Уравнения равновесия сил, произвольно расположенных

 в пространстве

 

Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю:

 

      

 

    Условию равновесия в векторной форме соответствуют шесть уравнений равновесия:

                                                           (а)

 

Первые три уравнения (а) называются уравнениями моментов сил от­носительно осей координат, а последние — уравнениями проекций сил на оси. 

Для равновесия параллельной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю:

 

; .

 

    Условиям равновесия в векторной форме для параллельной системы сил соответствуют три уравнения равновесия:

 

                  

 

Задача 1.16. На рис. 1.94 изображен коленчатый вал двигателя. При вертикальном положении средней плоскости колена давление шатуна на сере­дину шейки вала составляет Р = 12 кН и направлено в плоскости, перпенди­кулярной оси вала, под углом 15° к горизонтали.

На оси вала в точке С закреплен маховик весом G = 12 кН. В точке E укреплен шкив диаметром D = 80 см с ремнем, передающим момент на вал рабочей машины. Ветви ремня лежат в плоскости шкива и составляют с го­ризонталью угол, равный 30°. Отношение натяжения ведущей и ведомой ветвей T/t = 2.

Расстояние от оси шейки колена до оси вала r = 15 см. Расстояния по

оси вала указаны на рис. 1.94 в сантиметрах. Определить натяжения ветвей ремня T и t  реакции подшипников А и В при равномерном вращении вала и при заданном его положении. (Весом шкива и вала можно пренебречь).

 

                   

                 Рис. 1.94                                              Рис. 1.95

 

Решение. Объект равновесия – коленчатый вал, т.е. балка АЕ с ломаной осью. Показываем задаваемые силы: вес маховика , давление шатуна на шейку вала  и реакции ветвей ремня  и , направленные по касательной к окружности обода шкива. Отбрасывая связи (подшипника), прикладываем к валу их реакции, разложенные на составляющие  (рис. 1.95).

Начало координат помещаем в точку А, ось х направляем по оси вала перпендикулярно плоскости чертежа, оси y, z – перпендикулярно к оси х (лежат в плоскости чертежа).

    Для произвольной пространственной системы сил необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю главного вектора и главного момента:

.

 

Выбрав оси координат, как показано на рис. 1.96, составляем уравнения равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве. Вал имеет две точки опоры А и В; первым составляем уравнение моментов относительно оси х, проходящей через эти точки.

 

1. .

                       

                  Рис. 1.96                                              Рис. 1.97

 

Так как , то модули сил t и Т можно определить так:

 

,

откуда

кН;    

кН.

 

Затем составляем следующие уравнения моментов по рис. 1.97. При вычислении моментов сил ,  и  относительно оси у проецируем каждую из этих сил на плоскость, проходящую через точку приложения силы перпен­дикулярно оси  у.

Полученные проекции  параллельны оси z.

2.

 

,

 

Откуда

 

Аналогично при составлении уравнения  находим проекции сил ,  и   на плоскости, перпендикулярные оси z. Эти проекции параллельны оси у и соответственно имеют абсолютные величины .

 

3. :

 

.

 

Определяем :

 

 

Составляем уравнения проекций на оси у и z  (все действующие силы, перпендикулярные оси х, и уравнение  преобразуются в тождество 0 = 0).

 

4. .

 

Находим :

 

.

 

5. .

 

Определяем :

 

 

 

Глава 10. Центр тяжести

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: