Численное дифференцирование

 

К численному дифференцированию приходится прибегать в том случае, когда функция , для которой нужно найти производную, задана таблично или же функциональная зависимость  и  имеет очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности.

В тех случаях, когда численное дифференцирование неприменимо, вместо функции  рассматривают интерполяционный многочлен  и считают производную от  приближенно равной производной от . Естественно, что при этом производная от  будет найдена с некоторой погрешностью.

Пусть требуется найти производную функции  в некоторой точке , если таблица значений функции  задана в произвольных точках . В этом случае наиболее удобным является использование в качестве  интерполяционного многочлена Ньютона. При этом для построения многочлена Ньютона в качестве первой точки привлекается ближайшая к  табличная точка, а затем остальные, в порядке их удаленности от точки . Например, если  находится вблизи табличной точки , то для вычисления значения первой производной функции  в точке  получаются следующие выражения:

                       (7.3.1)

Функцию можно записать в виде:

                     (7.3.2)

и, дифференцируя это тождество  раз (в предположении, что  и  имеют производные -го порядка), имеем

.                   (7.3.3)

Так как за приближенное значение  принимается , то погрешность дифференцирования есть . При замене  интерполяционным многочленом предполагается, что остаточный член  мал, но из этого вовсе не следует, что мало , так как производные от малой функции могут быть весьма велики. На самом деле практика показывает, что при таком способе вычисления производных  получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычислении производных высших порядков.

Если табличные значения являются равноотстоящими, то есть , то для вычисления значения первой производной в точке , лежащей вблизи табличной точки , получаются следующие выражения:

               (7.3.4)

где  используются для обозначения выражений, имеющих порядок малости, превышающий величины  и  соответственно. Несмотря на то, что с помощью последнего выражения в (7.3.4) получается более точный результат, использовать это выражение для вычисления первой производной нужно с большой осторожностью, так как достаточно часто это приводит к потере устойчивости решения.

Для вычисления второй производной в случае, если точка  находится вблизи табличной точки , используется следующее выражение:

. (7.3.5)

Аналогично можно получить выражения для вычисления производных и более высоких порядков. Кроме того, можно использовать и другие подходы для вычисления значений производных функций, заданных таблично, например, метод неопределенных коэффициентов.

Заметим, что замена производных разностными отношениями типа (7.3.4) и (7.3.5) часто используется при моделировании задач математической физики.

 

Численное интегрирование

 

Будем рассматривать задачу вычисления интеграла при помощи некоторого числа значений интегрируемой функции. Достоинство этого метода состоит в его простоте и универсальности.

Пусть  есть любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси и требуется найти приближенное значение интеграла

                              (7.4.1)

по  значениям функции  в точках . Многие правила численного интегрирования основаны на замене интегрируемой функции  на всем отрезке  или на его частях на более простую функцию, близкую к , легко интегрируемую точно и принимающую в точках  те же значения, что и . В качестве такой функции достаточно часто используют алгебраический многочлен или рациональную функцию. В том случае, если интегрируемая функция  является достаточно гладкой, то можно рассчитывать хорошо приблизить ее многочленом невысокой степени или несложной рациональной функцией. Если же сама функция  имеет особенности, то это затруднит такое приближение или сделает его вообще невозможным. В этом случае заранее освобождаются от этих особенностей путем их выделения. Для этого функцию  представляют в виде произведения двух функций:

,                           (7.4.2)

где  имеет те же особенности, что и , и называется весовой функцией или весом, а  является достаточно гладкой функцией. Тогда задача заключается в вычислении интеграла вида:

.                           (7.4.3)

Правила вычисления интегралов в большинстве своем являются специализированными, предназначенными для численного интегрирования функций, имеющих те же особенности, что и весовая функция . Поэтому при вычислении интеграла (7.4.3) функция  считается фиксированной функцией, а  – любой достаточно гладкой функцией на .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: