Знаходження абсолютної похибки непрямого вимірювання методом диференціювання.

Нехай для знаходження величини  потрібно виміряти деякі величини  Величини  пов’язані функціональною залежністю  В цьому випадку середня абсолютна похибка  може бути знайдена за правилами диференціювання, якщо знак диференціала  замінити на знак похибки  і вибрати знаки таким чином, щоб величина похибки була максимальною, тобто

                                            (8)

і

                                   (9)

Приклад 1. Об’єм циліндра:

 тобто

В цьому випадку

.

Абсолютна похибка:

Приклад 2. Прискорення вільного падіння  обчислюється за формулою

,

тобто

;

.

Метод диференціювання зручно використовувати для знаходження абсолютної похибки непрямого вимірювання, якщо розрахункова формула має вигляд суми та різниці, тому, що диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.

 

Знаходження відносної похибки непрямого вимірювання методом логарифмування з подальшим диференціюванням.

 

Відносною похибкою називається відношення

.

А так як диференціал натурального логарифма

                                     ,                             (10)

то

,

або

                          .                 (11)

Таким чином, відносна похибка результату дорівнює повному диференціалу натурального логарифму функції, яка визначає залежність даної величини від вимірюваних величин. При обрахунку потрібно брати суму абсолютних значень диференціалів всіх членів логарифма з заміною знаків ” ” знаком ” ”.

Приклад 3. Момент інерції тіла  обчислюється методом крутильних коливань. Розрахункова формула має вигляд:

,

або

Знайдемо формули абсолютної і відносної похибок результату. Для цього знайдемо спочатку відносну похибку

а) прологарифмуємо вираз для :

б) візьмемо диференціал натурального логарифма і згрупуємо члени, які містять однаковий диференціал (вираз в дужках, який стоїть перед диференціалами, беруть по модулю):

в) замінивши знак ” ” на ” ” і всі мінуси перед диференціалами на плюси, одержимо

Абсолютна похибка , тобто

Дійсне значення моменту інерції записуємо у вигляді

                                                         (4)

Визначення відносної похибки для непрямого вимірювання зручно проводити за наступними етапами:

а) прологарифмувати розрахункову формулу;

б) знайти від логарифма повний диференціал;

в) згрупувати всі члени, які містять однаковий диференціал і

вирази в дужках, які стоять перед диференціалом, взяти по модулю;

г) замінити всі знаки диференціалів ” ” незалежних змінних

знаками абсолютних похибок вимірювань ” ”, а всі мінуси перед диференціалами замінити плюсами, так як усі часткові похибки додаються.

Приклад 4.

;

1. Знаходимо відносну похибку по пунктах:

а)

б)

в)

г)

2. Розраховуємо по розрахунковій формулі (1) середній

результат .

3. За формулою (3) знаходимо абсолютну похибку

вимірювання

.

4. Кінцеве значення дійсної величини буде:

.

Метод логарифмування з подальшим диференціюванням зручно використовувати, якщо розрахункова формула має вигляд добутків, часток та степенів.

Потрібно пам’ятати, що точність результату визначається точністю вимірювальних приладів і акуратністю вихідних вимірювань і не може бути збільшена в подальшому шляхом штучного набирання знаків при виконанні арифметичних дій.

Абсолютну похибку непрямого вимірювання заокруглюють до однієї значущої цифри.

Відносну похибку непрямого вимірювання заокруглюють до двох значущих цифр.

В наближеному числі усі цифри повинні бути вірними, за винятком останньої цифри.

В подальшому будемо користуватись таким поняттям, як ”десяткові знаки” та ”значущі цифри”.

Кількість десяткових знаків числа визначаються кількістю цифр, які стоять після коми, разом з нулями.

.

Значущими цифрами називають усі правильні цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) окрім нулів на початку числа.

 

Наприклад:

 

Наближене число	Кількість десяткових знаків	Кількість значущих цифр
12,3075 250,738990 1.03 3,56 3,560 0,0057 25,080 250000	4 6 2 2 3 4 3 0	6 9 3 3 4 2 5 6

Якщо знаходити значення похибок непотрібно, то при арифметичних діях з наближеними числами користуються наступними правилами заокруглення.

 

1. При додаванні та відніманні результат повинен зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх має число з найменшою кількістю десяткових знаків та усі доданки можна заокруглювати:

2. При множенні та діленні результат повинен зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має число з найменшою кількістю значущих цифр:

 

3. При піднесенні до степеня результат зберігає стільки значущих цифр, скільки їх має основа:

 

;

 

4. При знаходженні логарифму в результаті залишається стільки значущих цифр, скільки їх у числі, від якого брали логарифм:

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: