Глава 1. Скорости точки при различных способах

задания движения

 

1.1. Естественный способ задания движения точки, определение

Скорости точки

 

Естественный способ задания движения точки применяется  в случае, когда траектория точ­ки заранее известна (движение транспортных средств по рельсовому пути, автомобильным дорогам).

Линия, представляющая собой геометрическое место последователь­ных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета, называется траекторией (рис. 2.1).

    Траектория движения транспортных средств – дороги – характеризуются допустимой кривизной и наибольшим уклоном. Для железных дорог рекомендуются радиусы кривизны 400–4000 м, допустимые радиусы кривизны в трудных условиях 300–2000 м, наибольший уклон профиля 1, 5–2, 5 градуса. Для автомобильных дорог наименьший радиус кривизны может находится в пределах 250 – 260 м, а наибольший уклон – 4–5 градусов.

М

М0

 

 

Рис. 2.1

 

Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = s. При движении точки М расстояние s от этой точки до неподвиж­ной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата s является функцией времени:

 

.

Эта функция однозначна (точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение), непрерывна (точка не может перейти из одного положения в другое, минуя промежуточное), дважды дифференцируема и называется уравнением движения.

Таким образом, движение точки определено, если известны следую­щие элементы: траектория точки, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения . Дуговая координата не всегда совпадает с длиной пути, пройденным движущейся точкой. Дуговая координата s точки М в некоторый момент времени t может быть равна пути, пройденному точкой за промежуток времени [0, t] только в том случае, если движение точки начинается из точки О (начала отсчета дуговой координаты) и совершается в положительном направлении.

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является скорость. Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Размерность скорости , т.е. единицы длина/время. В качестве единиц измерения принимают обычно м/с или км/ч.

    Модуль скорости равен абсолютному значению производной от ду­говой координаты точки по времени.

 

.

 

Производная  определяет алгебраическое значение скорости, знак этой производной указывает, в какую сторону по касательной к траектории (в направлении возрастания или убывания дуговой координаты s) направлен вектор скорости .

 

1.2. Векторный способ задания движения, определение скорости

Точки

 

Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора, проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М  (рис.  2.2). Для определения движения точки должна быть задана вектор-функция аргумента t  

     

                                                        .

 

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени (рис. 2.3) определяется радиусом-вектором.   Вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времени.  

 

                                              .

  

             

                    Рис. 2.2                                            Рис. 2.3    

                                             

     Вектор скорости точки  направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис.  2.4).

 

 

Рис. 2.4

 

 

1.3. Координатный способ задания движения точки, определение

Скорости точки

Положение точки М в системе отсчета Оху z определяется тремя декартовыми координатами точки х, у, z (рис. 2.5). При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты х, у, z движущейся точки М являются функциями времени t:

 

.

 

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декарто­вых координатах.

Рис. 2.5

 

Движение точки М в одной плоскости определяется двумя урав­нениями движения (рис. 2.6, а):

                 .

 

        а)                                                    б)

     

Рис. 2.6

 

Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения (рис. 2.6, б)

.

 

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки, а время – как независимый переменный параметр. При исключении параметра t из уравнений движе­ния получаются уравнения траектории точки в координатной форме. Пусть уравнения движения точки М имеют вид

 

 

Решив первое уравнение относительно t, получим

Подставив полученное для t выражение в два других уравнения, найдем уравнения траектории точки в координатной форме:

 

 

Два уравнения с тремя координатами определяют линию в пространстве, т.е. траекторию точки. Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями

 

Исключив параметр t, получим уравнение траектории точки в коор­динатной форме:

 

 

Помимо декартовых координат для определения положения точки на плоскости и в пространстве применяют и другие системы коор­динат (полярные, цилиндрические, сферические и др.).

Определим модуль и направление скорости точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах (рис. 2.7).

 

 

Рис. 2.7

.

 

Проекции скорости точки на неподвижные оси де­картовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Вычислив проекции скорости на оси декартовых координат, можно определить модуль и направление скорости точки по следующим формулам:

.

 

Движение точки в плоскости хОу  задается двумя урав­нениями движения. Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются так:

.

 

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением. В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на ось х:

.

 

При  точка движется по направлению оси х, при  - противоположно направлению оси.

 

Задача 2.1. Кривошип ON длиною а вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку О. Угол φ между неподвижной осью Ох и кривошипом изменяется пропорционально времени: φ = kt. Составить уравнения движения точки N в декартовой системе координат. Найти уравнения ее траектории (рис. 2.8).

Решение. Для составления уравнений движения точки N надо выразить ее координаты как функции времени. Из рисунка находим координаты x, y точки N:

;                                      (2.1)

 

.                                       (2.2)

 

Рис. 2.8

 

Это и будут искомые уравнения движения точки N.

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время. Для этого возведем каждое уравнение движения (2.1 и 2.2) в квадрат

 

;                                         (2.3)

                                     (2.4)

 

и сложим уравнения (2.3) и (2.4):

                  .

 

Это уравнение траектории точки N - уравнение окружности радиусом а с центром в начале координат.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: