ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Стр 1 из 31Следующая ⇒

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. 6

7 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ.. 7

7.1 Элементы теории погрешности. 8

7.2 Приближение данных функциями. 11

7.2.1 Интерполирование. 12

7.2.2 Сплайн-функции. 23

7.2.3 Аппроксимация данных методом наименьших квадратов 28

7.3 Численное дифференцирование. 36

7.4 Численное интегрирование. 38

7.4.1 Интерполяционные квадратурные формулы.. 39

7.4.2 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Квадратурные формулы Гаусса. 45

7.5 Решение нелинейных уравнений и систем.. 48

7.5.1 Решение нелинейных уравнений. 49

7.5.2 Метод Лобачевского при решении алгебраических уравнений 58

7.5.3 Решение систем нелинейных уравнений. 63

7.6 Решение задач матричной алгебры.. 64

7.6.1 Некоторые понятия матричной алгебры.. 65

7.6.2 Обусловленность систем и матриц. 69

7.6.3 Метод Гаусса. 73

7.6.4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 75

7.6.5 Метод Данилевского при решении полной проблемы собственных значений. Построение канонической формы Фробениуса 80

7.7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем 84

7.7.1 Методы Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 85

7.7.2 Правило Рунге. 87

7.7.3 Методы Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. 89

7.7.4 Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. 90

7.7.5 Методы Адамса при решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. 91

7.7.6 Метод сеток решения линейных краевых задач. 93

7.7.7 Метод коллокации решения краевых задач. 96

8 Моделирование систем управления.. 99

8.1 Описание систем в пространстве состояний. 99

8.2 Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов 103

8.2.1 Оптимальное управление при минимизации классического квадратичного функционала. 105

8.2.2 Оптимальное управление при минимизации функционала обобщенной работы.. 107

8.2.3 Оптимальное управление при минимизации локального квадратичного критерия. 111

8.2.4 Синтез следящей системы управления. 112

8.3 Моделирование систем оптимального управления. 114

8.3.1 Основные понятия цифровых систем управления. 114

8.3.2 Моделирование поведения управляемого объекта. 116

8.3.3 Синтез оптимального управления. 119

8.4 Моделирование систем управления при случайных внешних воздействиях. 124

8.4.1 Моделирование поведения объекта при наличии внешних возмущений. 124

8.4.2 Описание математической модели измерительного комплекса 126

8.4.3 Оценивание состояния модели объекта. 127

8.4.4 Синтез управляющих воздействий по оценкам состояния 131

8.5 Синтез адаптивной следящей системы.. 134

8.5.1 Основные понятия адаптивных систем управления. 135

8.5.2 Одновременное оценивание состояния и параметров модели объекта 136

8.6 Учет ограничений и запаздываний по управлению.. 140

8.7 Общая схема синтеза адаптивных систем управления. 141

9 Примеры построения математических моделей 144

9.1 Построение математических моделей прямолинейного и вращательного движения. 144

9.1.1 Математическая модель прямолинейного движения. 144

9.1.2 Математическая модель вращательного движения. 146

9.2 Макроэкономическая модель динамики фондов производственного накопления и потребления. 147

9.3 Построение математических моделей производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса. 148

10 Программные средства моделирования.. 153

10.1 Языки программирования. 154

10.1.1 Язык Fortran. 154

10.1.2 Язык С.. 154

10.1.3 Язык С++. 155

10.1.4 Языки Pascal и Object Pascal 158

10.2 Системы разработки программного обеспечения. 158

10.2.1 Microsoft Visual C++ и MFC.. 158

10.2.2 Borland Delphi 159

10.2.3 Borland C++Builder 159

10.3 Специализированные математические пакеты.. 160

10.3.1 Система Maple. 161

10.3.2 Система Mathematica. 161

10.3.3 Система MatLAB.. 163

10.3.4 Система MathCAD.. 164

10.3.5 Система STATISTICA.. 166

10.3.6 Система EXCEL. 166

Литература.. 168

Предисловие

При компьютерном моделировании возникает необходимость в численном решении достаточно большого количества разнообразных задач. В связи с этим рассматриваются основные подходы к методам решения таких задач, как приближение данных, численное дифференцирование и интегрирование, решение нелинейных уравнений и систем, решение задач матричной алгебры, решение задачи Коши и краевой для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводятся условия сходимости итерационных алгоритмов, обсуждаются способы реализации и обращается внимание на погрешность результата.

Подробно рассматривается моделирование систем управления в пространстве состояний методами аналитического конструирования оптимальных регуляторов. При этом рассматривается формирование следящей системы адаптивного управления с неполным измерением при построении оценок состояния и параметров модели объекта дискретными фильтрами Калмана. Построение такой системы управления осуществляется путем постепенного усложнения с помощью добавления новых алгоритмов и изменения существующих.

Так как одной из первых и основных задач при формировании систем управления является построение математической модели управляемого объекта, то рассматриваются примеры построения математических моделей, описывающих прямолинейное и вращательное движение, изменение фондов производственного накопления и потребления, математических моделей процессов производства, сбыта и хранения продукции.

В последней главе приводятся характеристики и возможности программных средств, используемых для моделирования систем, как инструментальных, так и специализированных математических пакетов. Эта глава написана в соавторстве с Борисовым Сергеем Ивановичем, программистом ЛИСМО ТУСУР, ассистентом кафедры КСУП ТУСУР.

Элементы теории погрешности

Результаты вычислений особенно достаточно большого объема, что характерно для моделирования реальных процессов, всегда являются неточными. Это вызвано накоплением различного рода погрешностей, влияние которых необходимо учитывать.

Основными источниками погрешностей являются:

1) исходные данные, которые для вычислений часто берутся из эксперимента, а каждый эксперимент дает результат с ограниченной точностью;

2) использование иррациональных величин, которые в ЭВМ представляются приближенно;

3) применение итерационных методов решения задач, которые дают только приближенные результаты;

4) необходимость округления результатов при умножении и делении.

Общепринятой является следующая классификация погрешностей:

1) неустранимая погрешность, которая возникает за счет неточности исходных данных;

5) погрешность метода, возникающая в результате решения задачи;

6) погрешность округления, которая всегда присутствует в вычислениях.

В вычислительной математике большинство задач может быть записано в виде:

(7.1.1)

где и принадлежат заданным пространствам и , – некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании по заданному , либо в отыскании по заданному . Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные задачи, является замена пространств , и функции некоторыми другими пространствами , и функцией , при этом замена должна быть сделана таким образом, чтобы решение новой задачи

(7.1.2)

где , , было в каком то смысле близким к точному решению исходной задачи и его можно было бы практически отыскать. За счет погрешности исходных данных и округления фактически была решена задача

. (7.1.3)

При этом полная погрешность решения задачи может быть записана в виде:

(7.1.4)

Первая скобка в (7.1.4) характеризует погрешность метода, а вторая – погрешность, возникающую за счет неточности исходных данных и округления, которая называется вычислительной погрешностью. И полная погрешность результатов вычислений складывается из вычислительной погрешности и погрешности метода.

Обозначим точные значения некоторых величин через , , , …, а соответствующие им приближенные значения через , , , … .

Абсолютной погрешностью величины называется разность между точным и приближенным значением этой величины:

. (7.1.5)

Предельной абсолютной погрешностью величины называется наименьшая из верхних границ , которая может быть найдена, исходя из способа получения числа .

Относительной погрешностью величины называется отношение модуля абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины :

. (7.1.6)

Предельной относительной погрешностью величины называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению величины :

. (7.1.7)

Рассмотрим зависимость абсолютной и относительной погрешностей функции от соответствующих погрешностей ее аргументов. При этом функцию можно рассматривать как модель вычислительного процесса.

Пусть - заданная функция аргументов , по значениям которых требуется определить . Будем предполагать, что:

1) функция непрерывно дифференцируема в области определения своих аргументов;

2) величины и необходимо определить с небольшой точностью;

3) погрешности аргументов настолько меньше значений соответствующих аргументов, что в сумме ими можно пренебречь.

По определению имеем:

(7.1.8)

где - некоторая точка отрезка, соединяющего и , а - частная производная функции по в точке . Последнее равенство в (7.1.8) получено согласно формуле конечных приращений. Учитывая предположение относительно малости погрешностей аргументов, заменим на и получим:

(7.1.9)

. (7.1.10)

Относительные погрешности функции будут определяться следующим образом:

, (7.1.11)

. (7.1.12)

Примеры.

1. Пусть . Тогда

, .

2. Пусть . Тогда

, .

Так как погрешности суммируются, то может случиться так, что через достаточно большое число операций погрешности станут столь большими, что полностью исказят результаты вычислений. В связи с этим необходимо всегда учитывать влияние погрешностей, возникающих при моделировании.

Интерполирование

Пусть задана таблица значений неизвестной функции в точках , и необходимо определить значение этой функции в некоторой точке , не совпадающей с . Это типичная постановка задач интерполяции (если ) или экстраполяции (если или ). Точки называются узлами интерполирования.

В математике под интерполированием понимается задача нахождения неизвестного значения какой-либо величины по нескольким известным ее значениям и, может быть, по нескольким значениям других величин, с нею связанных (например, ее производных). Без дополнительных предположений о функции эта задача является неопределенной и за можно принять любое число, если только не является одним из узлов таблицы.

Предположим, что рассматривается множество функций , обладающих некоторыми свойствами. Рассмотрим семейство функций , определенных на интервале , содержащем все узлы интерполирования, и зависящих от параметров . Будем полагать, что

. (7.2.1)

Относительно функций известны следующие предположения:

1) функции известны при всяких и определены на отрезке для любых значений параметров ;

2) с увеличением семейство функций расширяется;

3) при всяком функции семейства обладают теми же свойствами, что и функции ;

4) для всякой функции и любого числа существует такое и такие значения параметров , что при всех выполняется неравенство:

(это условие обеспечивает возможность равномерного на сколь угодно точного приближения любой функции с помощью функций из последовательности семейств , при этом семейство функций называется полным для множества );

5) параметры выбираются из условия совпадения функций и в узлах . Это приводит к системе уравнений:

(7.2.2)

Если - нелинейная функция относительно , то система (7.2.2) будет нелинейной и ее решение может быть только приближенным. Поэтому чаще всего задают функцию линейной относительно параметров , то есть в виде:

, (7.2.3)

где , - линейно независимые координатные функции, определенные на . При этом система (7.2.2) примет вид:

(7.2.4)

Система (7.2.4) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее определитель

. (7.2.5)

Последовательности функций , , для которых определитель (7.2.5) отличен от нуля при всяких несовпадающих значениях , называются последовательностями Чебышева.

Часто в качестве функций используются алгебраические многочлены:

. (7.2.6)

Система (7.2.4) в этом случае имеет вид:

(7.2.7)

а ее определитель является определителем Вандермонда

который отличен от нуля для любых несовпадающих узлов . Таким образом, система (7.2.7) имеет единственное решение и интерполирование функции по ее значениям в узлах с помощью многочлена всегда возможно и единственно. Кроме того, согласно теореме Вейерштрасса, если отрезок конечный и замкнутый и функция непрерывна на нем вместе с производными первых порядков, то для всякого существует алгебраический многочлен некоторой степени , для которого при любых выполняются неравенства

Таким образом, если удачно расположить узлы на , то можно получить достаточно хорошие результаты при вычислении значений функции и ее производных в любой точке отрезка .

Решим систему (7.2.7) по правилу Крамера. Тогда

, (7.2.8)

где - определитель, полученный из заменой -го столбца столбцом свободных членов, - алгебраическое дополнение для -го элемента в при разложении по элементам -го столбца.

Найденные таким образом параметры подставим в (7.2.6), приведем подобные относительно и получим:

(7.2.9)

где - алгебраические многочлены -ой степени. Учитывая условие совпадения и в узлах интерполирования , получим:

Таким образом, есть многочлен -ой степени, равной нулю в точках , и, следовательно, представимый в виде:

Константу определим из условия

Тогда

Таким образом получим функцию, которая называется интерполяционным многочленом Лагранжа и обозначается :

. (7.2.10)

Обозначим через многочлен -ой степени вида:

Тогда многочлен Лагранжа запишется в виде:

. (7.2.11)

Интерполяция многочленом Лагранжа имеет существенный недостаток: если выяснится, что полученная точность интерполирования недостаточна и для улучшения точности потребуется увеличить число узлов, то все вычисления придется проделать заново. От этого недостатка избавлен другой интерполяционный многочлен – многочлен Ньютона.

Введем следующие обозначения: разностными отношениями первого порядка назовем величины

разностными отношениями второго порядка -

и т.д., и разностными отношениями -го порядка -

Разностные отношения являются симметрическими функциями своих аргументов и

Для построения многочлена Ньютона запишем многочлен Лагранжа следующим образом:

(7.2.12)

Разность есть многочлен -ой степени, равный нулю в точках , и, следовательно, представимый в виде:

Константу определим, полагая , и учитывая, что , то есть

Тогда

Подставляя полученное выражение в (7.2.12) для , получим интерполяционный многочлен Ньютона:

(7.2.13)

Несмотря на более сложное строение, формула Ньютона удобнее для вычислений, чем формула Лагранжа, так как позволяет не фиксировать заранее число узлов, а подключать новые узлы до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Величина остатка или погрешности интерполирования

(7.2.14)

зависит от свойств функции , выбора узлов и от положения точки на . Формула Лагранжа для погрешности интерполирования имеет вид:

, (7.2.15)

где - некоторая точка отрезка . Если обозначить

то

. (7.2.16)

Для того, чтобы погрешность в (7.2.16) была наименьшей, необходимо выбрать узлы интерполирования таким образом, чтобы значение было минимальным. Для этого можно воспользоваться многочленами Чебышева:

. (7.2.17)

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

1) они являются алгебраическими многочленами соответствующей степени, так как , а для построения многочленов более высокой степени можно воспользоваться рекуррентной формулой:

; (7.2.18)

2) коэффициент при старшей степени в равен ;

3) области определения и изменения многочленов Чебышева равны ;

4) многочлены имеют корней на , которые располагаются в точках

; (7.2.19)

5) многочлены достигают экстремум, равный , на в точках

; (7.2.20)

6) они являются четными или нечетными в зависимости от , так как

;

7) многочлены Чебышева ортогональны с весом на , так как

8) графическое представление многочленов Чебышева совпадает с проекциями синусов, нанесенных на цилиндр;

9) многочлены Чебышева являются наименее отклоняющимися от нуля, так как

при этом справедливо утверждение, что какой бы другой многочлен степени со старшим коэффициентом, равным единице, мы ни взяли

Таким образом, для того чтобы значение было наименьшим, необходимо в качестве взять приведенный многочлен Чебышева , то есть в качестве узлов интерполирования взять корни многочлена Чебышева:

(7.2.21)

Тогда для оценки погрешности будет верно неравенство:

. (7.2.22)

Если интерполирование производится на интервале , то значения с помощью линейного преобразования

(7.2.23)

можно перевести в интервал , а для оценки погрешности будет верно неравенство:

. (7.2.24)

Достаточно часто при интерполировании приходится иметь дело с равноотстоящими узлами. Тогда полагают:

В этом случае интерполяционные формулы можно значительно упростить, если ввести понятие конечных разностей.

Конечной разностью -го порядка называется величина

где

Так как узлы, лежащие вблизи точки интерполирования , оказывают большее влияние, чем узлы, лежащие дальше, то целесообразно при построении интерполяционной формулы привлекать сначала ближний узел, а затем остальные в порядке их удаленности от точки . При этом абсолютные величины слагаемых будут уменьшаться с увеличением их порядкового номера и, начиная с некоторого слагаемого, выйдут за пределы требуемой точности. В соответствии с этим построим конкретные интерполяционные формулы.

Формула Ньютона для интерполирования вперед

Пусть точка находится ближе к левому концу отрезка или слева от него. Для построения интерполяционной формулы Ньютона за принимается ближайший к узел интерполирования, а затем узлы привлекаются в следующем порядке:

при этом, если это возможно, за выбирается лежащий слева от точки узел, чтобы не попасть в ситуацию экстраполирования. Тогда многочлен Ньютона (7.2.13) запишется в виде:

Если ввести новую переменную , то

и учитывая, что

получим

(7.2.25)

Эта формула называется формулой Ньютона для интерполирования вперед.

Формула Ньютона для интерполирования назад

Пусть точка находится ближе к правому концу отрезка или справа от него. За первый узел для построения интерполяционной формулы примем ближайший к узел интерполирования и обозначим его , при этом, если возможно, следует избегать ситуации экстраполирования. Далее узлы для построения интерполяционной формулы следует привлекать в следующем порядке:

Введем новую переменную . Тогда, преобразовывая аналогично предыдущему, получим формулу Ньютона для интерполирования назад:

(7.2.26)

Интерполяционные формулы Гаусса

Если точка интерполирования находится в середине отрезка вблизи узла , причем правее его, то есть , то узлы привлекаются в следующем порядке:

Тогда, после введения новой переменной и соответствующих преобразований, получается формула Гаусса для интерполирования вперед, которая имеет вид:

(7.2.27)

Если точка находится вблизи узла , причем , то для построения интерполяционной формулы узлы привлекаются в следующем порядке:

и, после введения переменной и соответствующих преобразований, получим формулу Гаусса для интерполирования назад:

(7.2.28)

Если функция достаточно гладкая, то разности убывают с ростом и для некоторого они практически равны нулю. Но, так как с ростом порядка разностей растет погрешность их вычисления, то привлечение таких разностей для построения интерполяционной формулы может существенно исказить результат. Существует следующее правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно, то есть не вносят дополнительной погрешности в значение интерполяционного многочлена.

Пусть значения вычислены с абсолютной погрешностью . Так как конечные разности определяются по формуле:

то абсолютная погрешность разностей первого порядка равна , второго порядка – ,…, -го порядка – . Тогда, если

то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен . Разности -го порядка уже меньше погрешности, поэтому их использование приведет к искажению результата и при построении интерполяционной формулы они отбрасываются.

Сплайн-функции

Пусть на отрезке задано разбиение , в узлах которого известны значения достаточно гладкой функции . Узлы разбиения делят отрезок на отрезков

Сплайном называется составная функция , которая вместе с производными нескольких порядков непрерывна на всем отрезке , а на каждом частичном отрезке в отдельности является составляющей функцией:

Рассмотрим частный случай, когда функции являются алгебраическими многочленами вида:

где – коэффициенты, определяемые для каждого частичного отрезка.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочлена называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на производной – дефектом сплайна.

Среди существующих сплайнов наиболее широкое распространение получили сплайны следующих типов: линейные, параболические, кубические, В-сплайны.

Рассмотрим алгоритмы построения коэффициентов трех первых из перечисленных сплайнов.

Линейный сплайн

Сплайн состоит из линейных многочленов вида:

. (7.2.29)

Параметры сплайна , определим из условия непрерывности на и требования совпадения значений сплайна с функцией в узловых точках:

, (7.2.30)

. (7.2.31)

Обозначим . Тогда для каждого из многочленов можно записать

и для определения коэффициентов линейного сплайна (7.2.29) получим уравнения:

, (7.2.32)

(7.2.33)

Параболический сплайн

Сплайн состоит из парабол, то есть имеют вид:

(7.2.34)

Для определения коэффициентов сплайна дополнительно к условиям (7.2.30), (7.2.31) потребуем непрерывности первой производной сплайна на интервале , то есть:

. (7.2.35)

Обозначив , и, учитывая, что

, (7.2.36)

получим:

, (7.2.37)

, (7.2.38)

. (7.2.39)

Тогда коэффициенты определяются согласно (7.2.37), а (7.2.38) можно записать в виде:

. (7.2.40)

Если теперь записать выражения для и в виде (7.2.40) и подставить их в (7.2.39), то получим

, (7.2.41)

где

. (7.2.42)

Таким образом, уравнения (7.2.37), (7.2.40) и (7.2.41) образуют систему из уравнений для определения коэффициентов сплайна. Недостающее уравнение получается из дополнительного условия, которое накладывается на значение производной сплайна на конце интервала , то есть:

(7.2.43)

или

. (7.2.44)

Если подставить в (7.2.44) выражение для из (7.2.40), то формулу (7.2.44) можно переписать в виде:

где

Тогда

(7.2.45)

. (7.2.46)

Таким образом, параметры параболического сплайна вычисляются в следующем порядке: сначала в обратном порядке вычисляются коэффициенты по (7.2.45), (7.2.46), затем по (7.2.39) и , по (7.2.37).

Кубический сплайн

Сплайн состоит из гипербол вида:

(7.2.47)

Для определения параметров сплайна потребуем дополнительно к (7.2.30), (7.2.31), (7.2.35) выполнения условия непрерывности второй производной:

. (7.2.48)

Первая и вторая производные отдельных многочленов сплайна соответственно равны:

(7.2.49)

. (7.2.50)

Тогда, обозначив , получим:

, (7.2.51)

, (7.2.52)

, (7.2.53)

. (7.2.54)

Последние два уравнения получены из (7.2.35) и (7.2.48).

Уравнения (7.2.51)–(7.2.54) составляют систему из уравнений для определения параметров сплайна. Для получения двух недостающих уравнений потребуем выполнения дополнительных условий на концах интервала :

, (7.2.55)

. (7.2.56)

Тогда из (7.2.55) следует

, (7.2.57)

а из (7.2.56) получим:

. (7.2.58)

Из уравнения (7.2.54) выразим

, (7.2.59)

и, подставляя его в (7.2.52), с учетом (7.2.51), получим

. (7.2.60)

Если выражения для и подставить в (7.2.53), то получим:

, (7.2.61)

где

. (7.2.62)

Уравнения (7.2.61) образуют систему из уравнения относительно неизвестных . Эта система является системой с трехдиагональной матрицей вида:

(7.2.63)

и вектором свободных членов , где Т - символ транспонирования.

Решение таких систем осуществляется методом прогонки, согласно которому решение представляют в виде:

, (7.2.64)

где – неизвестные коэффициенты. Чтобы получить выражения для этих коэффициентов, запишем формулы для определения и согласно (7.2.64) и, подставив их в (7.2.61), сравним полученное выражение с (7.2.64). При сравнении получим, что выражения для определения неизвестных коэффициентов будут иметь вид:

(7.2.65)

При этом, учитывая (7.2.57), полагают .

Таким образом, порядок вычисления коэффициентов кубического сплайна следующий: сначала определяют коэффициенты , , для чего необходимо, осуществляя прямой ход метода прогонки по формулам (7.2.65), найти значения , при , а затем, обратным ходом, считая по формуле (7.2.64), вычислить . При этом, согласно (7.2.57), Остальные коэффициенты сплайна определяются по следующим формулам: – (7.2.51), – (7.2.59), – (7.2.60), .

Полиномиальные сплайны имеют ряд существенных недостатков:

1) при увеличении степени составных многочленов вычисление их коэффициентов значительно усложняется из-за увеличения числа уравнений (условий непрерывности функций и их производных);

2) требуется достаточно большой объем памяти для хранения информации о сплайне (точек разбиения и значений коэффициентов сплайнов).

От этих недостатков в значительной мере избавлен другой вид сплайнов, который основан на базисных функциях и называется В-сплайном.

Численное дифференцирование

К численному дифференцированию приходится прибегать в том случае, когда функция , для которой нужно найти производную, задана таблично или же функциональная зависимость и имеет очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности.

В тех случаях, когда численное дифференцирование неприменимо, вместо функции рассматривают интерполяционный многочлен и считают производную от приближенно равной производной от . Естественно, что при этом производная от будет найдена с некоторой погрешностью.

Пусть требуется найти производную функции в некоторой точке , если таблица значений функции задана в произвольных точках . В этом случае наиболее удобным является использование в качестве интерполяционного многочлена Ньютона. При этом для построения многочлена Ньютона в качестве первой точки привлекается ближайшая к табличная точка, а затем остальные, в порядке их удаленности от точки . Например, если находится вблизи табличной точки , то для вычисления значения первой производной функции в точке получаются следующие выражения:

(7.3.1)

Функцию можно записать в виде:

(7.3.2)

и, дифференцируя это тождество раз (в предположении, что и имеют производные -го порядка), имеем

. (7.3.3)

Так как за приближенное значение принимается , то погрешность дифференцирования есть . При замене интерполяционным многочленом предполагается, что остаточный член мал, но из этого вовсе не следует, что мало , так как производные от малой функции могут быть весьма велики. На самом деле практика показывает, что при таком способе вычисления производных получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычислении производных высших порядков.

Если табличные значения являются равноотстоящими, то есть , то для вычисления значения первой производной в точке , лежащей вблизи табличной точки , получаются следующие выражения:

(7.3.4)

где используются для обозначения выражений, имеющих порядок малости, превышающий величины и соответственно. Несмотря на то, что с помощью последнего выражения в (7.3.4) получается более точный результат, использовать это выражение для вычисления первой производной нужно с большой осторожностью, так как достаточно часто это приводит к потере устойчивости решения.

Для вычисления второй производной в случае, если точка находится вблизи табличной точки , используется следующее выражение:

. (7.3.5)

Аналогично можно получить выражения для вычисления производных и более высоких порядков. Кроме того, можно использовать и другие подходы для вычисления значений производных функций, заданных таблично, например, метод неопределенных коэффициентов.

Заметим, что замена производных разностными отношениями типа (7.3.4) и (7.3.5) часто используется при моделировании задач математической физики.

Численное интегрирование

Будем рассматривать задачу вычисления интеграла при помощи некоторого числа значений интегрируемой функции. Достоинство этого метода состоит в его простоте и универсальности.

Пусть есть любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси и требуется найти приближенное значение интеграла

(7.4.1)

по значениям функции в точках . Многие правила численного интегрирования основаны на замене интегрируемой функции на всем отрезке или на его частях на более простую функцию, близкую к , легко интегрируемую точно и принимающую в точках те же значения, что и . В качестве такой функции достаточно часто используют алгебраический многочлен или рациональную функцию. В том случае, если интегрируемая функция является достаточно гладкой, то можно рассчитывать хорошо приблизить ее многочленом невысокой степени или несложной рациональной функцией. Если же сама функция имеет особенности, то это затруднит такое приближение или сделает его вообще невозможным. В этом случае заранее освобождаются от этих особенностей путем их выделения. Для этого функцию представляют в виде произведения двух функций:

, (7.4.2)

где имеет те же особенности, что и , и называется весовой функцией или весом, а является достаточно гладкой функцией. Тогда задача заключается в вычислении интеграла вида:

. (7.4.3)

Правила вычисления интегралов в большинстве своем являются специализированными, предназначенными для численного интегрирования функций, имеющих те же особенности, что и весовая функция . Поэтому при вычислении интеграла (7.4.3) функция считается фиксированной функцией, а – любой достаточно гладкой функцией на .

Метод Гаусса

Достаточно часто для решения систем с действительными элементами используется метод Гаусса (метод исключения неизвестных). Этот метод осуществляет приведение исходной системы к эквивалентной системе с правой треугольной матрицей (схема единственного деления) или с диагональной матрицей (схема оптимального исключения). При этом не требуется заранее определять, имеет или нет решение данная система.

Рассмотрим схему единственного деления. Систему представим в виде:

(7.6.28)

Будем считать выбор порядка преобразования, в котором исключаются неизвестные, произвольным. Выберем какое-либо уравнение и неизвестное в этом уравнении. Единственное условие, которое должно быть выполнено при этом выборе, состоит в том, что коэффициент при выбранном неизвестном должен быть отличным от нуля. Переставляя, если необходимо, уравнения и меняя местами неизвестные, можно считать, что выбрано первое уравнение, неизвестное , и при этом . Разделив выбранное уравнение на , приведем его к виду:

, (7.6.29)

где

Исключим из остальных уравнений системы. Для этого умножим (7.6.29) последовательно на и вычтем из второго, третьего и т.д. последнего уравнения системы. Преобразованные уравнения будут иметь вид:

(7.6.30)

где .

К полученной системе применим такое же преобразование, т.е. выберем уравнение и неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, приведем этот коэффициент к единице, исключим неизвестное из прочих уравнений и так до тех пор, пока такие преобразования возможны.

В результате придем к одной из двух ситуаций.

1. После шагов преобразований получим систему вида:

(7.6.31)

Решение полученной системы осуществляется снизу вверх следующим образом:

(7.6.32)

2. После шага преобразований система приняла вид:

(7.6.33)

Тогда, если среди элементов есть отличные от нуля, то система (7.6.28) не имеет решения, если все , , то система имеет бесчисленное множество решений (неизвестные могут принимать любые значения, а выражаются через них).

Приведение системы к виду (7.6.31) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение ее решения (7.5.32) – обратным. Заметим, что на каждом шаге прямого хода метода Гаусса выбирается уравнение и неизвестное, подлежащие исключению из прочих уравнений. Это равносильно выбору коэффициента для очередного шага преобразований. Этот коэффициент называется ведущим и он должен быть отличным от нуля. Во избежание большой потери точности рекомендуется осуществлять такую перестановку уравнений, чтобы ведущий коэффициент являлся либо максимальным по модулю коэффициентом во всей системе, либо максимальным по модулю коэффициентом в выбранном уравнении. Такая процедура называется методом Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Гаусса применим к вычислению определителей и обратных матриц. Так, значение определителя матрицы равно произведению ведущих коэффициентов:

(7.6.34)

а вычисление обратной матрицы осуществляется одновременным решением систем:

, (7.6.35)

где – единичный вектор (вектор, у которого все элементы, кроме -го, равны нулю, а -ый равен единице), – -ый столбец матрицы . Невозможность вычисления обратной матрицы проявляется в невозможности решения какой-либо системы из (7.5.35).

Правило Рунге

Функция в (7.7.5) имеет следующий смысл: это разность между точным и приближенным приращениями решения дифференциального уравнения в точке . Тогда, учитывая (7.7.6) и (7.7.7), можно записать уравнение погрешности функции решения в одной точке следующим образом:

(7.7.13)

где – главный член погрешности. Число шагов, которые необходимо сделать до произвольной точки , обратно пропорционально шагу , т.е. и погрешность в произвольной точке будет иметь смысл произведения погрешности на шаге на число шагов , т.е. .

Если главный член погрешности можно записать в виде , то говорят, что порядок погрешности метода равен . На практике в качестве погрешности приближенного решения берут главный член погрешности:

. (7.7.14)

Рассмотренные методы имеют порядок погрешности на шаге, равный , а порядок погрешности метода – . Для метода Эйлера , а для метода Рунге-Кутта . Таким образом, при моделировании методом Эйлера результаты получаются с погрешностью порядка , а методом Рунге-Кутта с погрешностью порядка .

Оценка погрешности методов Эйлера и Рунге-Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить, используя правило Рунге.

Пусть – точное решение в точке – приближенное решение в точке , найденное с шагом , – приближенное значение в точке , найденное с шагом , и пусть погрешность приближенного решения определяется формулой:

Тогда справедливы следующие равенства:

Приравнивая правые части этих равенств, получим:

. (7.7.15)

Таким образом, грубую оценку погрешности на интервале можно получить с помощью двойного счета по формулам Эйлера и Рунге-Кутта и в качестве оценки погрешностей использовать величины:

· для метода Эйлера

(7.7.16)

· для метода Рунге-Кутта

. (7.7.17)

Кроме того, для контроля правильности выбора шага рекомендуется вычислять величину:

(7.7.18)

Основные понятия цифровых систем управления

Включение ЭВМ в контур управления неизбежно создает особые условия его реализации, основными из которых являются: дискретность формируемого управления по времени и запаздывание подачи управляющего воздействия на приводы рулевых органов по отношению к моменту выдачи измерительной системой всей необходимой информации. Такие системы управления оперируют только с цифровой информацией и называются цифровыми системами управления.

Цифровую систему управления непрерывным объектом с замкнутой обратной связью схематично можно изобразить следующим образом (рис. 8.3.1):

Рис. 8.3.1

Работа системы управления синхронизируется в ЭВМ таймером реального времени, который определяет момент поступления информации об объекте и момент воздействия управляющего сигнала на объект. При этом состояние объекта измеряется только в дискретные моменты времени. На входе в систему управления непрерывный вектор состояния преобразуется в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП), а на выходе цифровой вектор управляющих воздействий преобразуется в непрерывный сигнал цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Момент времени, в который происходит преобразование непрерывной информации в дискретную, называется моментом квантования управляющего воздействия и обозначается . Промежуток времени между двумя моментами квантования называется периодом квантования.

Квантование – неизбежный процесс в цифровых системах управления, обусловленный дискретной природой самих ЭВМ. Будем полагать, что для управления исходным непрерывным объектом используется цифровая система, формирующая кусочно-постоянный вектор управления с моментом и периодом квантования, совпадающим с моментом и периодом поступления в ЭВМ информации об объекте. При этом непрерывность управляющего сигнала при воздействии на объект достигается путем сохранения его постоянной величины между формированиями. Таким образом, управление принадлежит к классу кусочно-постоянных непрерывных слева функций с фиксированным периодом квантования . Если достаточно мало, то цифровая система управления функционирует почти как непрерывная, так как потери информации за счет квантования будут незначительными. Но слишком малое время может оказаться недостаточным для формирования управляющего сигнала, так как реализация систем управления в реальных условиях движения объекта характеризуется большой сложностью, при этом формирование управляющих воздействий должно осуществляться за время, пренебрежительно малое в сравнении со скоростью изменения внешней среды и самого объекта.

Основные понятия адаптивных систем управления

Наиболее существенными являются следующие признаки деления принципов адаптации:

1. По уровню априорной неопределенности:

а) параметрическая адаптация, при которой априорная неопределенность заключается в недостаточном знании параметров (коэффициентов) управляемого объекта;

б) непараметрическая адаптация, при которой априорная неопределенность не связана непосредственно с какими-либо параметрами.

В обоих случаях неопределенность уменьшается на основе последовательных наблюдений входных и выходных данных в процессе управления.

2. По организации процесса адаптации:

а) поисковые, для которых характерны процессы итеративного движения к достижению требуемого качества управления;

б) беспоисковые, основанные на использовании некоторых необходимых (достаточных) условий требуемого качества управления.

У систем поисковой адаптации формируются специальными устройствами детерминированные или случайные пробные сигналы или создаются условия для возбуждения в объекте незатухающих колебаний, используемые как поисковые. Наличие пробных движений является основным недостатком поисковой адаптации, так как они не всегда допустимы по условиям функционирования объекта.

3. По целям организации адаптации:

а) системы со специальными свойствами, в результате функционирования которых управляемый процесс приобретает некоторые обязательные свойства, в число которых могут быть включены устойчивость, чувствительность к каким-либо возмущениям или ошибкам априорной информации, заданное расположение корней характеристического уравнения и т.д.;

б) оптимальные системы, обеспечивающие минимизацию некоторых функционалов, отражающих качество управляемого движения.

Наиболее перспективными для создания цифровых систем управления являются оптимальные беспоисковые системы с параметрической адаптацией, в которых на основе полученной в процессе функционирования объекта информации о самом объекте и возмущающих воздействиях осуществляется автоматическая настройка параметров модели объекта. При этом используется «принцип разделения», согласно которому формирование адаптивного управления состоит из трех этапов:

выбор алгоритма управления в предположении, что параметры модели объекта известны точно (оптимальное управление);

оценивание неизвестных параметров (идентификация) и состояния (фильтрация) модели объекта;

формирование адаптивного управления посредством замены точных значений параметров и состояния на их оценки.

Примеры построения математических моделей

К объектам управления, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, относятся все механические, электромеханические объекты, а также многие технологические процессы, подчиняющиеся законам механики и электричества. Кроме того, такими уравнениями можно описать и многие макро- и микроэкономические процессы.

При проектировании систем управления одной из основных задач, которую необходимо решить первой, - это построение математических моделей, описывающих управляемый объект или процесс. Качество функционирования системы управления будет существенно зависеть от того, насколько адекватной является построенная модель.

Языки программирования

Язык Fortran

Язык Fortran (от англ. Formula Translation) – один из первых языков программирования, появившийся еще в 50-х годах. В то время было разработано множество библиотек, в том числе математических, ориентированных на этот язык. Несмотря на то, что язык оказался не слишком удобным в использовании, он довольно прочно занял свою нишу для разработки математических программ, в первую очередь для моделирования. С тех пор язык претерпел несколько редакций (последняя – в 95-м году) и существует большое множество различных версий компилятора этого языка. Среди современных реализаций для персональных компьютеров следует отметить Microsoft Visual Fortran.

Как следует из названия языка, основное его предназначение – перевод формул. И с этой работой он справляется достаточно успешно. К недостаткам этого языка следует отнести слабые возможности по описанию абстрактных типов данных, неудобную организацию циклов и других языковых конструкций.

Язык С

Язык С, появившийся в первой половине 70-х годов прошлого столетья в лаборатории Bell Labs компании AT&T [Керниган&Ритчи], является в настоящее время де-факто стандартом для разработки программ системного назначения малого и среднего размеров. В настоящее время реализация этого языка есть практически для всех вычислительных систем от микроконтроллеров до сверхбольших вычислительных машин. Понятие «среднего размера» весьма относительно и, как правило, соответствует проектам от 10 до 100 тысяч строк исходного текста. Под «системными» понимаются программы, предназначенные, в основном, для нужд операционной системы (в том числе и сама операционная система является системной программой). Однако этот язык вполне подходит и для разработки прикладных программ, в том числе связанных с математическими вычислениями. Изюминка языка C - в его относительной близости к вычислительной системе, что позволяет разрабатывать высокоэффективный код (с минимальными накладными расходами, а соответственно, максимальный по скорости выполнения и минимальный по расходу памяти).

Язык C обладает набором из 50 операций (как целочисленных, так и вещественных), распределённых по 15 уровням приоритетов. Среди математических операций языка собраны все операции, которые можут выполнить центральный процессор и математический сопроцессор. Часть операций применима как к целым типам данных, так и к вещественным.

Язык не обладает встроенным понятием модуля, но, как правило, среда разработки (или по-другому – окружение языка) позволяет ввести это понятие искусственно и использовать как большое количество стандартных библиотек, так и свои собственные разработанные библиотеки. Более того, язык не обладает собственными средствами ввода/вывода, все эти средства реализуются внешними библиотеками, что позволяет разрабатывать более гибкий исходный код программ, применимый для различного операционного окружения языка и исполняемой программы.

Недостатки языка являются обратной стороной его достоинств. К ним можно отнести отсутствие встроенных типов данных высокой степени абстракции (например, «строка», часто применимого для организации диалога с пользователем), отсутствие средств диагностики (контроль выхода за пределы массива, переполнения стека и числа и т.д.). Такой контроль можно обеспечить лишь, связавшись на низком уровне с операционной системой, при условии, что операционная система поддерживает такой контроль.

Таким образом язык С хорошо подходит для разработки низкоуровневых системных библиотек и для математического моделирования.

10.1.3 Язык С++

Язык C++, разработанный в первой половине 80-х годов, как объектно-ориентированное (ОО) развитие языка C, Бьярном Страуструпом, занимает несколько иную нишу. В отличие от языка C, программы, скомпилированные с языка C++, обладают, как правило, немного худшей производительностью и большим объёмом исполняемого кода. Основная ниша данного языка – разработка больших (обычно прикладных) программных систем сравнительно большой группой разработчиков, распределённой в пространстве и/или времени. Основное преимущество данного языка – языковая поддержка 3-х базисных конструкций ОО программирования: инкапсуляция, полиморфизм и наследование.

Под инкапсуляцией понимается разделение реализации объекта (модуля) и его интерфейса. Как правило, скрываются данные, а в интерфейсе остаются только методы их обработки. Поэтому инкапсуляцию иногда трактуют как объединение данных и методов их обработки в единой языковой конструкции. При решении задач моделирования это позволяет создавать типы данных высокой степени абстракции. Такие, например, как вектора, матрицы, генераторы, фильтры и так далее. Фактически, любое понятие предметной области (ПО) можно рассматривать как объект с точки зрения ОО программирования и строить соответствующую ему модель с детерминированным набором свойств и поведением. В языке C++ для поддержки инкапсуляции вводят понятия «объект» и «класс», который представляет собой обобщенное описание объекта.

Язык C++ позволяет, используя еще одну языковую конструкцию – наследование, создавать обобщенные (базовые) классы, описывая в них общую составляющую всех дочерних классов. Это позволяет упростить процесс доработки программ, который теперь можно сводить не к переделке всего разработанного ранее класса. Для изменения набора свойств и/или расширения функциональности можно описать новый класс, наследованный от созданного ранее.

Еще одной принципиальной с точки зрения ОО программирования возможностью языка является полиморфизм. Это понятие определяется как возможность указания разной семантической нагрузки для конструкций с одинаковым синтаксисом. Например, пусть есть классы «вектор» и «матрица». Оба этих класса имеют метод «абсолютное значение», который имеет схожий синтаксис (на входе объект, на выходе вещественное число), но внутренняя реализация этих методов принципиально различна. Тем не менее, вполне вероятно, что некоторая функция может работать с любым типом данных, если тот обладает методом вычисления абсолютного значения. Можно разработать такой метод для всех типов данных, с которыми будет работать Ваша программа, но при этом возникнет большая степень дублированности кода. С другой стороны, можно разработать некоторый базовый класс, в котором перечислены все основные свойства и методы большой группы классов. При этом часть методов могут быть описаны, как виртуальные, что позволяет давать этим методам разную реализацию в дочерних классах.

Еще одной возможностью языка C++ является возможность описания шаблонов функций и классов (так называемое параметризованное описание). Параметром такого описания является, как правило, тип (или набор типов), с которым работает данная функция или класс. Это позволяет создавать более высокоэффективные (по сравнению с наследованием) программы.

Кроме того, язык C++, один из немногих, позволяет перегружать смысл своих операций для абстрактных типов данных. Таким образом, можно получить набор типов (классов), максимально приближенный к аналогичным объектам в математике, например, класс матрица или вектор. Совместное использование всех языковых конструкций позволило создать весьма эффективную, но в то же самое время очень гибкую стандартную библиотеку шаблонов (standard template library – STL), включающую все основные способы хранения данных и базовые алгоритмы обработки этих данных. Существует построенная на этой библиотеке, например, библиотека MTL (matrix template library – библиотека шаблонов матрицы), которая позволяет достаточно эффективно обрабатывать матрицы произвольной размерности с произвольным типом хранимых данных.

К сожалению, богатая история развития языка C++ привела к появлению огромного количества разночтений и, фактически, различных диалектов этого языка. Усилия консорциума разработчиков привели к тому, что в 1998 г. был утвержден стандарт этого языка. Однако далеко не все существующие компиляторы языка С++ совместимы с этим стандартом.

Borland Delphi

В основе этой системы программирования лежит сильно модифицированный фирмой Borland язык Object Pascal. Язык изменен настолько сильно, что правильнее его называть языком Delphi. Первая версия этой среды разработки была ориентирована на ОС Windows 3.x и в то время стала прорывом в области разработок программ с интерфейсом пользователя. Основная ниша этой среды разработки – разработка клиентских программ для баз данных.

Для этого в системе разработки программ предусмотрены богатые возможности по разработке интерфейса и несколько различных вариантов доступа к базам данных.

10.2.3 Borland C++Builder

Эта система разработки распространена значительно меньше предыдущей. Однако она имеет ряд принципиальных преимуществ, которые позволяют о ней говорить как о реально используемой платформе. В частности, компилятор C++, на базе которого построена эта система, очень близок к стандарту языка (вообще говоря, начиная с 5-й версии, Borland C++Builder получил сертификат соответствия стандарту, хотя на самом деле небольшие отличия есть). Все специализированные средства языка (которых нет в стандарте) являются расширениями и не противоречат стандарту.

В основу положена та же библиотека, которая лежит в основе системы Delphi. И соответственно, эта система обладает всеми теми же возможностями, добавляя возможности, присущие стандарту языка C++.

К недостаткам следует отнести сравнительно большой объем исполняемого кода и несколько худшие (по сравнению с Visual C++) скоростные показатели для программ графического интерфейса.

Система Maple

Системы компьютерной математики класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, как система компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных вычислений. Система содержит средства для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего мира, систем и устройств различного назначения. Все это сочетается с новейшими и весьма эффективными средствами визуализации вычислений.

Maple - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой), редактор для подготовки и редактирования документов и программ, многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме, справочную систему с тысячью примеров, ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений, численный и символьный процессоры, систему диагностики, библиотеки встроенных и дополнительных функций, пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ. Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из окна системы. Она реализована на больших ЭВМ, ПК класса IBM PC, Macintosh и др.

Ядро системы Maple используется целым рядом систем компьютерной математики, например, таких, как MatLAB и MathCAD.

Система Mathematica

Система Mathematica разработана фирмой Wolfram Research. Основная идея разработчиков – объединить все известные понятия и методы математики в единую универсальную систему, способную функционировать на любой вычислительной платформе. Эта система дает возможность решать большое количество достаточно сложных задач, не вдаваясь в тонкости программирования, что привело к её широкому использованию в таких науках, как физика, биология, экономика и т.д.

Система Mathematica состоит из двух частей – ядра, которое, собственно, и проводит вычисления, выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, фактически задающего внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и программой. Пользователь записывает все выкладки в основном рабочем документе программы – notebook («записная книжка»). Внешний вид рабочего документа на экране монитора в большей или меньшей степени зависит от типа платформы (Windows, Macintosh, Unix) и определяется интерфейсным процессором, своим для каждой платформы.

Notebook - полностью интерактивный документ, содержащий текст, таблицы, графики, вычисления и другие элементы. Документы могут быть представлены на экране с различным полиграфическим исполнением, могут включать в себя всевозможные математические или специальные символы. Однако внутреннее представление документов, с которыми работает ядро программы, всегда – не форматируемый текст в виде печатаемых (printable) 7-битовых ASCII-символов. Это позволяет легко переписывать документы с одной платформы на другую.

Язык программирования Mathematica рассматривается как единый универсальный язык программирования и математики. Он является беспрецедентно гибким и интуитивным языком, содержит уникальную комбинацию математических и вычислительных обозначений. Основная унифицирующая идея языка - рассматривать любой объект как символьное выражение (это касается не только привычных структур данных, но и графиков, звуков и даже ячеек, и даже самого документа). Это делает легким добавление к системе Mathematica новых конструкций языка и изменения интерфейса программы.

Язык включает в себя представление широко известных развитых методов программирования компьютерной науки и добавляет множество новых. На языке программирования можно всегда написать программу в наиболее естественном виде, так как Mathematica включает в себя множество парадигм программирования: процедурное программирование; основанное на операциях со списками (list-based); основанное на операциях со строками (string-based); функциональное; объектно-ориентированное; программирование, задающее правила преобразования выражений («правила переписывания термов»).

В виде встроенных функций реализовано большое множество высокоинтеллектуальных математических операций. В состав Mathematica входят стандартные дополнения, включающие в себя подпрограммы (пакеты), которые значительно расширяют функциональные возможности системы в таких областях, как алгебра, аналитические и численные расчеты, графика, дискретная математика, геометрия, теория чисел, статистика и др.

Система MatLAB

Лидером в области численных и матричных расчетов, а также реализации техники имитационного и ситуационного моделирования является система MatLAB с ее многочисленными пакетами расширения. Однако в области аналитических вычислений она сильно уступает таким системам, как Maple и Mathematica.

Система MatLAB (сокращенно от MATrix LABoratory - Матричная лаборатория) разработана фирмой Math Works. Это интерактивная система, ориентированная в первую очередь на обработку массивов данных, базируется на матричных математических операциях. Даже одиночное число MatLAB рассматривает как матрицу, что позволило существенно повысить скорость выполнения вычислений.

С точки зрения пользователя MatLAB представляет собой богатейшую библиотеку функций. Для облегчения поиска библиотека функций разбита на разделы. Те из функций, которые носят более общий характер и используются наиболее часто, входят в состав ядра MatLAB. Те функции, которые являются специфическими для конкретной области, включены в состав соответствующих специализированных разделов. Эти разделы называются MatLAB Toolboxes (Инструменты). Каждый из них имеет свое собственное название, отражающее его предназначение. Полная комплектация системы MatLAB содержит более 30 инструментальных приложений. В их число входят как достаточно стандартные для математических пакетов средства, так и нетрадиционные: средства цифровой обработки изображений, поиска решений на основе нечеткой логики, аппарат построения и анализа нейронных сетей, средства финансового анализа и др. Кроме того, имеются средства взаимодействия с офисными продуктами фирмы Microsoft - MS Word и MS Excel.

К несомненным достоинствам системы MatLAB следует отнести тот факт, что она базируется на современных математических подходах, имеющих непосредственный выход в практику проектирования технических систем, например таких, как теория робастности и др.

Особое место среди инструментальных приложений занимает система визуального моделирования SIMULINK. В определенном смысле SIMULINK можно рассматривать как самостоятельный продукт фирмы Math Works, однако он работает только при наличии ядра MatLAB и использует многие функции, входящие в его состав.

MatLAB является платформно-независимой системой, так как может работать под управлением нескольких операционных систем: Windows, UNIX, MacOS. При этом технология моделирования с помощью SIMULINK остается неизменной.

Система MathCAD

Система MathCAD разработана фирмой MathSoft. Она существенно отличается от аналогичных прикладных систем, таких, как MatLAB, Mathematica, Maple, тем, что является единственной прикладной системой, в которой описания математических задач и их решений задаются с помощью обычных в математике символов, формул и операторов, а документ MathCAD выглядит как страницы учебника или научной статьи.

MathCAD - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для решения математических задач в самых разных областях науки, техники и образования. Ранние версии MathCAD вообще не имели средств обычного программирования, а имели лишь средства визуально-ориентированного программирования в виде шаблонов математических операций, из которых составлялись математические выражения. Возможность задания программных модулей появилась, начиная с версии MathCAD PLUS 6.0. Программные модули, в сущности, являются функциями, но описанными с применением программных средств.

Последние версии MathCAD допускают применение внешних расширений: электронных книг, пакетов расширений и библиотек. Внешние библиотеки чаще всего являются справочниками. Пакеты расширений и сопровождающие их электронные книги имеют различное назначение и ориентированы, как правило, на выполнение узкоспециальных вычислений. Пакеты расширений предоставляют следующие возможности: осуществлять вейвлет преобразования, анализ временных рядов, финансовые расчеты, обработку сигналов и изображений, расчеты по прикладной статистике, механике, дифференциальным уравнениям и т.д. Существенными дополнениями к системе являются пакеты расширения графических возможностей, численных методов.

В MathCAD возможна интеграция с текстовым процессором Word, электронными таблицами Excel, графической системой Axum, пакетом научной и инженерной графики Visio, с пакетом SmartSketch LE, который позволяет включать в состав документов MathCAD довольно сложные конструкторские чертежи, с пакетом VisSim - моделирующей программой, в которой объекты задаются блоками, между которыми указываются дополнительные связи.

Привычный вид математических формул, встроенный язык программирования, широкие возможности в отображении графической информации, представление текстовых комментариев с использованием любых символов, доступных в Windows, возможность проводить расчеты любой сложности и готовить документы высокого качества - все это характеризует систему MathCAD.

Система STATISTICA

Программная система STATISTICA разработана фирмой Copyright StatSoft. Это современный пакет для статистического анализа данных, в котором реализованы все новейшие компьютерные и математические методы анализа данных. Это - описательные статистики; анализ многомерных таблиц; многомерная и нелинейная регрессии; подгонка распределений; дискриминантный, кластерный, факторный, дисперсионный и ковариационный анализы; структурные модели; прогнозирование временных рядов; непараметрическая статистика; анализы надежности предпочтений, Монте-Карло, выживаемости и т.д. Система STATISTICA подходит для применения в любой области: маркетинге, финансах, страховании, бизнесе, промышленности, медицине и т.д.

Система EXCEL

Табличный процессор EXCEL входит в самый популярный пакет автоматизации офисной деятельности Microsoft Office. EXCEL - одна из самых мощных и гибких систем обработки электронных таблиц. Эта система может работать не только с двумерными, но и с трехмерными таблицами, представленными листами с двумерными таблицами.

EXCEL широко используется для подготовки прекрасно иллюстрированных финансово-экономических и других документов. Этот процессор содержит сотни математических и экономических функций, что позволяет решать множество задач в области естественных и технических наук.

Возможности системы EXCEL можно использовать для анализа внешних данных, представленных в Microsoft FохPro, Access, Paradox, dBASE, SQL Server, а также базы данных сторонних производителей, поддерживающих технологию OLE (Object Linking and Embedding - связывания и внедрения объектов).

В системе EXCEL можно создавать макросы и приложения с помощью Visual Basic for Applications (VBA). Visual Basic for Applications - это среда разработки приложений на базе программ, входящих в пакет Microsoft Office. Одно из главных достоинств языка Visual Basic for Applications заключается в том, что созданные средствами EXCEL VBA-макросы можно без труда использовать в других программах фирмы Microsoft.

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

2. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972. - 544 с.

3. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. - М.: Наука, 1982. - 200 с.

4. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. - М.: Наука, 1987. - 232 с.

5. Горский А.А., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса Изв. РАН Теория и системы управления. - 1998. - №1. - С. 144–148.

6. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 832 с.

7. Красовский А.А., Буков В.Н., Шендрик В.С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. - М.: Наука, 1977. - 272 с.

8. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Том I. - М.: Наука, 1976. - 304 с.

9. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Том II. - М.: Наука, 1976.- 400с.

10. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов. - Автоматика и телемеханика. - 1960. - №1. - С. 436–441; 1960. - №5. - С.561–568; 1960. - №6. - С. 661–665; 1960 - №4. - С. 425–435; 1962. - №11. - С. 1405–1413.

11. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. - М.: Энергия, 1973. - 440 с.

12. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП «РАСКО», 1991. - 272 с.

13. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. - М.: Мир, 1987. - 480 с.

14. Решетникова Г.Н. Синтез и моделирование дискретных адаптивных систем (гос. Регистр. №50880000594) Алгоритмы и программы: Информационный бюллетень. - 1989. - №1. - С. 10.

15. Решетникова Г.Н., Смагин В.И.. Адаптивное управление по локальным и квазилокальным критериям: Учебное пособие по курсу «Адаптивные системы». - Томск: ТГУ,1993. - 27 с.

16. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. - 171 с.

17. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с.

18. Справочник по теории автоматического управления Под ред. А.А.Красовского. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. 6

7 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ.. 7

7.1 Элементы теории погрешности. 8

7.2 Приближение данных функциями. 11

7.2.1 Интерполирование. 12

7.2.2 Сплайн-функции. 23

7.2.3 Аппроксимация данных методом наименьших квадратов 28

7.3 Численное дифференцирование. 36

7.4 Численное интегрирование. 38

7.4.1 Интерполяционные квадратурные формулы.. 39

7.4.2 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Квадратурные формулы Гаусса. 45

7.5 Решение нелинейных уравнений и систем.. 48

7.5.1 Решение нелинейных уравнений. 49

7.5.2 Метод Лобачевского при решении алгебраических уравнений 58

7.5.3 Решение систем нелинейных уравнений. 63

7.6 Решение задач матричной алгебры.. 64

7.6.1 Некоторые понятия матричной алгебры.. 65

7.6.2 Обусловленность систем и матриц. 69

7.6.3 Метод Гаусса. 73

7.6.4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 75

7.7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем 84

7.7.1 Методы Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 85

7.7.2 Правило Рунге. 87

7.7.3 Методы Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. 89

7.7.4 Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. 90

7.7.5 Методы Адамса при решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. 91

7.7.6 Метод сеток решения линейных краевых задач. 93

7.7.7 Метод коллокации решения краевых задач. 96

8 Моделирование систем управления.. 99

8.1 Описание систем в пространстве состояний. 99

8.2 Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов 103

8.2.1 Оптимальное управление при минимизации классического квадратичного функционала. 105

8.2.2 Оптимальное управление при минимизации функционала обобщенной работы.. 107

8.2.3 Оптимальное управление при минимизации локального квадратичного критерия. 111

8.2.4 Синтез следящей системы управления. 112

8.3 Моделирование систем оптимального управления. 114

8.3.1 Основные понятия цифровых систем управления. 114

8.3.2 Моделирование поведения управляемого объекта. 116

8.3.3 Синтез оптимального управления. 119

8.4 Моделирование систем управления при случайных внешних воздействиях. 124

8.4.1 Моделирование поведения объекта при наличии внешних возмущений. 124

8.4.2 Описание математической модели измерительного комплекса 126

8.4.3 Оценивание состояния модели объекта. 127

8.4.4 Синтез управляющих воздействий по оценкам состояния 131

8.5 Синтез адаптивной следящей системы.. 134

8.5.1 Основные понятия адаптивных систем управления. 135

8.5.2 Одновременное оценивание состояния и параметров модели объекта 136

8.6 Учет ограничений и запаздываний по управлению.. 140

8.7 Общая схема синтеза адаптивных систем управления. 141

9 Примеры построения математических моделей 144

9.1 Построение математических моделей прямолинейного и вращательного движения. 144

9.1.1 Математическая модель прямолинейного движения. 144

9.1.2 Математическая модель вращательного движения. 146

9.2 Макроэкономическая модель динамики фондов производственного накопления и потребления. 147

9.3 Построение математических моделей производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса. 148

10 Программные средства моделирования.. 153

10.1 Языки программирования. 154

10.1.1 Язык Fortran. 154

10.1.2 Язык С.. 154

10.1.3 Язык С++. 155

10.1.4 Языки Pascal и Object Pascal 158

10.2 Системы разработки программного обеспечения. 158

10.2.1 Microsoft Visual C++ и MFC.. 158

10.2.2 Borland Delphi 159

10.2.3 Borland C++Builder 159

10.3 Специализированные математические пакеты.. 160

10.3.1 Система Maple. 161

10.3.2 Система Mathematica. 161

10.3.3 Система MatLAB.. 163

10.3.4 Система MathCAD.. 164

10.3.5 Система STATISTICA.. 166

10.3.6 Система EXCEL. 166

Литература.. 168

Предисловие

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Настоящее время характеризуется резким расширением применения математики практически во всех сферах деятельности человека. Это во многом связано с созданием и быстрым развитием средств вычислительной техники. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию различных разделов науки: химии, экономики, биологии, геологии, психологии, медицины, конкретных разделов техники и др. Процесс математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования. В физике или механике, например, построение математических моделей для описания различных явлений природы и изучения этих моделей с целью объяснения старых или предсказания новых эффектов явлений являются традиционными. Современные успехи в решении таких важных для общества проблем, как атомные, космические, экономические, вряд ли были бы возможны без применения вычислительной техники и численных методов. Быстрое проникновение математики во многие области знания, в частности, объясняется тем, что математические модели и методы их исследования применимы сразу ко многим явлениям, сходным по своей формальной структуре. Часто математическая модель, описывающая какое-либо явление, появляется при изучении других явлений или при абстрактных математических построениях задолго до конкретного рассмотрения данного явления.

Математические модели реальных объектов и процессов являются, как правило, достаточно сложными. Поэтому моделирование необходимо осуществлять с помощью вычислительной техники с использованием вычислительных алгоритмов.

К вычислительным алгоритмам, которые используются для моделирования, предъявляются следующие основные требования:

1) реализуемость - возможность решения задачи за допустимое время;

2) экономичность – получение решения за минимальное время среди эквивалентных по точности алгоритмов;

3) отсутствие аварийных остановов ЭВМ в процессе вычислений;

4) сходимость итерационных алгоритмов, применяемых для решения конкретных задач;

5) вычислительная устойчивость – отсутствие накопления суммарной погрешности за счет влияния погрешности округления.

Для решения практически каждой задачи существует несколько численных методов. Выбор метода определяется конкретной задачей и условиями ее реализации. В настоящем учебном пособии будут рассмотрены лишь некоторые численные методы, позволяющие осуществлять моделирование с помощью вычислительной техники.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 388; Нарушение авторского права страницы