Подмножество. Равенство множеств

Рассмотрим множество В = {1, 2, 3, 4, 5} и множество А = {1, 3, 4}. Если сравнить эти множества, то можно заметить, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят, что множество А включается в В, или А — подмножество множества В.

Определение 1. Если каждый элемент множества А содержится и в множестве В, то А называется подмножеством В. Это записывают следующим образом:  или . Читают: «А подмножество В», «А включается в В».

Необходимо заметить, что, как вытекает из определения 1, само множество всегда является своим подмножеством, т.е. .

Из определения 1 также следует, что пустое множество Æ является подмножеством любого множества: Æ .

Всякое множество В, которое состоит из n элементов, имеет 2ⁿ подмножеств. Пустое множество и само множество В называются несобственными подмножествами множества В, а все остальные подмножества множества В — его собственными подмножествами.

Рассмотрим два множества {1, 2, 3, 4} и {4, 1, 3, 2}. Они состоят из одних и тех же элементов, записанных в разном порядке.

Обычно, когда говорят о множествах, например, о множестве студентов в группе, деревьев в лесу, книг в библиотеке, то интересуются только тем, из каких элементов оно состоит, а не думают о порядке расположения элементов. Это обстоятельство находит свое отображение в определении равенства двух множеств.

Определение 2. Два множества А и В называются равными, когда каждый элемент множества А является элементом множества В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Иными словами, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, множества {1, 2, 3, 4} и {4, 1, 3, 2} равны.

Для того чтобы отношения между множествами сделать более наглядными, используются специальные чертежи, называемые диаграммами Эйлера–Венна. Множества, сколько бы они не содержали элементов, изображаются при помощи кругов или любых других геометрических фигур. Например, когда множество А является собственным подмножеством множества В, то рисуем эти множества так как на рисунке 2.

Рис. 2

Часто в теории множеств (и других разделах математики и естествознания) используется понятие универсального множества
U — множества элементов всех множеств, рассматриваемых в ходе какого–либо рассуждения. На диаграммах Эйлера–Венна универсальное множество U часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества –– кругами.

Упражнения

 

1. Найдите все подмножества множества М = {тетрадь, ручка, карандаш}.

2. Какие из следующих утверждений являются истинными, какие лживыми:

а) множество всех ромбов является подмножеством множества всех     параллелограммов;

б) множество всех ромбов является подмножеством множества всех     прямоугольников;

в) множество всех квадратов является подмножеством множества всех         прямоугольников;

г)  множество всех квадратов является подмножеством всех ромбов;

д) множество всех прямоугольников является подмножеством
              множества всех трапеций?

3. Дано множество А = {1, 2, 3, 4}. Образуйте все подмножества множества А, какие содержат:

    а) два элемента;

    б) три элемента.

Объединение множеств

Допустим, что необходимо составить группу студентов, знающих немецкий или французский язык. Понятно, что в эту группу входят те, кто знает немецкий язык, и те, кто знает французский язык. Конечно, в нее войдут и студенты, знающие оба языка.

Пусть А — множество букв, входящих в слово «цифра», В — множество букв, входящих в слово «три»:

А = {ц, и, ф, р, а}; В = {т, р, и}.

Запишем теперь выражение «цифра три». Оно состоит из букв ц, и, ф, р, а, т.

Множество {ц, и, ф, р, а, т} состоит из букв, входящих или в множество А, или в множество В (или в оба множества). Множество, полученное таким образом из множества А и В, называется объединением этих множеств.

Определение. Множество элементов, которые принадлежат А или В, т.е. принадлежат или А, или В, или А и В одновременно, называется объединением множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают А È В.

На рис. 3. показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

 

 

Рис. 3

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения

х Î А È В Û х Î А или х Î В.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 5, 8}, В = {2, 4, 8, 10}. Тогда А È В =
= {1, 2, 4, 5, 8, 10}. В самом деле, число 1 входит в объединение А È В, так как оно входит в А: 1 Î А È В, так как 1 Î А. По той же причине числа 2, 5, 8 входят в А È В. Числа 4 и 10 входят в А È В, т.к. они входят в В.

Пример 2. Пусть А = {1, 4, 7, 9}. Какие элементы входят в объединение
А È А?

Из определения следует, что в А È А входят те же самые числа, т.е.
А È А = {1, 4, 7, 9}. Значит, А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А.
В частности, А È Æ = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств
А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств  обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Надо доказать, что множество (А È В) È С равно множеству
А È (В È С). Значит, необходимо доказать, что каждый элемент множества
(А È В) È С принадлежит множеству А È (В È С) и, наоборот, каждый элемент множества А È (В È С) принадлежит множеству (А È В) È С.

Пусть х Î (А È В) È С. Значит, х Î А È В или х Î С. Отсюда следует, что х Î А, или х Î В, или х Î C. Когда х Î А, то х Î А È (В È С). Из того, что х Î В или х Î С следует, что х Î В È С, но тогда х Î А È (В È С).

Пусть теперь х Î А È (В È С), тогда х Î А или х Î В È С. Значит, х Î А или х Î В, или х Î С. Когда х Î А или х Î В, то х Î А È В, и тогда
х Î (А È В) È С. Из того, что х Î С вытекает, что х Î (А È В) È С.

Таким образом, доказали, что

(А È В) È С = А È (В È С).

На основании сочетательного закона в выражениях (А È В) È С,
А È (В È С) скобки можно опустить и писать: А È В È С.

Приведем еще примеры объединения множеств.

Пример 3. А –– множество всех четных натуральных чисел, т.е.
А = {2, 4, 6, …}, В –– множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, т.е.
В = {3, 6, 9, …}, С –– множество всех нечетных натуральных чисел, которые не делятся на 3, т.е. С = {1, 5, 7, …}. Объединение множеств А, В и С совпадает с множеством натуральных чисел.

Пример 4. А –– множество корней уравнения х² – 2х + 1 = 0,
В –– множество решений уравнения х² – 2х – 3 = 0. Тогда А È В –– множество решений уравнения (х² – 2х + 1) (х² – 2х – 3) = 0.

 

Упражнения

1. Известно, что а Î А È В. Верно ли, что

    а) а Î А;

    б) а Î В;

    в) а Î А или а Î В;

    г) а Î А и а Ï В?

2. Найдите объединение множеств А и В, если:

а) А = {11, 13, 15, 27}, В = {11, 26, 27, 101};

б) А = {11, 27, 35, 100}, В = {11, 27, 35, 100, 101, 121};

в) А = {23, 43, 53, 63}, В = Æ;

г)  А = {102, 203, 305, 400, 435},            В = {203, 400}.

Пересечение множеств

Пусть А — множество букв, входящих в слово «цифра», В — множество букв, входящих в слово «три». Сформулируем вопрос: какие буквы входят и в то и в другое слово? Это буквы р, и. Множество {р, и} состоит из тех букв, какие входят и в множество А, и в множество В. Множество, полученное таким образом из множеств А и В, называется пересечением множеств А и В.

Определение. Множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В, называется пересечением множеств А и В.

Пересечение множеств А и В обозначается А Ç В. Пересечение множеств

А и В иллюстрируется на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Пример 1. Пусть А = {1, 5, 7, 8}, В = {2, 5, 7, 9, 10}, тогда
А Ç В = {5, 7}.

Пример 2. Пусть А = {1, 5, 10, 13}, В = {2, 7, 8}. Видим, что нет элементов, принадлежащих одновременно множеству А и множеству В.

В таком случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что А и В не пересекаются или что их пересечение есть пустое множество: А Ç В = Æ.

Значит, для образования пересечения А Ç В двух множеств А и В надо взять только те элементы, которые входят в оба множества. Таким образом, согласно определению пресечения

х Î А Ç В Û х Î А и х Î В.

Рассмотрим еще примеры пресечения.

Пример 3. Пересечение множества прямоугольников и множества ромбов есть множество квадратов.

Пример 4. Пересечение множества А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} натуральных делителей числа 48 с множеством В = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} натуральных делителей числа 56 является множество {1, 2, 4, 8}. Элементы этого множества являются общими делителями чисел 48 и 56.

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В Ì А, то В Ç А = В. Из определения пересечения следует: А Ç В = В Ç А, т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А Ç Æ = Æ.

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) Ç С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В Ç С. В общем случае пересечение совокупности множеств  (i = 1, 2, …, n) обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам , .

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С);

2) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А È В) Ç С. Значит, х Î А È В и х Î С. Из того, что х Î А È В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что
х Î А Ç С. Значит, х Î (А Ç С) È (В Ç С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В Ç С, но тогда х Î (А Ç С) È (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А È В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А È В, а это свидетельствует о том, что
х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

 

Упражнения

 

1. Известно, что а Î А Ç В. Можно ли на основании этого утверждать, что: а)    а Î А;

б) а Î В;

в) а Î А и а Ï В;

г)  а Î А и а Î В?

2. Найдите пересечение множеств А и В:

а) А = {а, в, с, к, п}, В = {п, е, в, с, р}; 

б) А = {а, в, с, к, п}, В = {а, с, к};

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: