Определение функции. Частное значение функции

В практических задачах часто имеют дело с переменными ве­личинами, которые связаны между собой так, что значения одной величины определяют значения другой. Эта зависимость между двумя переменными величинами носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Однако в условиях конкретной задачи часто случается так, что заданы значения некоторой величины х (независимой пере­менной) и по ним определяют соответствующие значения вели­чины у (зависимой переменной).

7.  Путь, пройденный свободно падающим телом, выражается

формулой , где — ускорение свободно падающего тела,

величина для данной широты — постоянная. Указать независи­мую и зависимую переменные.

Решение. Придавая времени t различные значения, мы можем определить путь s для любого заданного промежутка времени t. Таким образом, здесь t — независимая переменная, a s — зависимая от t переменная.

8.  Объем шара определяется по формуле . Указать независимую и зависимую переменные.

Решение. Здесь — величина постоянная. Придавая радиу су R различные значения, мы можем найти объем шара для каждого из заданных значений радиуса. Итак, радиус R является независимой переменной, а объем шара V — зависимой.

Независимую переменную величину, т.е. величину, для котрой мы можем задавать произвольные, интересующие нас значения, называют аргументом. Переменную величину, значения
торой зависят от аргумента, называют функцией __

Так, в примере 7 переменная t является аргументом, а s - функцией. В примере 8 переменная R является аргументом, а V — функцией.

166

Определение 3. Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значе­нию х, взятому из области ее изменения, соответствует по определенному правилу единственное значение у. Чтобы показать, что у есть функция переменной х, пользуются символическими записями: и т. д.

Такая символическая запись не раскрывает самого правила зависимости у от х, и лишь устанавливает сам факт наличия зависимости.

Например, скорость свободно падающего тела — функция времени t, т. е. , а правило установления соответствия

между t и v известно:

Поверхность шара S есть функция его радиуса R, т. е.

, а правило соответствия между S и R имеет вид .

Замечание. Как видно из рассмотренных выше примеров, аргумент и функция могут обозначаться не только буквами х и у, но и другими буквами.

Частное значение функции при заданном частном зна-

чении аргумента х = а символически обозначается f ( a ) или у\_х=а.

4. Область определения функции

Под областью определения (существования) функции f ( x ) понимается совокупность всех действительных значений аргу-мента х, при которых функция определена и выражается действительным числом.

14. Найти область определения функции .

Решение. Очевидно, что при любом действительном значении х функция y также выражается действительным числом. Следовательно, данная функция определена при любом значении . Этот

результат можно записать в виде .

Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций.

1. При отыскании области определения дробной функции

Нужно исключить значения аргумента, при которых знаменатель дается в нуль.

167

15—29. Найти области определения функций:

15.

168

2. Если аналитическое выражение функции содержит корень четной степени, то при отыскании области определения функции можно исключить значения аргумента, при которых подкоренное Уважение принимает отрицательные значения.

30—40. Найти области определения функций: 30. .

3. Если аналитическое выражение функции содержит логарифм, то при отыскании области существования данной функции нужно  исключить значения аргумента, при которых выражение под знаком логарифма принимает отрицательные значения и обращается в нуль.

169

41—52. Найти области определения функций:

4. Если аналитическое выражение функции содержит обрат-

ные тригонометрические функции арксинус или арккосинус, то при нахождении области ее определения нужно включать только те значения аргумента, при которых выражения, стоящие под знаком этих функций, по модулю не превосходят единицы.

53—57. Найти области определения функций:

Иногда область определения функции ограничивается физи­ческим или геометрическим смыслом задачи. Так, для функции  область определения есть (0, ), поскольку радиус мо­жет принимать только положительные значения, хотя функции существует и для отрицательных значений R.

Нельзя смешивать область определения функции с область значений функции.

170

класть значений функции есть множество всех действительных значений, которые принимает функция. Например, область значений функции есть совокупность всех значений у, для которых , т.е. отрезок [— 1, 1], а областью определения той же функции является совокупность всех действительных значений х, т. е. промежуток

5. Способы задания функции

функция считается заданной, если известна область определения функции и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Такое правило можно указать различными способами; из них наиболее распространенными являются табличный, гра­фический и аналитический.

Табличный способ состоит в том, что значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таб­лицы.

Так, значения логарифмов чисел, тригонометрических функ­ций, квадратов и кубов чисел и т. д. находят с помощью четырех­значных математических таблиц. Зная число (аргумент), по таблицам отыскивают значение функции (либо логарифм этого числа, либо тригонометрическую функцию угла и т.д.). Такой способ удобен, когда вычисления значений функции являются громоздкими.

Табличный способ широко используется на практике для записи результатов наблюдений и измерений.

Несмотря на простоту, такой способ задания функции не дает полного представления о характере функциональной зависи­мости между х и у, лишен наглядности. Однако иногда это един­ственный способ выражения функциональной зависимости.

Пусть, например, нас интересует изменение температуры тела больного в зависимости от времени. В этом случае ее измеряют через равные промежутки времени и записывают полученные Данные в виде таблицы:

Для большей наглядности каждую пару чисел изображают точкой на плоскости и затем соединяют эти точки отрезками ломаной.

Если же функции изображена в прямоугольной системе координат в виде графика, т. е. какой-то линии, где абсцисса каждой точки является аргументом, а ордината — функцией, то такой способ задания функции называется графическим. Например, пусть функция изображена в виде графика (рис. 67) и мы хотим найти значение функции у при . Восставив из точки перпендикуляр к оси до пересечения с графи-

171

Иногда этот способ выражения зависимости между аргумен­том и функцией является единственно возможным, иногда же он применяется в качестве дополнительного- для наглядного изображения характера функциональной зависимости.

Например, зависимость между давлением и временем (баро­грамма) вычерчивается специальным метеорологическим прибо­ром в виде некоторой кривой. В данном случае график явля­ется единственно возможным способом выразить эту функциональную зависимость.

58. Указать промежутки возрастания функции

Решение. В данном случае, хотя функция и задана таблицей, для наглядности строим график (рис. 68). Очевидно, что функция возрастает на интервале (0, ).

Наиболее удобным является третий способ задания функ­ции — аналитический.

При аналитическим способе зависимость между аргументом x и функцией у задается в виде математической формулы или уравнения. В этой формуле указаны действия, которые нужно произвести над значением аргумента, чтобы получить соответ­ствующее значение функции. Придавая аргументу х различны значения, мы можем вычислить соответствующее значение  с необходимой точностью.

Примером функции, заданной аналитически, может служить

функция

Единственный недостаток аналитического способа вне наглядности. В математике предпочтение отдается способу. Зная закон соответствия , всегда можно составить таблицу и построить график. Другие способы задании функции такой универсальностью не обладают. На практике при следовании различных зависимостей наиболее удобными является сочетание различных способов заданий функции.

172

59. Построить график функции

Решение. Составим таблицу значений функции:

В соответствии с таблицей значений функции строим кривую (рис. 69).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: