Введение в теорию множеств

Введение в теорию множеств

Понятие множества

Мы постоянно встречаемся с множествами. Мы говорим о множестве студентов в группе, о множестве точек на прямой линии, о множестве целых чисел. Можно рассматривать также множество букв на данной странице, множество страусов в Африке, множество планет солнечной системы.

Возникает вопрос: что такое множество?

В математике нет определения понятия множества. Дело в том, что любое определение можно дать только на основании других, введенных ранее понятий. Таким образом, для построения теории необходимы исходные, первичные понятия. Понятие множества является одним из основных первичных понятий современной математики.

Под множеством понимают совокупность каких-нибудь предметов (объектов).

Объекты или предметы, из которых состоят множества, называются его элементами. Таким образом, каждое множество состоит из элементов.

Множества обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а их элементы — малыми: а, b, с, … .

Для некоторых числовых множеств используются специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых неотрицательных чисел — буквой Z ₀, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q и множество всех действительных чисел — буквой R.

Если  есть множество, а  какой–нибудь объект, то запись  означает, что х является элементом множества А (принадлежит множеству А, содержится в А), если же х множеству А не принадлежит, то пишут:
(или ).

Например, если  — множество всех четных чисел, то , , , .

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называется конечным, если есть смысл ставить вопрос о том, сколько элементов содержится в этом множестве, т.е. когда существует число, которым можно выразить количество элементов данного множества, при этом не важно, известно или нет это число, важно только, чтобы это число существовало.

Когда данное множество не является конечным, т.е. взяв любое натуральное число n, можно в данном множестве найти элементов больше, чем n, то данное множество называется бесконечным.

Так множество букв алфавита конечное, а множество точек прямой бесконечное.

Рассматривают в математике и множество, которое не содержит ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают
символом Æ. Примерами пустого множества могут служить: множество действительных корней уравнения , множество людей на Солнце.

Элементами множества могут быть множества. Рассмотрим, например, множество студенческих групп на первом курсе. Его элементами являются группы. Каждая группа в свою очередь — множество студентов.

Упражнения

1. Как можно назвать следующие множества:

а) множество артистов, работающих в одном театре;

б) учеников, которые учатся в одном классе;

в) людей в Республике Беларусь?

2. М –– множество музыкальных инструментов эстрадного оркестра. Принадлежат ли этому множеству:

а) барабан;

б) гитара;

в) струна гитары;

г)  балалайка?

3. Назовите элементы множества электроприборов, имеющихся в вашем доме.

4. Приведите примеры множеств, состоящих из:

а) чисел;

б) четырехугольников;

в) животных.

1.2. Способы задания множества

Множество можно считать заданным, если указано каким–нибудь способом, из каких элементов это множество состоит, т.е. когда о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать перечислением (в произвольном порядке) всех его элементов.

Если множество А состоит из элементов а, b, с, , то этот факт записывают так:

и читают: «А — множество, элементы которого а, b, с, ».

Отмеченным способом задания множества пользуются только в том случае, когда множество является конечным и содержит небольшое число элементов.

Множество (конечное и бесконечное) можно задать и другим способом: указанием характеристического свойства элементов множества, т.е. свойства, которым владеют все элементы этого множества и только они. Например, множество М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} можно задать характеристическим свойством как множество натуральных чисел, меньших 8. Свойство, которым владеет любой элемент данного множества, –– «быть натуральным числом,
меньшим 8».

Множество, определяемое некоторым характеристическим свойством, обозначают так: в фигурных скобках пишут обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают характеристическое свойство элементов данного множества. Например, множество М натуральных чисел, меньших 8, записывают так: М = {x|x Î N, x < 8}.

Отметим, что другой способ задания множества в сравнении с первым более общий, так как его можно использовать для задания множеств, которые содержат как конечное, так и бесконечное число элементов. Необходимо также отметить, что в ряде случае одно и то же множество можно задать и первым и другим способом.

Рассмотрим следующие числовые множества, называемые числовыми промежутками:

{x|x Î R, a £ x £ b}, {x|x Î R, a < x < b}, {x|x Î R, a < x £ b}

({x|x Î R, a £ x < b}), {x|x Î R, x ³ a} ({x Î R, x £ a}),

{x|x Î R, x > a} ({x|x Î R, x < a}).

Эти числовые множества соответственно называются отрезком, интервалом, полуинтервалом, полупрямой, открытой полупрямой и обозначаются [a, b], (a, b), (a, b], ([a, b)), [a, +¥), ((–¥, a]), (a, +¥) ((–¥, a)).

Упражнения

1. Запишите следующие множества, перечислив их элементы:

А — множество разных букв в слове «математика»;

В — множество цветов спектра;

С — множество одноцветных шахматных фигур;

D — множество всех целых положительных степеней числа 3,
меньших 250;

М — множество всех положительных простых чисел, меньших 40.

Упражнения

 

1. Найдите все подмножества множества М = {тетрадь, ручка, карандаш}.

2. Какие из следующих утверждений являются истинными, какие лживыми:

а) множество всех ромбов является подмножеством множества всех     параллелограммов;

б) множество всех ромбов является подмножеством множества всех     прямоугольников;

в) множество всех квадратов является подмножеством множества всех         прямоугольников;

г)  множество всех квадратов является подмножеством всех ромбов;

д) множество всех прямоугольников является подмножеством
              множества всех трапеций?

3. Дано множество А = {1, 2, 3, 4}. Образуйте все подмножества множества А, какие содержат:

    а) два элемента;

    б) три элемента.

Объединение множеств

Допустим, что необходимо составить группу студентов, знающих немецкий или французский язык. Понятно, что в эту группу входят те, кто знает немецкий язык, и те, кто знает французский язык. Конечно, в нее войдут и студенты, знающие оба языка.

Пусть А — множество букв, входящих в слово «цифра», В — множество букв, входящих в слово «три»:

А = {ц, и, ф, р, а}; В = {т, р, и}.

Запишем теперь выражение «цифра три». Оно состоит из букв ц, и, ф, р, а, т.

Множество {ц, и, ф, р, а, т} состоит из букв, входящих или в множество А, или в множество В (или в оба множества). Множество, полученное таким образом из множества А и В, называется объединением этих множеств.

Определение. Множество элементов, которые принадлежат А или В, т.е. принадлежат или А, или В, или А и В одновременно, называется объединением множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают А È В.

На рис. 3. показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

 

 

Рис. 3

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения

х Î А È В Û х Î А или х Î В.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 5, 8}, В = {2, 4, 8, 10}. Тогда А È В =
= {1, 2, 4, 5, 8, 10}. В самом деле, число 1 входит в объединение А È В, так как оно входит в А: 1 Î А È В, так как 1 Î А. По той же причине числа 2, 5, 8 входят в А È В. Числа 4 и 10 входят в А È В, т.к. они входят в В.

Пример 2. Пусть А = {1, 4, 7, 9}. Какие элементы входят в объединение
А È А?

Из определения следует, что в А È А входят те же самые числа, т.е.
А È А = {1, 4, 7, 9}. Значит, А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А.
В частности, А È Æ = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств
А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств  обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Надо доказать, что множество (А È В) È С равно множеству
А È (В È С). Значит, необходимо доказать, что каждый элемент множества
(А È В) È С принадлежит множеству А È (В È С) и, наоборот, каждый элемент множества А È (В È С) принадлежит множеству (А È В) È С.

Пусть х Î (А È В) È С. Значит, х Î А È В или х Î С. Отсюда следует, что х Î А, или х Î В, или х Î C. Когда х Î А, то х Î А È (В È С). Из того, что х Î В или х Î С следует, что х Î В È С, но тогда х Î А È (В È С).

Пусть теперь х Î А È (В È С), тогда х Î А или х Î В È С. Значит, х Î А или х Î В, или х Î С. Когда х Î А или х Î В, то х Î А È В, и тогда
х Î (А È В) È С. Из того, что х Î С вытекает, что х Î (А È В) È С.

Таким образом, доказали, что

(А È В) È С = А È (В È С).

На основании сочетательного закона в выражениях (А È В) È С,
А È (В È С) скобки можно опустить и писать: А È В È С.

Приведем еще примеры объединения множеств.

Пример 3. А –– множество всех четных натуральных чисел, т.е.
А = {2, 4, 6, …}, В –– множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, т.е.
В = {3, 6, 9, …}, С –– множество всех нечетных натуральных чисел, которые не делятся на 3, т.е. С = {1, 5, 7, …}. Объединение множеств А, В и С совпадает с множеством натуральных чисел.

Пример 4. А –– множество корней уравнения х² – 2х + 1 = 0,
В –– множество решений уравнения х² – 2х – 3 = 0. Тогда А È В –– множество решений уравнения (х² – 2х + 1) (х² – 2х – 3) = 0.

 

Упражнения

1. Известно, что а Î А È В. Верно ли, что

    а) а Î А;

    б) а Î В;

    в) а Î А или а Î В;

    г) а Î А и а Ï В?

2. Найдите объединение множеств А и В, если:

а) А = {11, 13, 15, 27}, В = {11, 26, 27, 101};

б) А = {11, 27, 35, 100}, В = {11, 27, 35, 100, 101, 121};

в) А = {23, 43, 53, 63}, В = Æ;

г)  А = {102, 203, 305, 400, 435},            В = {203, 400}.

Пересечение множеств

Пусть А — множество букв, входящих в слово «цифра», В — множество букв, входящих в слово «три». Сформулируем вопрос: какие буквы входят и в то и в другое слово? Это буквы р, и. Множество {р, и} состоит из тех букв, какие входят и в множество А, и в множество В. Множество, полученное таким образом из множеств А и В, называется пересечением множеств А и В.

Определение. Множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В, называется пересечением множеств А и В.

Пересечение множеств А и В обозначается А Ç В. Пересечение множеств

А и В иллюстрируется на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Пример 1. Пусть А = {1, 5, 7, 8}, В = {2, 5, 7, 9, 10}, тогда
А Ç В = {5, 7}.

Пример 2. Пусть А = {1, 5, 10, 13}, В = {2, 7, 8}. Видим, что нет элементов, принадлежащих одновременно множеству А и множеству В.

В таком случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что А и В не пересекаются или что их пересечение есть пустое множество: А Ç В = Æ.

Значит, для образования пересечения А Ç В двух множеств А и В надо взять только те элементы, которые входят в оба множества. Таким образом, согласно определению пресечения

х Î А Ç В Û х Î А и х Î В.

Рассмотрим еще примеры пресечения.

Пример 3. Пересечение множества прямоугольников и множества ромбов есть множество квадратов.

Пример 4. Пересечение множества А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} натуральных делителей числа 48 с множеством В = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} натуральных делителей числа 56 является множество {1, 2, 4, 8}. Элементы этого множества являются общими делителями чисел 48 и 56.

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А Ç Æ = Æ.

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств  (i = 1, 2, …, n) обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам , .

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);

2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что
х Î А Ç С. Значит, х Î (А Ç С) È (В Ç С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В Ç С, но тогда х Î (А Ç С) È (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что
х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

 

Упражнения

 

1. Известно, что а Î А Ç В. Можно ли на основании этого утверждать, что: а)    а Î А;

б) а Î В;

в) а Î А и а Ï В;

г)  а Î А и а Î В?

2. Найдите пересечение множеств А и В:

а) А = {а, в, с, к, п}, В = {п, е, в, с, р}; 

б) А = {а, в, с, к, п}, В = {а, с, к};

Упражнения

1. Известно, что . Какие из следующих высказываний истины:

а) х Î А; 

б) х Ï А; 

в) ; 

г)  х Ï В; 

д) х Ï А и х Î В; 

2. Найдите разности А \ В и В \ А множеств А и В, если:

а) А = {1, 5, 7, 9, 10},           В = {5, 7, 11, 12, 13}; 

б) А = {a, b, c, d, e, f},           В = {а, f, k, m, n};

в) А = {f, m, n, h};               В = {h, n, f, m};

Упражнения

 

1. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение  множеств А и В, если:

а) А = {1, 2, 5},           В = {–1, 2};  

б) , ;

в) А = {–1, –2, –3, 0, 5}; ;

г)  ,   ;

д) , ;

е)  , .

ж) ,                     В = {2}.

2. Все элементы декартового произведения множеств Х и Y изображены на координатной плоскости.

Запишите множества Х и Y (рис. 15).

 

 

Рис. 15

3. На координатной плоскости постройте прямоугольник с вершинами
A (–1; –2), B (–1; 1), C (3; 1), D (3; –2). Множество точек этого прямоугольника запишите в виде декартового произведения двух множеств.

4. Докажите, что при любых X, Y, Z

X Ì Y Þ X ´ Z Ì Y ´ Z .

 

Упражнения

 

1. Даны множества Х = {3, 5, 7} и Y = {6, 8, 10, 12}. Между ними установлено соответствие «Число х меньше числа у», х Î Х, y Î Y. Постройте граф и график этого соответствия.

2. Вычислите периметры фигур, данных на рисунке 18. Соответствие между какими множествами установлено? Обозначая каждую фигуру точками , , ,  постройте граф этого соответствия.

 

Рис. 18

3. На рисунке 19 дан граф соответствия Р. Запишите все пары чисел, которые находятся в этом соответствии. Постройте график соответствия Р. Установите между данными множествами X и Y два других соответствия.

 

Рис. 19

 

4. Элементы множества С = {7, 20, 16, 35} и множества
D = {16, 21, 28, 35} находятся в соответствии : «Число с меньше или равно числу », с Î С, D Î d. Найдите:

    а) с каким числами находится число 16 в соответствии ;

    б) какие числа находятся в соответствии  с числом 28;

    в) график соответствия ;

    г)  граф соответствия .

5. Соответствие S между множествами Х = {1, 3, 4, 6} и Y = {2, 4, 6, 8} задано     перечислением пар (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 6), (4, 8),
(4, 4), (6, 6)    элементов, находящихся в соответствии S.

    а) Назовите характеристическое свойство данного соответствия.

    б) Постройте граф соответствия S.

    в) На координатной плоскости постройте график соответствия.

6. Графиком соответствия , заданного между множествами Х и Y, является квадрат ABCD (рис. 20). Назовите координаты пяти точек, принадлежащих     этому графику. Укажите характеристическое свойство чисел, которые принадлежат множествам Х и Y.

Рис. 20

Упражнения

 

1.   Пусть Х — множество рек Беларуси, Y — множество городов Беларуси. Соответствие R между элементами Х  и Y задано так: «Река х протекает через город у»; х Î Х, y Î Y. Назовите соответствие R^–1, обратное R.

2.   Между элементами множеств Х = {1, 3, 7, 9, 10} и Y = {1, 2, 4, 5, 8} задано соответствие R = {(1, 1), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (7, 5), (9, 4), (9, 8),
(10, 1), (10, 8)}.

              Задайте соответствие R^–1, обратное R и постройте в одной системе координат графики соответствий R и R^–1.

3.   Даны графики соответствий Р и S (рис. 28). Можно ли утверждать, что соответствия Р и S взаимно обратные.

 

 

Рис. 28

 

4.   Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 29).

 

 

Рис. 29

 

5.   Между множествами А = {а, b, с, d} и В = {1, 3, 4, 5} установили разные соответствия (рис. 30). Какие из них являются взаимно однозначными?

 

 

Рис. 30

 

6.   Даны два произвольные неравные отрезки АВ и С D. Показать, что между множествами точек отрезка АВ и множеством точек отрезка CD можно установить взаимно однозначное соответствие.

7.   Приведите примеры трех множеств, равномощных множеству
X = {m, n, k}.

8.   Докажите, что множество точек полуокружности равномощное множеству точек ее диаметра.

9.   Докажите, что множество точек двух концентрических окружностей разных радиусов равномощные.

10. Докажите, что множество натуральных чисел и множество положительных четных чисел равномощные.

11. Выделите из множества натуральных чисел подмножества, равномощные ему.

 

Функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие. Так, например, путь тела зависит от времени, т.е. каждому моменту времени соответствует определенное значение пройденного пути; площадь круга зависит от его радиуса, т.е. каждому кругу радиуса r соответствует определенное число pr², равное площади круга.

Рассмотрим несколько соответствий, заданных графами (рис. 31), между элементами двух множеств X = {a, b, c, d, k, e} и Y = {1, 3, 5, 7, 9}.

 

Рис. 31

 

Можно заметить, что первые два соответствия обладают следующей особенностью: каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y .

Определение. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует единственный элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Пусть, например, X –– множество людей на земном шаре, Y –– множество целых чисел. Каждому человеку поставим в соответствие его возраст. При этом каждому человеку будет соответствовать некоторое целое число. Получим функцию, заданную на множестве всех людей со значениями в множестве целых чисел.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f, а элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х).

Множество Х называют областью определения функции f и обозначают D(f).

Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f).

Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой
х Î D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если f и g равны как множества, т.е. для любых х, у (х, у) Î f тогда и только тогда, когда (х, у) Î g. Следовательно, функции f и g равны тогда и только тогда, когда D(f) = D(g) и
f(х) = g(х) для каждого х из D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y . Если при этом X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y .

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества
Х на Y .

Функции, заданные на некотором числовом множестве Х и принимающие числовые значения, называют числовыми функциями числового аргумента.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1) заданы два числовых множества Х и Y;

2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

В зависимости от того, каким способом это возможно сделать, существуют различные способы задания функции.

Чаще всего функцию задают формулой, которая показывает, какие математические действия необходимо выполнить над каждым значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Например, если длина ребра куба равна х см, а объем куба у см³, то формула у = х³ задает функцию, областью определения которой будет множество положительных действительных чисел.

Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим. Этот способ задания функции является наиболее важным в математике, поскольку при таком способе задания функции можно вычислить любые значения функции с любой точностью и удобно исследовать свойства функции.

Необходимо отметить, что в некоторых случаях функция задается в области определения не одной формулой, а некоторыми разными формулами для различных частей области определения.

Например, функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Пусть функция задана формулой . Область определения данной функции состоит из тех значений х, при которых имеет смысл выражения , т.е. областью определения является промежуток .

Функцию можно задать и табличным способом, который заключается в том, что функциональная зависимость описывается при помощи таблицы, содержащей некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Табличный способ широко используется при экспериментальных исследованиях. Однако табличный способ задания функции имеет свои недостатки. По таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые имеются в таблице.

 

Упражнения

 

1. На рис. 32 изображены соответствия между элементами множеств
X = {a, b, c, d} и Y = {1, 2, 3, 4}. Какие из этих соответствий являются функциями, а какие нет? Объясните, почему.

 

 

Рис. 32

 

2. Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значение функции f(43), f(56), f(83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2?

3. Рассмотрите таблицы:

а)     

х	–2	–1	0	1	2
у	2	1	0	1	2

 

б)     

х	–2	–1	0	1	2
у	4	1	0	1	4

 

    Являются ли заданные таблицами соответствия функциями? Если да, то попробуйте задать эти функции формулами и укажите их область определения.

4.     

Рис. 33

С повторениями

Из букв з, а, м, о, к можно образовать  различных слов
(не все они имеют смысл). Сколько разных слов можно образовать из букв слова «ротор». Столько же? Оказывается, нет! Только 30. Известная формула числа перестановок в рассматриваемом случае бессильна, так как элементы в «перестановках» повторяются. При перестановке в слове «ротор» местами букв о и р никаких изменений не происходит, остается то же самое слово.

Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Пусть даны k элементов. Пусть первый элемент повторяется  раз, второй  раз,…, k–й повторяется  раз

… .

Если все элементы были бы различными, то мы имели бы n! перестановок.

Элементы а можно переставить  способами, элементы
b ––  способами,…, элементы l –  способами. Но от этого не изменится число перестановок с повторениями. Следовательно, число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторения в  раз. Таким образом, число перестановок с повторениями

.

Пример 1. Сколькими способами можно поставить на книжной полке три экземпляра учебника по алгебре, два экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по белорусскому языку?

Решение.

Пусть данное множество содержит n элементов. Попытаемся образовать размещения по k элементов с повторениями, т.е. в одном размещении тот же самый элемент может повториться 2, 3, …, k раз. Найдем число размещений с повторениями, которое обозначим .

Первый элемент какого–нибудь из отмеченных размещений мы можем выбрать n способами. Второй элемент тоже n способами, тогда пару элементов можно образовать  способами. Третий элемент опять можем выбрать n способами, четвертый также и т.д. Таким образом, размещения из n элементов можем образовать  способами. Значит,

.

Пример 2. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение. Из цифр 0, 2 можем получить  пятизначных чисел.
Но числа, записанные пятью цифрами, первая из которых нуль, не являются пятизначными.

Их столько, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
0, 2 при повторении цифр, т.е  Поэтому ответ:

Рассмотрим следующую задачу: сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

Нам необходимо установить число выборок, составленных из 8 элементов и отличающихся хотя бы одним элементом. Очевидно, что в составе каждой выборки будут повторяться элементы.

Каждый набор пирожных зашифруем нулями и единицами. Сначала запишем столько единиц, сколько включили в набор пирожных первого сорта. Потом напишем нуль. Дальше напишем столько единиц, сколько в набор включили пирожных второго сорта. После этого опять напишем нуль. Снова напишем столько единиц, сколько включили в набор пирожных третьего сорта. После этого опять нуль и столько единиц, сколько включили в набор пирожных четвертого сорта. Если пирожных второго сорта не включили в набор, то этот факт в нашей шифровке окажется отмечен двумя нулями. Если не включили в набор пирожные первого или четвертого сорта, то пишем один нуль.

Например, событие «в набор включили 2 пирожных первого сорта, 3 –– второго сорта, 1 –– третьего сорта и 2 –– четвертого сорта» зашифруем так:

11011101011,

Событие «в наборе 2 пирожных первого сорта, 4 –– третьего и
2 –– четвертого сорта» зашифруем так: 11001111011,

событие «в набор включили 3 пирожных второго сорта, 5 –– третьего сорта» зашифруем так: 01110111110.

Легко заметить, что каждый зашифрованный набор представляет комбинацию 8 единиц и трех нулей. Мы получили перестановки с повторениями, где 1 повторяется 8 раз, а нуль –– 3 раза. Используя формулу , находим число всевозможных наборов пирожных:  Значит, существует 165 различных наборов.

Выборки, встретившиеся в рассмотренной задаче, составлены из элементов одного и того же множества и не отличаются по своему объему, но отличаются по составу (хотя бы одним элементом). Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.

Число сочетаний с повторениями, если объем каждой выборки равен k, а множество, из которого строятся выборки, содержит n элементов, будем обозначать . Имеем:

Таким образом,

        Упражнения

1. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня,
2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

2. Сколько различных слов можно получить из всех букв слова «перестановка»?

3. Сколько шестизначных натуральных чисел можно образовать из трех цифр 4, двух цифр 2 и одной цифры 3?

4. Пятнадцать занумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам. Сколькими способами можно это сделать?

5. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в десятизначной записи которого нет нуля?

6. Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры авиации, погранвойск, артиллерии, офицеры морского флота, ракетных войск и воздушно–десантных войск. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?

7. Сколькими способами 6 пассажиров могут распределиться по 12 вагонам, если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им в вагоне место?

8. Из пункта А в пункт В ведут два шоссе, пересекаемые пятью поперечными дорогами. Сколькими способами можно проехать из А в В, не проезжая дважды одно и то же место?

9. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресатам, если их будут разносить 3 курьера и заранее неизвестно, какому курьеру достанется какое письмо?

10. В некотором государстве (сказочном) не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (максимальное число зубов
равно 32)?

11. Группу из 20 человек можно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую –– 5 и в третью –– 12. Сколькими способами можно это сделать?

12. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?

 

Математической статистики

Операции над событиями

Определение 1. Суммой событий А и В называется третье событие
А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Пусть, например, испытание заключается в стрельбе двух стрелков по мишени (каждый стрелок делает по одному выстрелу). Событие А –– попадание в мишень первым стрелком, событие В –– попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Если мы условимся наступление события обозначать знаком «+», а
ненаступление –– знаком «–», то полную характеристику события А + В будет давать следующая таблица:

Аналогично определяется сумма трех, четырех и т.д. событий. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Рассмотрим пример: А –– «входящий в подъезд человек –– мужчина»,

B –– «входящий в подъезд человек темноволосый»,

C –– «входящий в подъезд человек –– темноволосый мужчина».

Очевидно, что событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и В.

Определение 2. Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В.

Полную характеристику события АВ дает следующая таблица:

Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Определение 3. Событием, противоположным событию  называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает .

Противоположное событие можно определить следующей таблицей:

В дальнейшем мы будем часто использовать запись А = В, означающую равенство между событиями А и В. Уточним смысл этой записи.

Определение 4. События А и В называются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает другое.

Равные события могут иметь различные по форме словесные описания. Например, событие «не все учащиеся данного класса успешно написали контрольную работу по математике» и «по крайней мере один из учащихся данного класса не написал контрольную работу по математике» равны, хотя выражены различными оборотами речи.

Упражнения

1. Событие А –– «попадание в мишень первым выстрелом», событие В –– «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоят события
А + В, А × В?

2. Событие А –– «лотерейный выигрыш автомобиля»,

    Событие В –– «лотерейный выигрыш стиральной машины»,

    Событие С –– «лотерейный выигрыш телевизора»,

    В чем состоит событие А + В + С ?

Их характеристики

Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Определение 1.  Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая конечное число или бесконечную последовательность различных значений, называется дискретной величиной.

Приведем некоторые примеры дискретных случайных величин.

1. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Эта случайная величина может принимать одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Число родившихся мальчиков среди четырех новорожденных. Эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Определение 2. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Например, прирост веса домашнего животного за месяц есть непрерывная случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения –– соответствующими строчными буквами x, y, z.

Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принимать эти значения.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы:

 

Х	х1	х2	…	х n
р	p1	p2	…	pn

 

В верхней строке вписываются все возможные значения х₁, х₂, …, х _n величины X, в нижней строке выписываются вероятности р₁, р₂, …, р _n значений х₁, х₂, …, х _n. Поскольку в результате испытания величина Х принимает одно из значений х₁, х₂, …, х _n, то р₁ + р₂ + … + р _n = 1.

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 5 000 000 бел. руб., 10 выигрышей по 1 000 000 бел. руб. и 100 выигрышей по 10 000 бел. руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для Х есть: х₁ = 0, х₂ = 10 000,
х₃ = 1 000 000, х₄ = 5 000 000. Их вероятности будут р₂ = 0,01; р₃ = 0,001;
р₄ = 0,0001; р₁ = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889. Таким образом, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

 

Х	0	10 000	1 000 000	5 000 000
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

 

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М₁(х₁; р₁), М₂(х₂; р₂), …, М _n(х _n; р _n), (х _i –– возможные значения Х, р _i –– соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Определение 3. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + + х _n р _n .

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Решение. Используя полученную там таблицу, имеем:

М(Х) = 0 × 0,9889 + 10 000 0,01 + 1 000 000 × 0,001 +

+ 5 000 000 × 0,0001 = 1600.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближению равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Допустим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величины Х приняла значения х₁, …, х _k соответственно т₁, …, т _k раз, так, что т₁ + т₂  +… + т _k = n. Среднее арифметическое всех значений, принятых величиной Х, выразится равенством

При достаточно большом числе испытаний  (і = 1, …, k). Поэтому

.

Определение 4. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине:

М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х Y) = М(Х)М(Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами распределения

 

Х	1	2
р	0,2	0,8

 

Х	2	4
р	0,3	0,7

 

Найти математическое ожидание случайной величины Х Y.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М(Х) = 1 × 0,2 + 2 × 0,8 = 0,2 + 1,6 = 1,8.

М(Y) = 2 × 0,3 + 4 × 0,7 = 0,6 + 2,8 = 3,4.

Случайные величины Х и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

М(Х Y) = М(Х)М(Y) = 6,12.

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законами распределения:

 

Х	–2	0	2
р	0,3	0,4	0,3

 

Y	–100	0	100
р	0,4	0,2	0,4

 

Несмотря на то что математические ожидания величин Х и Y одинаковы:

М(Х) = –2 × 0,3 + 0 × 0,4 + 2 × 0,3 = 0,

М(Y) = –100 × 0,4 + 0 × 0,2 + 100 × 0,4 = 0,

однако возможные значения случайных величин Х и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по–разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение 5. Дисперсией D(X) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х – М(Х))².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) = М(Х²) – (М(Х))².

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(С X) = С²D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:

D(Х – Y) = D(Х) + D(Y).

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

 

Х	1	2	3	4	5
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

Решение. Находим математические ожидания случайной величины Х и квадрата ее:

М(Х) = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,3 + 4 × 0,3 + 5 × 0,1 = 3,1;

М(Х²) = 1² × 0,1 + 2² × 0,2 + 3² × 0,3 + 4² × 0,3 + 5² × 0,1 = 10,9.

Отсюда

D(X) = М(Х²) – (М(Х))² = 10,9 – (3,1)² = 1,29.

Определение 6. Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х–числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернули:

.

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Будем говорить, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает значения k (k = 0, 1, 2, 3, …) c вероятностями

,

где k –– число появлений события в n независимых испытаниях, вероятность р появлению события в каждом испытании очень мала, .

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равно параметру этого распределения :

Дисперсия распределения Пуассона равна параметру l:

Упражнения

 

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

 

Х	1	4	6	8
р	0,2	0,1	0,4	0,3

    Построить многоугольник распределения.

2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

 

Х	2	4	10	15
р	0,1	0,5	0,3	0,1

    Построить многоугольник распределения.

3. По мишеням производится 3 выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Рассматривается случайная величина
    Х–число попаданий в мишень. Найти ее закон распределения.

4. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х,     заданной законом распределения:

 

Х	–3	5	10
р	0,2	0,3	0,5

    а)     

 

Х	0,21	0,54	0,61
р	0,5	0,1	0,4

    б)

 

 

5. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадает или пока не кончатся патроны. Найти математическое ожидание количества   выстрелов, если вероятность попадания 0,25.

6. Монета подбрасывается три раза. Рассматривается случайная величина Х –– число появлений герба. Найти закон распределения случайной    величины Х.

7. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

 

Х	–5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

    а)     

 

 

    б)     

Х	4,3	5,1	10,6
р	0,2	0,3	0,5

 

8. Закон распределения случайной величины Х такой:

 

Х	0	1	2	3	4	5	6	7
р

 

    а величина Y такой:

Х	1	2	3	4	5	6	7	8
р

 

Найти математическое ожидание случайных величин Х + Y, Х – Y, Х Y, где Х и Y независимые случайные величины.

9. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа     первый станок не требует регулировки –– 0,9, второй –– 0,8, третий –– 0,75, четвертый –– 0,7. Найти математическое ожидание числа    станков, которые в течение часа не потребуют регулировки.

10. Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных     изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может    оказаться     бракованным с вероятностью 0,02.

11. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны     наудачу извлекаются 3 шара; Х –– число извлеченных белых шаров.     Найдите закон распределения дискретной случайной величины Х и     вероятность события Х ³ 2.

12. Дискретная случайная величина Х –– число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки:   а) найдите закон распределения Х; б) постройте многоугольник   распределения; в) найдите вероятности событий: А –– в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В –– не более 3 мальчиков; С –– более одного мальчика.

 

Полигон и гистограмма

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называется статистической совокупностью) относительно некоторого качественного и количественного признака, характеризующего эти объекты. Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разными причинам это сделать невозможно. Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называется соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка.

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. выбор производится случайно.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной Х. Рассмотрим выборку х₁, х₂, …, х _n объема n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения случайной величины Х.

Различные элементы выборки называются вариантами.

Первый этап статистической обработки –– составление так называемого вариационного ряда. Его получают следующим образом: среди чисел х₁, х₂, …, х _n отбирают все различные и располагают их в порядке возрастания:

a₁, a₂, …, a _k,

где a₁ < a₂ < …< a _k.

Следующий этап статистической обработки –– составление эмпирического закона распределения.

Число n _і, показывающее, сколько раз варианта х _і встречается в выборке, называется частотой варианты х _і. Частостью, относительной частотой или долей варианты называется число

.

Частоты и частости называются весами.

Форма записи эмпирического закона распределения зависит от характера изучаемой случайной величины Х.

Пусть Х –– дискретная случайная величина. Наиболее естественной формой эмпирического закона распределения является так называемая таблица частот (относительных частот), в первой строке которой записываются числа вариационного ряда, а во второй –– соответствующие им частоты n _і (относительные частоты w _і). Сумма всех частот равна объему выборки п, а сумма всех относительных частот равна единице.

Пример 1. С помощью журнала посещаемости собраны данные о числе пропущенных занятий по математике (за один семестр) у 25 студентов 1 курса. В итоге получены следующие значения:

2, 5, 0, 1, 6, 3, 0, 1, 5, 4, 0, 3, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 3, 6, 0, 3, 0, 1.         (1)

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) составить таблицу относительных частот.

Решение.

а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

    б) Просматривая исходный статистический ряд (1), находим частоту появления каждого из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (чисел вариационного ряда). Например, число 0 встречается 7 раз, значит, его частота равна 7. Найдя таким же образом остальные частоты, получим следующую таблицу частот:

 

Варианта х і	0	1	2	3	4	5	6
Варианта n і	7	4	3	5	2	2	2

 

    в) Найдем относительные частоты:

Получим следующую таблицу относительных частот:

 

 

Варианта х і	0	1	2	3	4	5	6
Относительная частота w і

 

Рассмотрим теперь другой случай –– когда величина Х является непрерывной случайной величиной. Вместо обычного (дискретного) вариационного ряда составляют интервальный вариационный ряд: находят минимальную и максимальную варианты выборки и весь промежуток между ними разбивают на полуинтервалы . Рекомендуется количество полуинтервалов k выбирать по формуле Стерджерса

k = 1 + 1,4 lnn.

Длина полуинтервала равна

.

Получается интервальный вариационный ряд:

 …

(і = 1, …, k).

Затем подсчитывают число вариант выборки, попавших в каждый из полуинтервалов, вычисляют относительные частоты числа вариант в каждом полуинтервале. Если при этом некоторое х _k выборки совпадает с граничной точкой между промежутками, то его относят к правому промежутку.

Таблица, в которой дана система полуинтервалов, указаны частоты или относительные частоты –– числа вариант в каждом полуинтервале, называется интервальной таблицей частот или относительных частот.

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где х _і –– варианты выборки, n _і –– соответствующие им частоты. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где х _і –– варианты выборки и w _і –– соответствующие им относительные частоты.

Пример 2. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

 

Варианта х і	1	2	3	5
Относительная частота w і	0,4	0,2	0,3	0,1

Решение. Отложим на оси абсцисс варианты х _і, а по оси ординат –– соответствующие им относительные частоты w _і. Соединив точки  отрезками прямых, получим искомый полигон (рис. 81).

 

 

Рис. 81

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные полуинтервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность частоты). Площадь частичного і–го прямоугольника равна  –– сумме частот вариант, попавших в і–й полуинтервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки п.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные полуинтервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты). Площадь частичного і–го прямоугольника равна  –– относительной частоте вариант, попавших в і–й полуинтервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 3. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала і	Частичный интервал хі – хі+1	Сумма частот вариант частичного интервала пі
1 2 3	0 – 2 2 – 4 4 – 6	20 30 50

 

Решение. Найдем относительные частоты:

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина полуинтервала  = 2:

Построим на оси абсцисс данные частичные полуинтервалы. Проведем над этими полуинтервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над полуинтервалом  проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.

Искомая гистограмма относительных частот изображена на рис. 82.

 

 

Рис. 82

 

Упражнения

1. Заданы выборки из генеральной совокупности значений дискретной случайной величины Х. Требуется: а) составить вариационный ряд;
б) составить таблицу частот; в) построить полигон частот.

    1) 2, 1, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3;

    2) 3, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1;

    3) 4, 4, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 4, 4;

    4) 4, 3, 4, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 4.

2. Построить полигон частот следующего распределения:

 

х і	1	3	5	7	9
ni	10	15	30	33	12

 

3. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х –– размера обуви:

    39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

Составить вариационный ряд, таблицу частот и построить полигон частот.

4. Выборка задана в виде распределения частот:

 

х і	4	7	8	12
ni	5	2	3	10

 

Найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот.

5. Для изучения распределения веса новорожденных были собраны данные для 100 детей и составлена следующая интервальная таблица относительных частот:

 

Интервалы веса (кг)	Частота (wi)
1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 4,0 –4,5 4,5 – 5,0	0,01 0,02 0,05 0,15 0,35 0,28 0,12 0,02

 

Построить гистограмму полученной интервальной таблицы относительных частот.

6. В результате 50 независимых измерений некоторой величины получены данные:

    2,2; 5,3; 3,4; 4,5; 5,1; 3,4; 4,3; 2,7; 3,5; 5,8;

    2,3; 4,4; 4,7; 2,1; 4,8; 3,6; 3,5; 4,2; 5,7; 3,7;

    4,2; 3,4; 4,3; 3,4; 4,3; 4,1; 5,3; 4,8; 5,1; 2,4;

    3,7; 4,3; 5,6; 4,5; 3,4; 3,2; 4,6; 3,6; 4,2; 4,1;

    5,5; 4,6; 4,8; 4,5; 4,3; 4,8; 3,9; 3,8; 5,9; 5,1.

Требуется: а) выбрав интервалы 2 – 3; 3 – 4; 4 – 5 и 5 – 6, составить интервальную таблицу относительных частот; б) построить гистограмму.

7. Построить гистограмму распределения коров по проценту жирности молока по данным следующей таблицы:

 

Жирность молока, %	Число коров
3,45 – 3,55 3,55 – 3,65 3,65 – 3,75 3,75 – 3,85 3,85 – 3,95 3,95 – 4,05 4,05 – 4,15 4,15 – 4,25 4,25 – 4,35	1 1 3 4 7 5 2 1 1

 

8. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала і	Частичный интервал хі – хі+1	Сумма частот вариант частичного интервала пі
1 2 3 4 5	10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35	2 4 8 4 2

 

9. Результаты измерения роста 100 студентов приведены в следующей таблице:

 

Рост (см)	154–158	158–162	162–166	166–170	170–174	174–178	178–182	182–186
Число студентов	8	14	20	32	12	8	4	2

 

а) Преобразовать данную таблицу в интервальную таблицу     относительных частот.

б) Выбрав середины интервалов за значения роста, составить дискретную таблицу относительных частот.

10. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в следующей таблице:

 

– 1,752 – 1,256 1,531 – 0,058 0,415 – 0,329 0,318 0,349 – 0,059 – 1,084

– 0,291 1,701 – 0,433 0,248 – 1,382 0,086 – 1,087 – 0,293 – 0,539 0,318

– 0,933 0,634 1,409 – 0,095 0,129 0,130 0,899 – 0,883 – 0,078 0,367

– 0,450 0,720 1,730 – 1,488 – 0,361 – 0,244 1,028 – 0,056 0,229 – 0,992

0,512 0,490 – 0,266 – 0,361 – 0,087 – 0,882 – 1,304 0,757 0,194 0,529

 

Для данной выборки построить интервальную таблицу и гистограмму частот.

 

Введение в теорию множеств

Понятие множества

Мы постоянно встречаемся с множествами. Мы говорим о множестве студентов в группе, о множестве точек на прямой линии, о множестве целых чисел. Можно рассматривать также множество букв на данной странице, множество страусов в Африке, множество планет солнечной системы.

Возникает вопрос: что такое множество?

В математике нет определения понятия множества. Дело в том, что любое определение можно дать только на основании других, введенных ранее понятий. Таким образом, для построения теории необходимы исходные, первичные понятия. Понятие множества является одним из основных первичных понятий современной математики.

Под множеством понимают совокупность каких-нибудь предметов (объектов).

Объекты или предметы, из которых состоят множества, называются его элементами. Таким образом, каждое множество состоит из элементов.

Множества обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а их элементы — малыми: а, b, с, … .

Для некоторых числовых множеств используются специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых неотрицательных чисел — буквой Z ₀, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q и множество всех действительных чисел — буквой R.

Если  есть множество, а  какой–нибудь объект, то запись  означает, что х является элементом множества А (принадлежит множеству А, содержится в А), если же х множеству А не принадлежит, то пишут:
(или ).

Например, если  — множество всех четных чисел, то , , , .

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называется конечным, если есть смысл ставить вопрос о том, сколько элементов содержится в этом множестве, т.е. когда существует число, которым можно выразить количество элементов данного множества, при этом не важно, известно или нет это число, важно только, чтобы это число существовало.

Когда данное множество не является конечным, т.е. взяв любое натуральное число n, можно в данном множестве найти элементов больше, чем n, то данное множество называется бесконечным.

Так множество букв алфавита конечное, а множество точек прямой бесконечное.

Рассматривают в математике и множество, которое не содержит ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают
символом Æ. Примерами пустого множества могут служить: множество действительных корней уравнения , множество людей на Солнце.

Элементами множества могут быть множества. Рассмотрим, например, множество студенческих групп на первом курсе. Его элементами являются группы. Каждая группа в свою очередь — множество студентов.

Упражнения

1. Как можно назвать следующие множества:

а) множество артистов, работающих в одном театре;

б) учеников, которые учатся в одном классе;

в) людей в Республике Беларусь?

2. М –– множество музыкальных инструментов эстрадного оркестра. Принадлежат ли этому множеству:

а) барабан;

б) гитара;

в) струна гитары;

г)  балалайка?

3. Назовите элементы множества электроприборов, имеющихся в вашем доме.

4. Приведите примеры множеств, состоящих из:

а) чисел;

б) четырехугольников;

в) животных.

1.2. Способы задания множества

Множество можно считать заданным, если указано каким–нибудь способом, из каких элементов это множество состоит, т.е. когда о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать перечислением (в произвольном порядке) всех его элементов.

Если множество А состоит из элементов а, b, с, , то этот факт записывают так:

и читают: «А — множество, элементы которого а, b, с, ».

Отмеченным способом задания множества пользуются только в том случае, когда множество является конечным и содержит небольшое число элементов.

Множество (конечное и бесконечное) можно задать и другим способом: указанием характеристического свойства элементов множества, т.е. свойства, которым владеют все элементы этого множества и только они. Например, множество М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} можно задать характеристическим свойством как множество натуральных чисел, меньших 8. Свойство, которым владеет любой элемент данного множества, –– «быть натуральным числом,
меньшим 8».

Множество, определяемое некоторым характеристическим свойством, обозначают так: в фигурных скобках пишут обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают характеристическое свойство элементов данного множества. Например, множество М натуральных чисел, меньших 8, записывают так: М = {x|x Î N, x < 8}.

Отметим, что другой способ задания множества в сравнении с первым более общий, так как его можно использовать для задания множеств, которые содержат как конечное, так и бесконечное число элементов. Необходимо также отметить, что в ряде случае одно и то же множество можно задать и первым и другим способом.

Рассмотрим следующие числовые множества, называемые числовыми промежутками:

{x|x Î R, a £ x £ b}, {x|x Î R, a < x < b}, {x|x Î R, a < x £ b}

({x|x Î R, a £ x < b}), {x|x Î R, x ³ a} ({x Î R, x £ a}),

{x|x Î R, x > a} ({x|x Î R, x < a}).

Эти числовые множества соответственно называются отрезком, интервалом, полуинтервалом, полупрямой, открытой полупрямой и обозначаются [a, b], (a, b), (a, b], ([a, b)), [a, +¥), ((–¥, a]), (a, +¥) ((–¥, a)).

Упражнения

1. Запишите следующие множества, перечислив их элементы:

А — множество разных букв в слове «математика»;

В — множество цветов спектра;

С — множество одноцветных шахматных фигур;

D — множество всех целых положительных степеней числа 3,
меньших 250;

М — множество всех положительных простых чисел, меньших 40.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: