Задачи, связанные с операциями над конечными множествами

Часто требуется определить число элементов или в множестве, или в объединении множеств, или в дополнении подмножеств. Для решения таких задач существуют определенные приемы.

Условимся число элементов конечного множества А обозначать
через n(A).

Рассмотрим два множества A = {a, b, c, d, e}, и B = {m, b, k, a}.
В множестве А содержится 5 элементов: n(A) = 5, а множество В — 4 элемента: n(B) = 5. Рассмотрим объединение этих множеств:

A È B = {a, b, c, d, e, m, k}.

В его входят все элементы множества А и элементы m, k множества В, не принадлежащие пересечению A Ç B множества А и В. Значит, n(A È B) = 7.

Вообще, число элементов объединения двух множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов пересечения этих множеств, т.е. для любых множеств А и B справедливо равенство:

n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B).

Если же множества А и В не пересекаются, т.е. A Ç B = Æ, то
n(A È B) = n(A) + n(B).

Аналогично, число элементов трех пересекающихся множеств А, В, С вычисляется по формуле

n(A È B È С) = n(A) + n(B) + n(С) – n(A Ç B) – n(A Ç С) –

– n(B Ç С) + n(A Ç B Ç С),

а если множества А, В и С не пересекаются, то по формуле

n(A È B È С) = n(A) + n(B) + n(С).

Рассмотрим теперь разность множеств А и В. По определению разности имеем А \ В = {x| х Î А, x Ï В}, откуда следует, что если множества А и В пересекающиеся, то (см. рис. 5)

n (А \ В) = n(A) – n(A Ç B).

Если же В Ì А (В — подмножество множества А), то (см. рис. 6)

n (А \ В) =  = n(A) – n(B).

Рассмотрим задачу: «Из 40 студентов группы 35 человек успешно сдали экзамен по математике, а 37 — по белорусскому языку. Два студента получили неудовлетворительные оценки по двум предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?»

Пусть С — множество студентов группы, М — множество студентов, успешно сдавших математику, В — множество студентов, успешно сдавших белорусский язык.

Тогда

n(С) = 40, n(М) = 35, n(В) = 37.

М È В— множество студентов, успешно сдавших хотя бы один экзамен.

n (М È В) = 40 – 2 = 38,

так как 2 студента не сдали ни одного экзамена.

Получаем:

n (М È В) = n(М) + n(В) – n (М Ç В),

38 = 35 + 37 – n (М Ç В),

отсюда

n (М Ç В) = 35 + 37 – 38 = 34,

т.е. 34 студента успешно сдали оба экзамена и не имеют академическую задолженность. Тогда 6 (40 – 34 = 6) имеют академическую задолженность.

Данную задачу удобно решать при помощи диаграммы Эйлера–Венна. Изобразим множества С, М, В на диаграмме Эйлера–Венна (рис. 9).

 

Рис. 9

Множество С разбилось на 4 класса (I, II, III, IV) с помощью двух свойств М и В. Теперь достаточно вписать число элементов каждого из классов разбиения и получим наглядную картину.

В классе IV — 2 элемента (студенты, которые получили неудовлетворительную оценку по двум предметам). Тогда на все остальные классы I, II, IV остается 38 человек. В I и II классах вместе 35 человек, тогда в классе III остается 3 человека (38 – 35 = 3). В I и III классах вместе 37 человек, тогда в I классе 34 человека (37 – 3 = 34). Во II классе 1 человек (35 – 34 = 1).

Итак студенты, имеющие академическую задолженность, — это элементы классов II, III, IV:

1 + 2 + 3 = 6.

 

Упражнения

1. Сколько учеников в классе, если известно, что 15 из них посещают математический кружок, 10 — кружок белорусского языка, 5 — оба кружка?

2. Во время опроса в одном городе выяснилось, что из опрошенных жителей 720 читают газету «Республика», 412 — газету «Звезда», 210 читают обе газеты. Сколько человек было опрошено? Сколько человек из опрошенных читают только газету «Республика»?

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: