции Таким образом, формула (5.11) примет вид

 

.

(5.12)

 

Ранее было введено понятие момента сопротивления сечения W= W_z. В данном случае эта величина будет равна

 

.

(5.13)

 

С учетом этого обозначения формула (6.13) может быть записана в виде

 

.

(5.14)

 

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то максимальные растягивающие и сжимающие напряжения будут отличаться по абсолютной величине (рис. 5.20). В этом случае вводятся два момента сопротивления сечения, для нижних и верхних волокон:

Рис. 5.20. Эпюра σ в сечении с одной осью симметрии

 

; .

(5.15)

 

где, у_н и у_в – расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных нижних и верхних волокон.

Напряжения в крайних волокнах будут равны

 

;

(5.16)

 

Замечания.

1). Знаки напряжений, вычисленных по формуле (5.12), зависят от знаков M_z и y (J > 0 всегда), например, при M_z > 0 и y > 0 на нижних волокнах (напомним, что ось y направлена вниз) получим s_н > 0, а при M_z < 0 и y> 0 окажется, что s_н < 0.

2). Знаки напряжений s в крайних волокнах, вычисленные по формулам (5.14) и (5.16), определяют по эпюре M – положительное нормальное напряжение соответствует тем волокнам, на которых построена эпюра M.

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: