Элементы теории погрешности

 

Результаты вычислений особенно достаточно большого объема, что характерно для моделирования реальных процессов, всегда являются неточными. Это вызвано накоплением различного рода погрешностей, влияние которых необходимо учитывать.

Основными источниками погрешностей являются:

1) исходные данные, которые для вычислений часто берутся из эксперимента, а каждый эксперимент дает результат с ограниченной точностью;

2) использование иррациональных величин, которые в ЭВМ представляются приближенно;

3) применение итерационных методов решения задач, которые дают только приближенные результаты;

4) необходимость округления результатов при умножении и делении.

Общепринятой является следующая классификация погрешностей:

1) неустранимая погрешность, которая возникает за счет неточности исходных данных;

5) погрешность метода, возникающая в результате решения задачи;

6) погрешность округления, которая всегда присутствует в вычислениях.

В вычислительной математике большинство задач может быть записано в виде:

                              (7.1.1)

где  и  принадлежат заданным пространствам  и ,  – некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании  по заданному , либо в отыскании  по заданному . Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные задачи, является замена пространств ,  и функции  некоторыми другими пространствами ,  и функцией , при этом замена должна быть сделана таким образом, чтобы решение новой задачи

                               (7.1.2)

где , , было в каком то смысле близким к точному решению исходной задачи и его можно было бы практически отыскать. За счет погрешности исходных данных и округления фактически была решена задача

.                              (7.1.3)

При этом полная погрешность решения задачи может быть записана в виде:

                        (7.1.4)

Первая скобка в (7.1.4) характеризует погрешность метода, а вторая – погрешность, возникающую за счет неточности исходных данных и округления, которая называется вычислительной погрешностью. И полная погрешность результатов вычислений складывается из вычислительной погрешности и погрешности метода.

Обозначим точные значения некоторых величин через , , , …, а соответствующие им приближенные значения через , , , … .

Абсолютной погрешностью величины  называется разность между точным и приближенным значением этой величины:

.                             (7.1.5)

Предельной абсолютной погрешностью  величины  называется наименьшая из верхних границ , которая может быть найдена, исходя из способа получения числа .

Относительной погрешностью величины  называется отношение модуля абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины :

.                               (7.1.6)

Предельной относительной погрешностью  величины  называется от­ношение предельной абсолютной погрешности  к абсолютному значению величины :

.                              (7.1.7)

Рассмотрим зависимость абсолютной и относительной погрешностей функции от соответствующих погрешностей ее аргументов. При этом функцию можно рассматривать как модель вычислительного процесса.

Пусть  - заданная функция  аргументов , по значениям которых требуется определить . Будем предполагать, что:

1) функция  непрерывно дифференцируема в области определения своих аргументов;

2) величины  и  необходимо определить с небольшой точностью;

3) погрешности аргументов настолько меньше значений соответствующих аргументов, что в сумме ими можно пренебречь.

По определению имеем:

      (7.1.8)

где  - некоторая точка отрезка, соединяющего  и , а  - частная производная функции  по  в точке . Последнее равенство в (7.1.8) получено согласно формуле конечных приращений. Учитывая предположение относительно малости погрешностей аргументов, заменим  на  и получим:

                         (7.1.9)

и

.                         (7.1.10)

Относительные погрешности функции будут определяться следующим образом:

,    (7.1.11)

.   (7.1.12)

 

Примеры.

1. Пусть . Тогда

, .

2. Пусть . Тогда

, .

Так как погрешности суммируются, то может случиться так, что через достаточно большое число операций погрешности станут столь большими, что полностью исказят результаты вычислений. В связи с этим необходимо всегда учитывать влияние погрешностей, возникающих при моделировании.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: